数值分析课件第2章.ppt
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1、第2章 插 值 法,内容提要2.1 引言2.2 拉格朗日插值2.3 均差与牛顿插值公式2.4 埃尔米特插值2.5 分段低次插值2.6 三次样条插值,2.1 引言 许多实际问题都用函数 y=f(x)来表示某种内在规律的数量关系。若已知 f(x)在某个区间 a,b 上存在、连续,但只能给出 a,b 上一系列点的函数值表时,或者函数有解析表达式,但计算过于复杂、使用不方便只给出函数值表(如三角函数表、对数表等)时,为了研究函数的变化规律,往往需要求出不在表上的函数值。因此我们希望根据给定的函数表做一个既能 反映函数 f(x)的特性,又便于计算的简单函数 P(x),用 P(x)近似 f(x)。这就引出
2、了插值问题。,1、提出问题(插值法的定义),2、几何意义、外插、内插,P(x)f(x),x*(外插),x0,x1,x(内插),x2,x3,P(x*)f(x*),3、插值的种类 选取不同的函数族构造 P(x)得到不同类型的插值若 P(x)是次数不超过 n 的代数多项式,就称为多项式插值;若 P(x)为分段的多项式,就称为分段插值;若 P(x)为三角多项式,就称为三角插值。本章只讨论多项式插值与分段插值。主要研究内容为如何求出插值多项式,分段插值函数;讨论插值多项式 P(x)的存在唯一性、收敛性及估计误差等。4、多项式插值问题,插值多项式的存在唯一性,定理1(存在唯一性)满足插值条件的不超过 n
3、次的插值多项式是存在唯一的。,2.2 拉格朗日插值一、线性插值与抛物插值1、线性插值,2、抛物插值,求解基函数,二、拉格朗日插值多项式 上面针对 n=1 和 n=2 的情况,得到了一次和二次插值多项式,这种用基函数表示的方法很容易推广到一般情况。下面讨论如何构造 n+1 个节点的 n 次插值多项式。,定理表明:(1)插值误差与节点和点 x 之间的距离有关,节点距离 x 越近,插值误差一般情况下越小。(2)若被插值函数 f(x)本身就是不超过 n 次的多项式,则有f(x)g(x)。,3、应用举例,用二次插值计算 ln(11.25)的近似值,并估计误差。,例2-2 给定函数值表,在区间10,12上
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