32一阶系统的时域分析.ppt

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1、第三章 线性系统时域分析法,3-1 系统时间响应的性能指标3-2 一阶系统的时域分析3-3 二阶系统的时域分析3-4 高阶系统的时域分析3-5 线性系统的稳定性分析3-6 线性系统的稳态误差设计,3-2 一阶系统的时域分析,1.一阶系统的时域分析2.一阶系统的单位阶跃响应3.一阶系统的单位脉冲响应4.一阶系统的单位斜坡响应5.一阶系统的单位加速度响应,(1)、通过对一阶系统的分析，掌握如何应用时域指标的概念来计算上述五个动态指标。(2)、通过一阶系统在三个典型信号（阶跃、斜坡、加速度）的响应，引出系统对信号的跟踪概念（稳态误差）重点分析阶跃、斜坡信号作用于一阶系统时的响应，误差表达式、稳态误差

2、。,32一阶系统的时域分析,1、一阶系统的数学模型,图3-2 一阶控制系统,如RC电路C(t)为输出电压，r(t)为输入电压，C(0)=0,一阶系统：以一阶微分方程作为运动方程的控制系统。,其中，TRC为时间常数；取拉氏变换,(3-2),则一阶系统的传递函数为：,(3-3),(a),(b),3-2 一阶系统的时域分析,1.一阶系统的时域分析2.一阶系统的单位阶跃响应3.一阶系统的单位脉冲响应4.一阶系统的单位斜坡响应5.一阶系统的单位加速度响应,2、一阶系统的单位阶跃响应,设输入信号为单位阶跃输入,于是,单位阶跃响应h(t)为：,h(t)=1e-t/T，t0,(3-4),注意：R(s)的极点形

3、成系统响应的稳态分量。传递函数的极点是产生系统响应的瞬态分量。这一个结论不仅适用于一阶线性定常系统，而且也适用于高阶线性定常系统。,可以时间常数T度量系统输出量的数值。当t=0，h(0)=0；当 t，h()=1。如：当t=T，h(T)=0.632；t=2T，h(2T)=0.865 t=3T，h(3T)=0.95,一阶系统的单位阶跃响应为非周期响应，具备如下两个特点：,图3-3 一阶系统的单位阶跃响应曲线,一阶系统响应曲线在t=0时的斜率为1/T；其斜率随时间下降，当t时，动态过程结束，但工程上习惯取t=(3-5)T，认为过渡过程结束。T反映了系统的响应速度。,一阶系统的响应曲线斜率,t=0时，

4、,t=T时，,t=时，,根据动态指标定义，求一阶系统的动态性能指标a.求延迟时间td：因为h()=1，由td的定义，当t=td时，h(td)=0.5 代入一阶系统阶跃响应表达式，,b.求上升时间tr由上升时间的定义，分别求出h(t1)=0.1；h(t2)=0.9得：t1=0.1T；t2=2.3T所以：tr=t2t1=2.2T,c.同理可求出ts=3T（误差范围：5%）d.一阶系统没有超调，所以不需要求tp和%。,讨论：动态指标与时间常数T有关，T越小，其响应过程越快，即惯性越小，一阶系统又称为“惯性系统”。,稳态性能指标:一阶惯性系统的单位阶跃响没有静态误差,3-2 一阶系统的时域分析,1.一

5、阶系统的时域分析2.一阶系统的单位阶跃响应3.一阶系统的单位脉冲响应4.一阶系统的单位斜坡响应5.一阶系统的单位加速度响应,3、一阶系统单位脉冲响应,当输入为单位脉冲函r(t)=(t)，求其脉冲响应。,因为R(s)=1，则系统的输出为：,(3-5),一阶系统的脉冲响应为一单调下降指数曲线，其衰减到初始值5%所需时间仍为ts=3T。故系统的惯性越小，响应过程的快速性越好。,响应曲线的各处斜率为：,备注：在初始条件为零的情况下，一阶系统的单位脉冲响应与系统闭环传递函数包含了相同的动态信息。这一特点同样适用于其他各阶线性定常系统。因此，工程上常用测量系统的单位脉冲响应，来求出被测系统的传递函数。工程

6、上无法得到理想单位脉冲函数，一般用具有一定脉宽b和有限幅度的矩形脉动函数来代替。一般要求b0.1T。,3-2 一阶系统的时域分析,1.一阶系统的时域分析2.一阶系统的单位阶跃响应3.一阶系统的单位脉冲响应4.一阶系统的单位斜坡响应5.一阶系统的单位加速度响应,4、一阶系统的单位斜坡响应,当输入为单位斜坡函数 r(t)=t，,单位斜坡响应为：,讨论：(1).斜坡响应有二部分：稳态分量：tT响应曲线比输入曲线延迟T 瞬态分量：随时间的增加而减小。,(3-6),误差与时间常数T有关，惯性T越小，系统的速度跟踪误差越小，精度越高。,(2).输出误差,当t=0时，e(0)=0；t时，e()=T,一阶系统

7、时域分析,单位脉冲响应,单位阶跃响应,h(t)=1-e-t/T,h(0)=1/T,h(T)=0.632h(),h(3T)=0.95h(),h(2T)=0.865h(),h(4T)=0.982h(),单位斜坡响应,T,c(t)=t-T+Te-t/T,r(t)=(t)r(t)=1(t)r(t)=t,小结:,等价对应关系表明：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；或者，系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分，而积分常数由零输出初始条件确定。此特征适用于任何阶线性定常系统。因此，研究线性定常系统的时间响应,只用一种典型输入信号进行研究即可。,5、一阶系统单位加

8、速度响应,上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。,一阶系统暂态响应小结,1.对于单位阶跃响应，当t时，系统的稳态误差 e(t)0,说明一阶系统能跟踪单位阶跃输入。2.对于单位斜坡响应，当t时，系统的稳态误差 e(t)T，说明一阶系统在单位斜坡信号作用下，存在一个跟踪误差，而且T越小，误差越小。3.一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪，t时，e(t)。4.一阶系统的快速性和稳态误差都与T的大小有关系。,33 二阶系统的时域分析,1.二阶系统的数学模型2.二阶系统的单位阶跃响应3.欠阻尼二阶系统的动态过程分析4.过阻尼二阶系统的动态过程分析

9、5.二阶系统的单位斜坡响应6.二阶系统性能的改善7.非零初始条件下二阶系统的响应过程,什么是二阶系统？凡以二阶微分方程作为运动方程的控制系统，即为二阶系统。研究二阶系统的意义:1.二阶系统的典型应用极为普遍 2.不少高阶系统的特性在一定条件下可用二阶系统特性来表征。,本节主要内容：一、继续讲二阶系统的时域分析中的几种工作状态。二、二阶系统的性能改善，关键是改变了阻尼比和振荡频率。三、介绍主导极点的概念。,1.二阶系统的数学模型模型,(1).开环传递函数,(2).闭环传递函数,注意模型中的二个重要参数:阻尼比 n:自然频率或称为无阻尼振荡频率,(3-11),将闭环传递函数进行因式分解：,式中，p

10、1、p2是闭环传递函数的极点，即为特征方程的特征根。,求特征方程的特征根：,33 二阶系统的时域分析,1.二阶系统的数学模型2.二阶系统的单位阶跃响应3.欠阻尼二阶系统的动态过程分析4.过阻尼二阶系统的动态过程分析5.二阶系统的单位斜坡响应6.二阶系统性能的改善7.非零初始条件下二阶系统的响应过程,2.二阶系统的单位阶跃响应,当输入r(t)=1(t)时，R(s)=1/s，所以二阶系统的单位阶跃响应为,取拉氏反变换，求时域响应,、n 三者之间的关系：,特征根的形式与 值有关，分别讨论如下：,(1).当=0时，特征根是一对虚数根 s1、2=jn；(2).当01时，特征根是两个不相等的负实数根；,系

11、统将具有一对纯虚数极点，此时称系统处于无阻尼状态，系统的阶跃响应将是等幅振荡，并且将称为无阻尼自然振荡角频率，或简称为无阻尼自然振荡频率。,响应的形式与 值的关系，讨论如下：(1).=0（零阻尼）,s1、2=jn,系统具有一对实部为负的共轭复数极点，系统的阶跃响应是振幅随时间按指数函数规律衰减的周期函数，此时称系统处于欠阻尼状态。,(2).0 1(欠阻尼),系统具有两重实极点，于是系统阶跃响应中没有周期分量，阶跃响应将随时间按指数函数规律而单调衰减。此时称系统处于临界阻尼情况。,(3).=1(临界阻尼),s1、2=n,系统具有不相等的两个实极点，系统的阶跃响应还是随时间按指数函数规律而单调衰减

12、，只是衰减的快慢主要由靠近虚轴的那个实极点决定。此时称系统处于过阻尼情况。,(4).1(过阻尼）,-1（右半平面有相异正实根）时系统响应,0-1（右半平面有带正实根的共轭虚根）时系统响应,分别研究欠阻尼、临界阻尼、过阻尼二阶系统的单位阶跃响应：,(1)、欠阻尼(01)二阶系统的单位阶跃响应,：衰减系数；d：为阻尼振荡频率。,对于单位阶跃输入，C(s)可以写成,暂态振荡频率为阻尼振荡频率，它是随阻尼比 而变化的。,取拉氏反变换，求单位阶跃响应：,这是一条平均值为1的正、余弦形式等幅振荡，其振荡频率为n由系统本身的结构参数确定，故称为无阻尼振荡频率。,(2)、临界阻尼(=1)二阶系统的单位阶跃响应

13、,如果C(s)/R(s)的两个极点接近相等，则系统可近似看作临界阻尼系统。对于单位阶跃输入量，R(s)=1/s，因而C(s)可表示为：,其拉氏反变换为：,当=1时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的,无超调单调上升过程，,(3)、过阻尼(1)二阶系统的单位阶跃响应,这种情况下，C(s)/R(s)的两个极点是两个不等的负实数。对于单位阶跃输入量，R(s)=1/s，因此C(s)可以写成,其拉氏反变换为：,(3-17),系统的响应h(t)包含着两个衰减的指数项。当 远大于1时，在两个衰减的指数项中，一个比另一个衰减的要快得多，因此衰减得比较快的指数项（相应于较小时间常数的指数项），就可以忽略不计。

14、,二阶系统单位阶跃响应曲线,由图：临界阻尼响应具有最短的上升时间，响应速度最快；在欠阻尼(01)响应曲线中，阻尼比越小，超调量越大，上升时间最短，通常取=0.40.8为宜，此时超调量适度，调节时间较短；若二阶系统具有相同的和不同的n，则其振荡特性相同但响应速度不同，n越大，响应速度越快。,33 二阶系统的时域分析,1.二阶系统的数学模型2.二阶系统的单位阶跃响应3.欠阻尼二阶系统的动态过程分析4.过阻尼二阶系统的动态过程分析5.二阶系统的单位斜坡响应6.二阶系统性能的改善7.非零初始条件下二阶系统的响应过程,当系统为欠阻尼情况下，即0 1时，二阶系统阶跃响应的上升时间tr、峰值时间tp、最大超

15、调量 的计算公式：,上升时间tr,峰值时间tp,由上式可见，如欲减小tr，当 一定时，需增大，反之，若 一定时，则需减小。,3.欠阻尼二阶系统的动态过程分析,图3-11 欠阻尼二阶系统的特征参量,3-3二阶系统的时域分析单位阶跃响应,最大超调量p,调整时间ts,当00.8时,当采用2%允许误差时,当采用5%允许误差时,二阶系统单位阶跃响应定性分析,01,1,0,1,3-3二阶系统的时域分析脉冲响应,三、二阶系统的脉冲响应,二阶系统的单位脉冲响应C(s)为,该方程的拉普拉斯反变换，就是时域响应解c(t)，当01时，,当1时,当1时,3-3二阶系统的时域分析单位斜坡响应,当输入信号r(t)=t时，

16、,3-3二阶系统的时域分析单位斜坡响应,由上分析，二阶系统可以跟踪单位斜坡输入，但有误差。误差响应：,3-3二阶系统的时域分析举例,例：图示系统中，弧度/秒。当系统受到单位阶跃输入信号作用时，试求上升时间tr、峰值时间tp、最大超调量p和调整时间ts。,解：根据给定的 和 值，可以求得 和。,上升时间tr,3-3二阶系统的时域分析举例,峰值时间tp,对于5%允许误差标准，调整时间为：,3-3二阶系统的时域分析举例,例：下图控制系统，输入信号r(t)=t，放大器增益kA分别取13.5、200、1500，试分别写出系统误差响应表达式，并估算其性能指标。,解：将系统的开环传递函数与标准二阶系统的开环

17、的开环函数相比较。,当ka=13.5时，=2.1 n=8.2,=2.11，系统属于过阻尼二阶系统。,3-3二阶系统的时域分析举例,对于二阶系统斜坡输入的过阻尼误差响应，参见P95(3-40)式。将和n代入(3-40)式，求出误差响应表达式。,注意：二阶系统在某些条件下，可近似等效为一阶系统，工程上常这样处理。,3-3二阶系统的时域分析举例,所以，可以用一阶系统的性能指标近似估算该系统的性能指标。,3-3二阶系统的时域分析举例,当kA=200时，求得=0.551，n=31.6系统属欠阻尼二阶系统，在斜坡输入下，二阶系统欠阻尼误差响应参见P87(3-31)式，代入和n求得：,3-3二阶系统的时域分

18、析举例,当kA=1500时情况请大家自习时计算。,kA、n之间的关系，以及与稳态误差、动态性能的关系：增大放大器增益会导致系统的阻尼下降，虽可减小稳态误差，却恶化了误差响应的动态性能，因此值不宜太小，而n值希望足够大。在通常只有可调的系统中要同时满足稳态和动态两方面特性要求是困难的。这是因为：,3-3二阶系统的时域分析举例,1.改变开环增益就相当于改变系统阻尼比的数值，但是，阶跃响应中的超调量和斜坡响应中的稳态误差对的要求正好相反，要取得一个合适的折衷方案比较困难。2.即使能够找到合适的开环增益值，满足上述稳态和动态两方面的要求，也可能不满足系统在扰动作用下的稳态误差要求。3.在高精度控制系统

19、中，需要采用高增益使死区、间隙和摩擦等非线性因素的影响减到最低程度，因此不能任意降低开环增益以换取较小的超调量。,3-3二阶系统的时域分析二阶系统性能改善,为什么要改善二阶系统的性能？目的是什么？1.从前面讲述中可以看到，动态指标与静态指标对的要求是不一致的。如：调节时间稳态误差如何协调动态、静态的矛盾？2.动态指标之间也存在不能同时达到最佳的问题。二阶系统常用比例微分控制和测速反馈控制来改善性能,(1)比例微分控制,比例微分控制特点：因为微分控制反映的是系统的动态性能，静态时不起作用，而微分控制又是超前控制，可以在误差出现之前提前产生修正作用，从而达到改善系统性能的目的。比例微分控制的实质仍

20、是改变阻尼系数,(1)比例微分控制,比例微分控制系统结构图。没有TdS环节，系统是一个典型的二阶系统，Td为微分时间常数。开环传递函数与闭环传递函数分别为,上两式表明，比例微分控制不改变系统的自然频率，但可增大系统的阻尼比，由于和n均与K有关，所以适当选择开环增益和微分器时间常数，既可减小系统在斜坡输入时的稳态误差，又可使系统在阶跃输入时有满意的动态性能。,(1)比例微分控制,由上述结构图和函数式，比例微分控制系统与二阶系统闭环传递函数相比：1.无阻尼振荡频率n 没有改变2.系统增加了一个零点-z，有关零点的作用以后再讲3.增大了阻尼系数，由改变成d 由于微分环节Td只是在动态时起作用，静态时

21、不起作用，所以在动态时系统阻尼比是d起作用，使调节时间和超调量下降；而稳态时是起作用，可使系统的稳态误差减小。,(1)比例微分控制,例：设单位反馈系统开环传递函数为：k为开环增益，已知系统在单位斜坡输入时，稳态误差ess=1/k，若要求ess0.2rad，d=0.5，试确定k与Td的数值，并估算系统在阶跃函数作用下的动态性能。解：由ess=1/k，和ess0.2rad求得k5，取k5 根据比例微分控制系统模型，(341)式，,(1)比例微分控制,又由系统单位斜坡响应稳态误差表达式（330）：,比较加入PD前后系统的动态性能,(1)比例微分控制,（1）没加入PD之前，,(1)比例微分控制,（2）

22、加入PD之后，阻尼比变成d=0.5，n不变，用（324）曲线图求出上升时间tr。,求峰值时间用（347）式，求超调量用（349）式，求调节时间用（350）式，分别求出：tp=1.63；%=42.4%；ts=3.73，动态指标都得到了改善。,(1)比例微分控制,比较加入PD之前、后系统的参数变化。,比例微分控制可以增大系统的阻尼，使阶跃响应的超调量下降，调节时间缩短，且不影响常值稳态误差和自然频率，由于采用微分控制后，允许选取较高的开环增益，因此在保证一定的动态性能条件下，可以减小稳态误差。应当指出，微分器对于噪声的广大作用远于对缓慢变化输入信号的放大作用，因此在系统输入噪声较强的情况下，不宜采

23、用比例微分控制方式。,(2)测速反馈控制,将输出的速度信号反馈到系统输入端，并与误差信号比较，也可以增大系统阻尼，改善系统的动态性能。如图所示，如果没有kts则系统是标准的二阶系统，kts是系统测速反馈环节。将内环等效为一个环节，求传递函数。,(2)测速反馈控制,讨论：(1)当kt=0时，开环增益,当kt0时，,测速反馈降低了开环增益，从而加大系统斜坡输入时的稳态误差。,(2)测速反馈不改变自然频率n(3)测速增大了系统阻尼比由t，故改善了系统动态性能(4)测速反馈不形成闭环零点，所以对系统动态性能的改善程度与PD控制不同。(5)由于测速反馈降低了开环增益，加大了系统的稳态误差，所以在设计时测

24、速反馈控制系统时，可适当增大系统的开环增益。,比例微分控制与测速反馈控制的比较1(1)附加阻尼来源：比例微分控制的阻尼作用产生于系统的输入端误差信号的速度，而测速反馈控制的阻尼作用来源于系统输出响应的速度，因此，对于给定的开环增益和指令输入速度，后者对应较大的稳态误差值。(2)使用环境：比例微分控制对噪声有明显的放大作用，当系统输入端噪声严重时，一般不宜选用比例微分控制，同时为优化信噪比，要求选用高质量的放大器；而测速反馈对系统输入端噪声有滤波作用，对系统组成元件没有过高的质量要求。,比例微分控制与测速反馈控制的比较2(3)对开环增益和自然频率的影响：比例微分控制对系统的开环增益和自然频率均无影响，但测速反馈会降低开环增益。因此，对于确定的常值稳态误差，测速反馈控制要求有较大的开环增益。开环增益的加大，必然导致系统自然频率增大，在系统存在高频噪声时，可能引起系统共振。(4)对动态性能的影响：比例微分控制相当于在系统中加入实零点，可以加快上升时间，在相同阻尼比的条件下，比例微分控制系统的超调量会大于测速反馈控制系统的超调量。,