世纪金榜二轮专题辅导与练习选修44.ppt

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1、选修4-4 坐标系与参数方程,1.直角坐标与极坐标的互化：把直角坐标系的原点O作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则 x=cos,2=_,y=sin；tan=x0.,x2+y2,2.常见的极坐标方程：(1)四类直线的极坐标方程：直线过极点且倾斜角为：_.直线过点M(a,0)且垂直于极轴：_.直线过M(b,)且平行于极轴：_.,cos=a,sin=b,(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程：圆心位于极点，半径为r：_.圆心位于M(r,0)，半径为r：_.圆心位于M(r,)，半径为r：_.圆心为M(

2、0,0)，半径为r的圆的方程为:_.,=r,=2rcos,=2rsin,2-20cos(-0)+02-r2=0,3.常见曲线的参数方程：(1)直线的参数方程：经过点P0(x0，y0)，倾斜角为()x=x0+tcos，y=y0+tsin(t为参数)，(2)圆、椭圆的参数方程：x=a+rcos，y=b+rsin(为参数).椭圆(ab0)的参数方程为 x=acos,y=bsin(为参数).,的直线的参数方程为,圆(xa)2+(yb)2=r2的参数方程为,1(2012江苏高考)在极坐标系中，已知圆C经过点圆心为直线 与极轴的交点，求圆C的极坐标方程【解析】将=0代入直线方程得 得=1，从而圆心坐标为C

3、(1,0)，半径r=PC=故圆C的极坐标方程是=2cos.,2.(2012辽宁高考)在直角坐标系xOy中，圆C1:x2+y2=4，圆C2:(x2)2+y2=4.(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1,C2的极坐标方程，并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示).(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程.,【解析】(1)圆C1的极坐标方程为=2，圆C2的极坐标方程为=4cos，=2，=4cos，得交点坐标为(2)由(1)可知，交点的直角坐标为 从而公共弦所在直线方程为x=1，x=1，y=t，或写成().,由方程组,故参数方程为,3.(2013新课标全国卷)已知动点P，Q

4、都在曲线(t为参数)上，对应参数分别为t=与t=2(02),M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程.(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.,【解析】(1)依题意有P(2cos,2sin),Q(2cos 2,2sin 2),因此,M(cos+cos 2,sin+sin 2).x=cos+cos 2,y=sin+sin 2(为参数，02).(2)M点到坐标原点的距离当=时，d=0，故M的轨迹过坐标原点.,M的轨迹的参数方程为,热点考向 1 曲线的极坐标方程【典例1】(2013南京模拟)已知圆C的极坐标方程为 点M的极坐标为 直线l过点M,且与圆C相切,求l的极

5、坐标方程.,【解题探究】(1)由条件可知，圆C的直角坐标方程是_,点M的直角坐标是_.(2)对直线分斜率存在与不存在讨论求解，主要利用当直线与圆相切时圆心到直线的距离等于_求解.【解析】以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系,则圆C的直角坐标方程为(x-)2+(y-1)2=4,点M的直角坐标为(3,3)，当直线l的斜率不存在时,不合题意.,半径,当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-3=k(x-3),由圆心C(,1)到直线l的距离等于半径2，得 解得k=0或 从而所求的直线l的直角坐标方程为y=3或 x-y-6=0，故直线l的极坐标方程为sin=3或,【互动探究】若将条件“点M的

6、极坐标为”改为“点M的极坐标为”，其余条件同原题，则直线l的极坐标方程是什么？【解析】因点M的直角坐标为 故当直线l的斜率不存在时，直线 与圆C相切；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y1=k(x2)，则由 无解，故所求直线l的方程为x=2+极坐标方程为cos=2+事实上，因点M 的坐标满足曲线C的方程，故点M在圆C上，从而切线只有一条，即cos=2+,【方法总结】解决曲线的极坐标方程问题的两种思路(1)将极坐标方程化为直角坐标方程，在直角坐标系中研究题中提出的问题，再将其化为极坐标.(2)将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标要注意题目所给的限制条件及隐含条件.,【变式备选】(2

7、013常州模拟)已知C1的极坐标方程为 C2的极坐标方程为判断C1,C2的位置关系.【解析】将C1,C2化为直角坐标方程得，C1:x+y+2=0,C2:x2+y22x2y=0，即C2:(x1)2+(y1)2=2,所以C1是直线，C2是圆.圆心到直线的距离所以直线与圆相离.,热点考向 2 参数方程【典例2】(2013苏州模拟)在平面直角坐标系xOy中,椭圆 的右顶点为A,上顶点为B,点P是第一象限内在椭圆上的一个动点,求PAB面积S的最大值.【解题探究】因三角形面积公式是S=_，故将边AB作为PAB的底，则点P到直线AB的距离为高，因点A，B坐标分别为_，故直线AB方程为_，因点P在椭圆上，故设

8、点P坐标为_，从而求点P到直线AB之间距离的最大值，可得PAB面积S的最大值.,(4，0)，(0，2),x+2y-4=0,(4cos,2sin),【解析】由条件可得点A，B坐标分别为(4，0)和(0，2)，故 直线AB方程为x+2y4=0，设点P坐标为(4cos,2sin)，其中(0,)，则点P到直线AB的距离为因(0,)，故取=得 此时PAB面积S的最大值为,【互动探究】在本题中，当PAB面积S最大时，点P的坐标是什么？过点P且平行于AB的直线与椭圆的位置关系如何？【解析】由原题得点P坐标是 设过点P且平行于AB的直线为x+2y+c=0，则 从而直线方程为 此方程与椭圆方程联立，得 化简得

9、因=0，故直线与椭圆只有一个公共点，即直线与椭圆相切.,【方法总结】1.利用参数方程求最值的思路有关圆锥曲线的参数方程，其实质是“三角换元”，化归为三角函数的恒等变换，由三角函数的有界性求其值域.2.利用参数方程研究直线与圆锥曲线的位置关系及弦长利用直线的参数方程，研究直线与圆锥曲线的位置关系以及弦长计算，有时比较方便.方法是把l：x=x0+tcos，y=y0+tsin,代入圆锥曲线C：F(x，y)=0，即可消去x，y；,而得到关于t的一元二次方程：at2+bt+c=0(a0)，则(1)当0时，l与C有两个公共点.此时方程at2+bt+c=0有两个不同的实根t1，t2，把参数t1，t2代入l的

10、参数方程，即可求得l与C的两个交点M1，M2的坐标.另外，由参数t的几何意义可知弦长M1M2=,【变式备选】过点 作倾斜角为的直线与曲线x2+2y2=1交于不同两点M,N，求PMPN的取值范围.【解析】设直线为(t为参数)，代入曲线方程并整理得(1+sin2)t2+=10cos24(1+sin2)0,得:0sin2 则PMPN=|t1t2|=所以PMPN,热点考向 3 极坐标方程与参数方程的综合应用【典例3】(2013徐州模拟)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(为参数,r0),以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为若圆C上的点到直线l的最大距离为3,求r的值.

11、,【解题探究】当动点在圆周上时，它到与圆相离的直线l的最大距离可转化为圆心到直线的距离d与半径r之和，即_，故先将圆C的参数方程转化为普通方程_，直线l的极坐标方程转化为直角坐标方程_，再根据条件列方程求解.,d+r,【解析】因为圆C的参数方程为(为参数,r0),消去参数得,所以圆心 半径为r.因为直线l的极坐标方程为 化为普通方程为圆心C到直线 的距离为又因为圆C上的点到直线l的最大距离为3,即d+r=3,所以r=32=1.,【方法总结】极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程之间相互转化的一般思路(1)参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入

12、消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围.,(2)普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x=f(t)(或y=(t)，再代入普通方程F(x，y)=0，求得另一关系y=(t)(或x=f(t).一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率、某一点的横坐标(或纵坐标).,【变式训练】(2013辽宁高考)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1，直线C2的极坐标方程分别为=4sin,(1)求C1与C2交点的极坐标.(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为,(tR为参数),求a,b的值.,【解析】(1)由=cos=x,sin=y得，圆C1的直角坐标方程为x2+(y2)2=4,直线C2的直角坐标方程为x+y4=0,所以圆C1，直线C2交点的直角坐标为(0,4),(2,2).将交点的直角坐标化为极坐标所以C1与C2交点的极坐标为,(2)由(1)知，点P，Q的直角坐标为(0,2),(1,3),故直线PQ的直角坐标方程为xy+2=0.由于直线PQ的参数方程为(tR为参数).消去参数得 对照可得解得a=1,b=2.,