世纪金榜二轮专题辅导与练习选修4.ppt

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1、系列4部分选修4-1 几何证明选讲,1平行截割定理：(1)平行线等分线段定理及其推论定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段_，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也_推论：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰,相等,相等,(2)平行线分线段成比例定理及其推论定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成_推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段_(3)三角形角平分线的性质三角形的一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例.,比例,成比例,2相似三角形：(1)相似三角形的判定判定定理a两角对应相等的两

2、个三角形相似b两边对应成比例且夹角_的两个三角形相似c三边_的两个三角形相似推论：如果一条直线与三角形的一条边平行，且与三角形的另两条边相交，那么截得的三角形与原三角形相似.,相等,对应成比例,(2)相似三角形的性质定理相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于_(3)直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上的_的乘积,相似,比的平方,射影,3圆周角定理：(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆_的角(2)圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的_(3)圆周角定理的推论同弧(或等弧)所对的圆周角_；同圆或等

3、圆中，相等的圆周角所对的弧_半圆(或直径)所对的圆周角等于90.反之，90的圆周角所对的弧为_(或弦为_),相交,一半,相等,相等,半圆,直径,4圆的切线：(1)直线与圆的位置关系,dr,dr,dr,(2)切线的性质及判定切线的性质定理：圆的切线垂直于经过_的半径切线的判定定理过半径外端且与这条半径_的直线是圆的切线(3)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，切线长_,切点,垂直,相等,5弦切角：(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆_，另一边与圆相交的角(2)弦切角定理及推论定理：弦切角的度数等于其所夹弧的度数的_推论：同弧(或等弧)上的弦切角_，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角_,相切,一半,相

4、等,相等,6圆中比例线段：,PCPD,PBPC,PCPD,7.圆内接四边形：(1)圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角_(2)圆内接四边形判定定理：如果四边形的对角_，则此四边形内接于圆；若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别地，对定线段张角为直角的点共圆,互补,互补,1.(2013江苏高考)如图,AB和BC分别与圆O相切于点D,C,AC经过圆心O,且BC=2OC.求证：AC=2AD.,【证明】连结OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D,C,所以ADO=ACB=90.又因为A=A,所以RtADORtACB.所以 又BC=2OC=2OD,故AC=2AD.,

5、2.(2013新课标全国卷)如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB=DC.(2)设圆的半径为1，BC=延长CE交AB于点F，求BCF外接圆的半径.,【解析】(1)连结DE交BC于点G.由弦切角定理得ABE=BCE,而ABE=CBE，故CBE=BCE，BE=CE.又因为DBBE，所以DE为直径，DCE=90，由勾股定理得DB=DC.,(2)由(1)知，CDE=BDE，DB=DC，故DG是BC的中垂线，所以设DE的中点为O，连结BO，则BOG=60，从而ABE=BCE=CBE=30，所以CFBF，故RtBCF的外接圆的

6、半径等于,热点考向 1 相似三角形【典例1】如图，在ABC中，D是AC中点，E是BD三等分点，AE的延长线交BC于F，求 的值,【解题探究】解决本题可通过作平行线，构造相似三角形，即过D点作DMAF交BC于M.可知：(1)SBDM与SBEF的关系为：_ _.(2)SDMC与SBEF的关系为：_.,SBDM,=9SBEF,SDMC=6SBEF,【解析】过D点作DMAF交BC于M，因为DMAF，所以因为EFDM，所以 即SBDM=9SBEF，又即SDMC=SBDM=6SBEF，所以S四边形DEFC=14SBEF，因此,【互动探究】在本题中，若点E是BD的n等分点(左边第一个)，试用n的代数式表示

7、的值.【解析】同上述过程可得SBDM=n2SBEF，且从而S四边形DEFC=(2n2n1)SBEF,所以,【方法总结】有关三角形的面积的两类比例(1)相似三角形的面积比等于相似比的平方.(2)同底(或等高)的三角形面积比等于它们的高(底)之比.多边形的面积可通过分割，化归为三角形面积之和的形式.,【变式备选】如图，已知在ABC中，D是BC边的中点，且ADAC，DEBC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.(1)求证：ABCFCD.(2)若SFCD5，BC10，求DE的长.,【解析】(1)因为DEBC，D是BC的中点，所以EBEC，所以B1.又因为ADAC，所以2ACB.所以ABCFCD

8、.,(2)过点A作AMBC，垂足为点M.因为ABCFCD，BC2CD，所以又因为SFCD5，所以SABC20.因为SABC BCAM，BC10，所以20 10AM，所以AM4.又因为DEAM，所以 因为DM DCBMBDDM，BD BC5，所以所以,热点考向 2 圆周角定理、圆内接四边形【典例2】(2013苏州模拟)如图，四边形ABCD为圆内接四边形，延长两组对边分别交于点E，F，AFB的平分线分别交AB，CD于点H，K求证：EH=EK,【解题探究】因EH与EK在同一三角形中，故欲证两者相等，可利用“等角对等边”的方法证之，而EHK,EKH是“圆内角”，故由“三角形的外角等于和它不相邻的两个内

9、角之和”转化为圆周角，即由EHK=_，EKH=_，再证之.【证明】由条件可知：EHK=1+A，EKH=2+DCF,因FH是AFB的平分线，故1=2，因ABCD为圆内接四边形，故DCF=A,从而EHK=EKH，于是EH=EK.,1+A,2+DCF,【方法总结】1有关线段相等的三种证法(1)在同一三角形中，等角对等边.(2)在全等的两个三角形中，对应边相等.(3)利用比例线段，其中三个比例项相同或相等时，第四个比例项也相等.2“圆内角”和“圆外角”的转化关系在圆中，通常“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和”，将“圆内角”或“圆外角”转化为圆周角与其他特殊角的“和(差)”关系.,【变式训练】(

10、2013新课标全国卷)如图，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E,F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAE=DCAF，B，E，F，C四点共圆.(1)证明：CA是ABC外接圆的直径.(2)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值.,【解析】(1)因为CD为ABC外接圆的切线，所以DCB=A，由题设知故CDBAEF，所以DBC=EFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以CFE=DBC，故EFA=CFE=90.所以CBA=90，因此，CA是ABC外接圆的直径.(2)连结CE，因为CBE=90，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DBBE

11、，有CEDC，又BC2=DBBA=2DB2，所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.而DC2=DBDA=3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值为,热点考向 3 圆的切线、圆中比例线段【典例3】(2013淮安模拟)如图，O的半径为3，两条弦AB，CD交于点P，且AP=1，CP=3，OP=求证：APCDPB,【解题探究】设直线OP交O于点E，F，从本题条件易证APC和DPB是相似三角形，由此再证三角形全等，则需条件“边对应相等”，根据条件，可从相交弦定理计算得之，即由APBP=_=_，从而得证.,CPDP,FPEP,【证明】设直线OP交O于点E，F，由相交弦定理得APB

12、P=CPDP=FPEP又AP=1，CP=3，故DP=1，BP=3，所以AP=DP，BP=CP，而APC=DPB，所以APCDPB【方法总结】在圆中，有关线段乘积式或比例式的证明的两种方法(1)通过圆中特殊角之间的相等关系，证明相似三角形，从而得证.(2)通过圆幂定理(相交弦定理、切割线定理)直接证之.另外，可利用这些比例式计算有关线段的长度.,【变式训练】(2013南京模拟)如图，PA，PB是O的切线，切点分别为A，B，线段OP交O于点C若PA12，PC6，求AB的长,【解析】如图，延长PO交O于D，连结AO，BOAB交OP于点E因为PA与O相切，所以PA2PCPD设O的半径为R，因为PA12，PC6，所以1226(2R6)，解得R9因为PA，PB与O均相切，所以PAPB又OAOB，所以OP是线段AB的垂直平分线即ABOP，且AB2AE在RtOAP中，AE 所以AB,