世纪金榜二轮专题辅导与练习专题四第三讲.ppt

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1、第三讲 与数列交汇的综合问题,1.(2013南京模拟)设等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，若S3,S9,S6成等差数列，则 的值是_.,【解析】依题设知，2S9=S3+S6,显然公比q1,所以即2(1-q9)=1-q3+1-q6,所以2q9=q3+q6.又因为q0,所以2q6=1+q3,答案：,2.(2013天津模拟)在等差数列an中，a1=1,a7=4,数列bn是等比数列，且b1=6,b2=a3,则满足bna261的最小正整数n为_.【解析】因为等差数列an中，a1=1,a7=4,所以1+6d=4,解得因为数列bn是等比数列，且b1=6,b2=a3,所以,解得因为bna261,所以整理

2、，得所以n-14,解得n5,所以最小正整数n=6.答案：6,3.(2013昆明模拟)已知数列an为等比数列，且a1a13+2a72=5，则cos(a2a12)的值为_.【解析】在等比数列中,a1a13+2a72=a72+2a72=3a72=5，所以a72=所以cos(a2a12)=cos(a72)=答案:,4.(2013青岛模拟)在如图的表格中，每格填上一个数字后，使得每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a+b+c的值为_.,【解析】由题意知2a=1，所以 第三列和第五列的公比都为 设第四行第五列数为m，则 所以 即 所以答案:1,5.(2013安庆模拟)已知数列an的前n项和是Sn，且

3、(nN*).(1)求数列an的通项公式.(2)设bn=log3(1-Sn+1)(nN*)，求适合方程 的正整数n的值.,【解析】(1)当n=1时，a1=S1，由 得当n2时，因为所以所以所以an是以 为首项，为公比的等比数列.故,(2)bn=解方程 得n=100.,热点考向 1 数列与函数的综合【典例1】(1)(2013黄冈模拟)设函数f(x)=2x-cos x,g(x)=2x+sin x,数列an是公差为 的等差数列，若则(2)已知函数f(x)=M(x1,y1),N(x2,y2)是f(x)图象上的两点，横坐标为 的点P是线段MN的中点.,求证：y1+y2为定值；若 求Sn；在的条件下，若Tn

4、为数列an的前n项的和，若Tnm(Sn+1+1)对一切nN*都成立，试求实数m的取值范围.,【解题探究】(1)求 的关键点.由g(x)=2x+sin x知=,(2)根据点P是线段MN的中点，可得x1+x2是多少？提示：x1+x2=1.根据x1+x2=1，y1+y2为定值及 可采用什么方法求Sn？提示：倒序相加法.,求实数m取值范围的步骤：()求an:当n2时，an=,当n=1时，a1=适合上式.()求Tn:Tn=.()分离参数m:根据Tnm(Sn+1+1),可得m 即m.()求最值，确定m的范围：利用m大于 的最大值，求m的范围.,【解析】(1)由g(x)=2x+sin x知 所以由得答案：0

5、,(2)由已知可得，x1+x2=1,所以=由知当x1+x2=1时,y1+y2=f(x1)+f(x2)=1.Sn=,Sn=(b)(a)+(b)得当n2时，an=又当n=1时，所以故,因为Tnm(Sn+1+1)对一切nN*都成立，即 恒成立，又所以m的取值范围是,【方法总结】数列与函数交汇问题的常见类型及解法(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题.(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、分式、求和方法对式子化简变形.另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解.,【变式训练】(2013启东模拟)已知无穷数

6、列an中，a1,a2,，am是首项为10，公差为-2的等差数列；am+1,am+2,，a2m是首项为 公比为 的等比数列(其中m3,mN*)，并对任意的nN*，均有an+2m=an成立.(1)当m=12时，求a2 010.(2)若a52=试求m的值.(3)判断是否存在m(m3,mN*)，使得S128m+32 010成立？若存在，试求出m的值；若不存在，请说明理由.,【解析】(1)当m=12时，数列an的周期为24.因为2 010=2483+18,而a18是等比数列中的项，所以a2 010=a18=a12+6=(2)设am+k是第一个周期中等比数列中的第k项，则am+k=因为 所以等比数列中至少

7、有7项，即m7，则一个周期中至少有14项.所以a52最多是第三个周期中的项.若a52是第一个周期中的项，则a52=am+7=所以m=52-7=45;,若a52是第二个周期中的项，则a52=a3m+7=所以3m=45,m=15;若a52是第三个周期中的项，则a52=a5m+7=所以5m=45,m=9;综上，m=45或15或9.,(3)2m是此数列的周期.所以S128m+3表示64个周期及等差数列的前3项之和.所以S2m最大时，S128m+3最大.因为S2m=,当m=6时,S2m=31-当m5时，S2m当m7时，S2m-(7-)2+所以当m=6时，S2m取得最大值，则S128m+3取得最大值为64

8、+24=2 007.由此可知，不存在m(m3,mN*)，使得S128m+32 010成立.,热点考向 2 数列与解析几何的综合【典例2】在直角坐标平面上有一点列P1(x1,y1),P2(x2,y2),Pn(xn,yn),对一切正整数n,点Pn位于函数 的图象上，且Pn的横坐标构成以 为首项，-1为公差的等差数列xn.,(1)求点Pn的坐标.(2)设抛物线列c1,c2,c3,cn,中的每一条的对称轴都垂直于x轴,第n条抛物线cn的顶点为Pn,且过点Dn(0,n2+1),记与抛物线cn相切于Dn的直线的斜率为kn,求:,【解题探究】(1)求点Pn坐标的两个步骤：求横坐标xn：xn=；求纵坐标yn：

9、根据点Pn在函数 的图象上可求得yn=.,(2)求kn的四个关键点:根据抛物线cn的顶点为Pn,可设抛物线方程为；根据抛物线cn过点Dn(0,n2+1),可求得a=_；根据导数的几何意义可求得kn=_；根据和式的结构特点,求和的方法是_.,2n+3,裂项相消法,1,【解析】(1)所以所以(2)因为cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn.所以设cn的方程为：把Dn(0,n2+1)代入上式，得a=1,所以cn的方程为：y=x2+(2n+3)x+n2+1.kn=y|x=0=2n+3,所以所以=,【方法总结】求解点列问题的关键及规律(1)关键：寻求点的横坐标或纵坐标之间的关系.(2)规律：根据横坐标或纵

10、坐标的关系将其转化为等差或等比数列或数列求通项及求和问题，进行求解.,【变式训练】已知曲线C：xy=1,过C上的点An(xn,yn)作斜率为 的直线交曲线C于另一点An+1(xn+1,yn+1)，点列An的横坐标构成数列xn，其中(1)求xn与xn+1的关系式.(2)令 求证：数列bn是等比数列.(3)若cn=3n-tbn(t为非零整数，nN*)，试确定t的值，使得对任意nN*，都有cn+1cn成立.,【解析】(1)依题意知，过An(xn,yn)的直线方程为联立方程 消去y得所以xnxn+1=xn+2,即,(2)因为所以所以数列bn是首项为公比为q=-2的等比数列.,(3)由(2)知,bn=(

11、-2)n,要使cn+1cn恒成立,由cn+1-cn=3n+1-t(-2)n+1-3n-t(-2)n=23n+3t(-2)n0恒成立.即 恒成立.当n为奇数时，即 恒成立.又 的最小值为1，所以t1.,当n为偶数时，即 恒成立，又 的最大值为 所以即 又t为非零整数，所以t=-1，使得对任意nN*，都有cn+1cn.,热点考向 3 数列与不等式的综合【典例3】(2013宁波模拟)设公比大于零的等比数列an的前n项和为Sn,且a1=1,S4=5S2,数列bn的前n项和为Tn,满足b1=1,Tn=n2bn,nN*.(1)求数列an,bn的通项公式.(2)设cn=(Sn+1)(nbn-),若数列cn是

12、单调递减数列,求实数的取值范围.,【解题探究】(1)数列an,bn的通项公式的求解思路:等比数列an中,由a1=1,S4=5S2可得关于公比q的方程为,从而可求得q=_;数列bn中,由Tn=n2bn可得Tn-1=_,从而可得=(n1),故可用_求bn.,2,(n-1)2bn-1,累乘法,(2)求实数的取值范围的三个关键点：把cn用n,表示为计算cn+1cn=；由数列cn是单调递减数列可知,cn+1-cn0对nN*都成立,把所求问题转化为求函数的最值问题.,【解析】(1)由S4=5S2，q0,知q0且q1，所以 所以q=2,an=2n-1,又则得所以 当n=1时也满足.,(2)Sn=2n1，所以

13、 若数列cn是单调递减数列，则 对nN*都成立，即当n=1或2时，所以,【方法总结】1.证明与数列交汇的不等式问题的常用方法(1)作差比较法证明.(2)判断数列的单调性，根据数列的取值范围证明.(3)合理利用放缩法证明.,2.数列中不等式的放缩技巧(1)(2)(3)(4)利用(1+x)n的展开式进行放缩,【变式训练】(2013南通模拟)已知数列an满足：a1=a+2(a0),an+1=nN*.(1)若a=0,求数列an的通项公式.(2)设bn=|an+1-an|，数列bn的前n项和为Sn,证明：Sna1.,【解析】(1)若a=0时，a1=2,an+1=所以2an+12=an,且an0.两边取对

14、数，得lg 2+2lg an+1=lg an,化为lg an+1+lg 2=(lg an+lg 2),因为lg a1+lg 2=2lg 2,所以数列lg an+lg 2是以2lg 2为首项，为公比的等比数列.所以lg an+lg 2=所以an=,(2)由an+1=得2an+12=an+a,当n2时，2an2=an-1+a,-，得2(an+1+an)(an+1-an)=an-an-1,由已知得an0,所以an+1-an与an-an-1同号.因为a2=且a0，所以a12-a22=(a+2)2-(a+1)=a2+3a+30恒成立，,所以a2-a10,所以an+1-an0.因为bn=|an+1-an|

15、,所以bn=-(an+1-an),所以Sn=-(a2-a1)+(a3-a2)+(an+1-an)=-(an+1-a1)=a1-an+1a1.,【典例】设数列bn的前n项和为Sn,且bn=2-2Sn;数列an为等差数列,且a5=14,a7=20.(1)求数列bn的通项公式.(2)若cn=anbn(n=1,2,3,),Tn为数列cn的前n项和,求证:,【解析】(1)由bn=2-2Sn,令n=1,则b1=2-2S1,又S1=b1,所以当n2时,由bn=2-2Sn,可得bn-1=2-2Sn-1,所以bn-bn-1=-2(Sn-Sn-1)=-2bn,即所以bn是以 为首项，为公比的等比数列，于是,(2)

16、由数列an为等差数列，且a5=14,a7=20,可得公差可得an=3n-1,从而cn=anbn=所以所以,所以=则所以所以数列Tn单调递增.所以TnT1,而即 成立.,【方法总结】证明不等式的常用方法(1)比较法:最基本的方法是作差比较法.(2)分析法与综合法:一般是利用分析法分析,再利用综合法证明.(3)反证法:常用来证明一些否定性命题.(4)放缩法:主要是通过分子、分母的扩大或缩小，项数的增加与减少等手段达到证明的目的.,函数与方程思想解决数列中的最值问题【思想诠释】1.主要类型：(1)数列中的恒成立问题的求解.(2)数列中最大项与最小项问题的求解.(3)数列中前n项和的最值问题.(4)证

17、明不等式时构建函数求最值(值域).2.解题思路：结合条件与待求问题，把所求问题转化为关于n的函数或方程问题求解.,3.注意事项：(1)数列是定义在N*或其子集上的特殊函数，因此树立函数意识是解决数列问题的最基本要求.(2)求解过程中要注意项数n的取值范围，防止出错.,【典例】(14分)(2013天津模拟)已知函数f(x)=logmx(m为常数，0m1)，且数列f(an)是首项为2，公差为2的等差数列.(1)若bn=anf(an)，当 时，求数列bn的前n项和Sn.(2)设cn=anlg an，如果cn中的每一项恒小于它后面的项，求m的取值范围.,【审题】分析信息，形成思路(1)切入点：求f(a

18、n)，进而求出an；关注点：求Sn时应注意求和方法的选择.(2)切入点：根据an求cn,把恒成立问题转化为求函数的最值问题；关注点：根据函数的单调性求最值.,【解题】规范步骤，水到渠成(1)由题意f(an)=2+(n-1)2=2n,即logman=2n,所以an=m2n.bn=anf(an)=2nm2n,当 时，2分所以(),()()()，得=5分所以 7分,(2)由(1)知,cn=anlgan=2nm2nlgm,要使cncn+1对一切nN*成立,即nlgm(n+1)m2,对一切nN*恒成立,只需 10分 单调递增，所以当n=1时，.12分,所以 且0m1，所以0m所以m的范围为 14分,【点

19、题】规避误区，失分警示,【变题】变式训练，能力迁移数列an的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意nN*,总有2Sn=an2+an.(1)求数列an的通项公式.(2)设正数数列cn满足an+1=(cn)n+1(nN*),求数列cn中的最大项.,【解析】(1)由已知：对于任意nN*,总有2Sn=an+an2成立,所以2Sn-1=an-1+an-12(n2)-得2an=an+an2-an-1-an-12,所以an+an-1=(an+an-1)(an-an-1),因为an,an-1均为正数，所以an-an-1=1(n2),所以数列an是公差为1的等差数列，又n=1时，2S1=a1+a12,解得a1=1,所以an=n.,(2)由已知cn0,a2=c12=2c1=a3=c23=3 同理，易得c1c2,c2c3c4猜想n2时，cn是递减数列.令 则因为当x3时，ln x1,则1-ln x0,即f(x)0.所以在3,+)内f(x)为单调递减函数.由an+1=(cn)n+1知ln cn=,所以n2时，ln cn是递减数列.即cn是递减数列.又c1c2,所以数列cn中的最大项为c2=,