同济高数总复习(下).ppt

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1、,总 复 习,1.多元函数的导数,设二元函数 则因变量对某一个变量的偏,例1 设 求,解 由定义得,一、多元微分,导是将其余变量视为常量的导数.,例2 设,解 由复合函数的导数公式,得,求,在偏导计算过程中,要注意的是如何按定义计算函数,例3 求函数,的偏导.,解 当 时,在一点的导数.,当 时,同理:,2.高阶偏导,由于偏导本质上是一元函数的导数,故偏导函数仍然是,多元函数,由此可以定义高阶导数.对二元函数,高阶导数为,例4 设,解 由例2,知,所以,求二阶偏导.,在上例中看到,在二阶偏导连续的条件下,有,3.全微分,定义 对函数 对自变量的增量,若全增量具有表达式,其中 则称函数为可微的,

2、相应的微,相应的因变量的全增量为,分记为,可微的条件,微分计算公式,若函数有连续偏导,则,例5 设,解 由例2知,故,求,例6 讨论例3中的函数在原点的可微性.,解 由例3知,从而有,由此得,即有函数在原点可微分,且有,4.复合函数的导数,设二元复合函数,其中函数 均有所需要的各阶偏导数,则,例7 设,解 令 则,由导数公式,求,例8 设,解 令 则,所以,其中 为 类函数,求二阶偏导.,5.隐函数的导数,一个方程确定的隐函数,隐函数存在定理 若函数 满足,则在点 的某一邻域,由方程 可,确定一个 类函数 且有,函数有对各个变量的连续偏导数;,例9 设二元函数 由方程 确,解 令 则,故由公式

3、得,定,求,例10 设函数,是由方程,确定,求,解 令,则:,所以:,例11 设方程,确定 是 的函,数,证明,证 令,则:,所以:,因而,方程组确定的隐函数,隐函数存在定理 设四元函数,函数对各个变量具有连续的偏导,则方程组 在点 的某个邻,满足,域内能唯一地确定一组 函数组 满足条,件 并有相应的导数公,式.,例12 设方程,求,解 方程两边对 求导,则有,上式的第二式乘 再两式相减得,确定隐函数,从而有,同理有,由对称性得,6.方向导数与梯度,设二元函数 为可微函数,是与 同,向的单位向量,则函数在点 处沿方向 的方向导数,为:,梯度为,由此得:,处的外法向量,求,例13 设 是曲面,解

4、 令,因 取外法线方向,故,导数.,则:,在点,在点 处沿 的方向,所以:,又:,从而:,处沿哪个方向的方向导数最大？并求此最大值.,例14 函数,解 因为梯度方向即为最大方向导数方向.,在点,为最大方向导数方向.,最大方向导数为,二、多元微分的应用,1.几何应用,曲线的切线与法平面方程,设曲线由参数方程给出:,点 则曲线在该点处的切线和法平,切线,法平面,面方程为,若曲线有一般方程给出,则切线可视为两切平面的交线.,曲面的切平面与法线,设曲面方程为 点,切平面,则切平面方程与法线方程为,法线,例15 在曲线 上,求与平面,解 设切点所对应的参数值为 故相应的切向量为,即,平行的切线.,由已知

5、条件得切向量与平面的法向垂直,即有,故切点为 和 切向量为,和 相应的切线方程为,和,例16 求曲面,的切平面方程.,解 设切点为,上平行于平面,则该点的法向量为:,由条件两平面平行,即有:,有:,代入曲面方程有:,因而切点为:,故所求切平面为,例17 求曲面,解 设切点为,的切平面,使之过,且与直线,平行.,则该点的法向量为,因平面与直线平行,故平面的方向与直线的方向垂直,即,设切平面方程为,即,又点在平面上,即有,联立方程:,解之得,相应的切平面方程为,二元函数的极值,设二元函数 为 类函数,求极值.,1.求函数的一阶和二阶偏导;,2.令 求函数的所有驻点;,3.对函数的所有驻点,计算 的

6、符号,若,例18 设 由,解 方程两边求导,得,令 则有方程组,确定,求函数的极值.,解此方程组,得 再代入原方程,有驻点,对上述驻点,解此方程组,并注意到一阶偏导为零,有,在上面两个方程中,继续求导,得,此时,的极小值点,极小值为,此时 所以 是,的极大值点,极大值为,所以 是,条件极值,问题 求函数 在条件 下的极值.,方法 1.构造函数,2.解方程组,3.对方程的解进行讨论.,例19 求椭圆 的长半轴和短半轴之,解 椭圆的半轴长分别为原点到曲线的最长距离和最短,相应的方程组为,长.,距离.故作函数,由条件容易知道:于是有,令 即有,解之得 再代入曲线方程,得,故两半轴之长分别为,二、重积

7、分,1.二重积分的计算,在直角坐标下的计算,在极坐标下的计算,一般坐标变换,例20 计算积分,解 积分区域如图.因被积函数的原函数不是初等函数,故不能直接积分.首先交换积分次序:,例21 计算积分,及直线 围成的平面区域.,解,其中 由双曲线,例22 计算积分,解,其中,2.三重积分的计算,在直角坐标下三重积分的计算,先1后2的积分:,先2后1的积分,利用柱面坐标计算三重积分,利用球面坐标计算三重积分,例23 计算积分,绕 轴旋转一周所成的曲面再与 所围成的立体.,解1,其中 由,所以,积分,解2 利用柱面坐标,例24 计算积分,及 所围成的区域.,解 利用球面坐标,其中 是由曲面,3.重积分

8、的应用,曲面面积 设空间曲面,空间立体的质量与重心坐标的计算:设空间几何形,体 密度函数为 则质量 和重心坐标,则曲面的面积为,分别为,三、曲线积分与曲面积分,1.曲线积分,第一类曲线积分,计算方法:若,则有,第二类曲线积分,计算方法 若,则有,例25 求积分,解,其中,例26 求八分之一的球面,解 曲线弧的质量为,设中心坐标为 则,的边界曲线的重心（）.,由对称性知 即重心坐标为,例27 求,其中 取逆时针方向.,解 由积分公式得,所以,原积分为,2.曲面积分,第一类曲面积分,计算方法:,第二类曲面积分,积分方法:,其中,上侧取正,下侧取负.,例28 设 为椭球面,为 在点 处的切平面,为点

9、,到平面的距离,求,解 由条件知切平面方程为,则,的上半部分,点,因曲面方程为,因而,所以,例29 计算积分,上半球面 取上侧.,解,其中 为,所以,三个重要公式,格林公式,并且曲线积分与路径无关,高斯公式,斯托克斯公式,例30 设函数 在 平面上有一阶连续偏导数,曲线积分 与路径无关,且对任意,求,解 由曲线积分与路径无关的条件,得,恒有,故,又,两边求导,得,故 即,例31 求,其中 为正的常数,为从点 沿,解 添加弧段 因,到点 的一段弧.,由格林公式,所以,例32 计算积分,其中 取上侧.,解 作辅助曲面 并取下侧,则,所以,例33 求,解 作 取下侧,则,其法向与 轴的正向夹角为锐角

10、.,所以,其中,而,由此得到,例34 求 其中,是曲线 从 轴正向看是顺时针方向.,解 取曲面为平面 被柱面所割下部分,并,取下侧,则有,四、无穷级数,1.数项级数,设级数 部分和 若,则级数是收敛的,且,正项级数,正项级数收敛性的判定,比较判别法及极限形式;,比值判别法;,根值法.,交错级数,交错级数收敛性判定定理.,绝对收敛性,例35 讨论级数 的收敛性.,解 因,故级数收敛.,例36 讨论级数,解 因,又,的收敛性.,所以级数 绝对收敛.,例37 讨论级数 的收敛性.,解 因,考虑级数 显然有,又,从而级数 收敛,又 发散,故原级数,发散.,例38 讨论级数 的收敛性.,解 令,又,故原

11、级数条件收敛.,2.幂级数,求幂级数的收敛半径,比值法 设幂级数 则收敛半径为,根值法,泰勒级数和麦克劳林级数,基本展开式,函数展开成泰勒级数和麦克劳林级数,求和函数.,例39 求幂级数,解 容易得到收敛域为 在收敛范围中令和函数为 即,的收敛域和和函数.,所以,由此得到,例40 求,解 容易得到收敛域为 令和函数为 则,的收敛域及和函数.,例41 将函数,解 因,又,故,展开成 及 的,幂级数.,所以,例42 将函数,展开成 的幂级数.,解 因,所以,两边积分,得,例43 求,解 利用比值法直接求出相应的收敛半径.因,故当 级数收敛,当 时级数发散,所以收敛区间为.在端点处,级数收敛.令,的收敛区间及和函数.,则,两端求导后得,3.傅立叶级数,将周期为 的周期函数展开成傅立叶级数,其中,将周期为 的周期函数展开成傅立叶级数,正弦级数与余弦级数,例44 将函数 展开成周期为2的傅立叶级数.,解 注意到函数为偶函数,且满足收敛条件.,所以,