世纪金榜二轮专题辅导与练习专题二第四讲.ppt
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1、第四讲 函数的综合应用,1.(2013南通模拟)关于x的不等式(2ax-1)ln x0对任意x(0,+)恒成立,则实数a的值为_.,【解析】当01时,ln x0,依题意知:2ax-10,所以a,而,所以a.当x=1时,aR.综上可知:a=.答案:,2.(2013新课标全国卷改编)已知函数f(x)=若|f(x)|ax,则a的取值范围是_.,【解析】画出函数y=|f(x)|的大致图象如图所示,当x0时,g(x)=|f(x)|=x2-2x,g(x)=2x-2,g(0)=-2,故a-2.当x0时,g(x)=|f(x)|=ln(x+1),g(x)=由于g(x)上任意点处切线的斜率都要大于等于a,所以a0
2、,综上-2a0.答案:-2a0,3.(2013德州模拟)已知f(x)=xex,g(x)=-(x+1)2+a,若 x1,x2R,使得f(x2)g(x1)成立,则实数a的取值范围是_.,【解析】因为f(x)=xex,所以f(x)=ex+xex=(1+x)ex,当x-1时,f(x)0,函数为增函数;当x-1时,f(x)0,函数为减函数,所以当x=-1时,f(x)取得极小值,即最小值f(-1)=函数g(x)的最大值为a,若x1,x2R,使得f(x2)g(x1)成立,则有g(x)的最大值大于或等于f(x)的最小值,即a 答案:a,4.(2013徐州模拟)不等式2x-a0在1,2内有实数解,则实数a的取值
3、范围是_.【解析】由不等式2x-a0得:a0,所以,函数y=2x-在1,2上为增函数,其最大值为22-=3,依题意可知:a小于y=2x-(1x2)的最大值即可,所以a(-,3).答案:(-,3),5.(2013济宁模拟)已知函数f(x)=设F(x)=f(x+4),且函数F(x)的零点均在区间a,b(ab,a,bZ)内,则圆x2+y2=b-a的面积的最小值是_.,【解析】函数的导数为f(x)=显然当x-1时,1+x2 0130,1+x0,即f(x)0;当x0.所以f(x)在定义域上为增函数.因为f(-1)=所以x-1时,f(x)0,又f(0)=1,所以在(-1,0)上函数有且只有一个零点,,即F
4、(x)=f(x+4)在(-5,-4)上有且只有一个零点,即a=-5,b=-4,所以b-a=1,所以圆的半径为1,所以圆x2+y2=b-a的面积的最小值是.答案:,6.(2013东莞模拟)设函数f(x)=ax3+bx2+cx在区间0,1上单调递增,在区间(-,0),(1,+)上单调递减,又(1)求f(x)的解析式.(2)若在区间0,m(m0)上恒有f(x)x成立,求m的取值范围.,【解析】(1)f(x)=3ax2+2bx+c,由已知f(0)=f(1)=0,即 解得所以f(x)=3ax2-3ax,所以所以a=-2,b=3,所以f(x)=-2x3+3x2.,(2)令f(x)x,即-2x3+3x2-x
5、0,所以x(2x-1)(x-1)0,所以0 x 或x1.又f(x)x在区间0,m上恒成立,所以0m.,热点考向 1 不等式恒成立问题【典例1】(2013北京模拟)已知函数f(x)=ax-1-ln x,aR.(1)讨论函数f(x)的单调区间.(2)若函数f(x)在x=1处取得极值,对 x(0,+),f(x)bx-2恒成立,求实数b的取值范围.,【解题探究】(1)f(x)=ax-1-ln x的导函数f(x)=_;由于x0,因此分_与_两种情况讨论.(2)f(x)bx-2恒成立,可分离_,转化为求函数的_.,a0,a0,参数b,最值,【解析】(1)在区间(0,+)上,f(x)=当a0时,f(x)0恒
6、成立,f(x)在区间(0,+)上单调递减;当a0时,令f(x)=0得x=,在区间 上,f(x)0,函数f(x)单调递减,在区间 上,f(x)0,函数f(x)单调递增;综上所述:当a0时,f(x)的单调减区间是(0,+),无单调增区间;当a0时,f(x)的单调减区间是 单调增区间是,(2)因为函数f(x)在x=1处取得极值,所以f(1)=0,解得a=1,经检验可知满足题意.由已知f(x)bx-2,即x-1-ln xbx-2,即 b对x(0,+)恒成立,令g(x)=则g(x)=易得g(x)在(0,e2上单调递减,在e2,+)上单调递增,所以g(x)min=g(e2)=1-,即b1-,【方法总结】1
7、.分离参数法解决不等式恒成立问题的思路(1)将原不等式分离参数,转化为不含参数的函数的最值问题.(2)利用导数求该函数的最值.(3)依据要求得所求范围.2.函数思想求最值的思路(1)依据题设条件构造含参数的函数.(2)利用导数求该函数的最(极)值.(3)构造不等式求解.,【变式训练】(2013新课标全国卷)设函数f(x)x2axb,g(x)ex(cxd),若曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y4x+2.(1)求a,b,c,d的值.(2)若x-2时,f(x)kg(x),求k的取值范围.,【解析】(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f(0)=4,g(0)
8、=4.而f(x)=2x+a,g(x)=ex(cx+d+c).故b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而a=4,b=2,c=2,d=2.,(2)由(1)知f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1).设F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2,则F(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).由题设可得F(0)0,即k1.令F(x)=0,即2(x+2)(kex-1)=0,得x1=-ln k,x2=-2.,()若1k0,即F(x)在x(-2,x1)上单调递减,在x(x1,+)上单调递增,故F(x)在-2,+)上有最小值为F(x1).F(x1)=
9、2x1+2-x12-4x1-2=-x1(x1+2)0.故当x-2时,F(x)0恒成立,即f(x)kg(x).,()若k=e2,则F(x)=2e2(x+2)(ex-e-2),当x-2时,F(x)0,即F(x)在(-2,+)上单调递增,而F(-2)=0,故当且仅当x-2时,F(x)0恒成立,即f(x)kg(x).()若ke2,则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)0.从而当x-2时,f(x)kg(x)不可能恒成立.综上,k的取值范围为1,e2.,热点考向 2 利用导数证明不等式【典例2】(2013淄博模拟)函数f(x)=xln x-ax2-x(aR).(1)若函数f(x)在x=1处
10、取得极值,求a的值.(2)若函数f(x)的图象在直线y=-x图象的下方,求a的取值范围.(3)求证:,【解题探究】(1)函数取得极值的必要条件是什么?提示:其导数等于零.(2)函数f(x)的图象在直线y=-x图象的下方用代数式如何表示?提示:f(x)-x.(3)与(1),(2)有何联系?提示:两边取对数即可找到联系.,【解析】(1)函数定义域为(0,+),f(x)=ln x-2ax,因为f(x)在x=1处取得极值,所以f(1)=0,即-2a=0,所以a=0.,(2)由题意,得xln x-ax2-x 设h(x)=,则h(x)=令h(x)0,得0e,所以h(x)在(e,+)上单调递减.所以h(x)
11、max=h(e)=,所以a.,(3)由(2)知h(x)=在(e,+)上单调递减,所以当xe时,h(x)h(x+1),即所以(x+1)ln xxln(x+1),所以ln xx+1ln(x+1)x,所以xx+1(x+1)x,令x=2 012,得.,【方法总结】利用导数证明不等式的步骤(1)依据待证不等式的特征、变量的取值范围及不等式的性质,将待证不等式化简.(2)依据不等式构造函数.(3)利用导数研究函数的单调性,求其最值.(4)依据单调性及最值,得到待证不等式.,【变式训练】(2013天津高考)已知函数f(x)=x2ln x.(1)求函数f(x)的单调区间.(2)证明:对任意的t0,存在唯一的s
12、,使t=f(s).(3)设(2)中所确定的s关于t的函数为s=g(t),证明:当te2时,有,【解题提示】(1)求出函数f(x)=x2ln x的导数,利用导数确定函数f(x)的单调区间.(2)利用(1)的结论,首先确定t0时,对应函数f(x)的定义域为(1,+),然后根据函数f(x)的单调性证明.(3)承接(2)通过换元法及函数的单调性进行证明.,【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+).f(x)=2xln x+x=x(2ln x+1),令f(x)=0,得x=列表如下:所以函数f(x)的单调减区间是(0,),单调增区间是,(2)当00,令h(x)=f(x)t,x(1,+).由(1)知,h
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- 世纪 金榜 二轮 专题 辅导 练习 第四
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