世纪金榜二轮专题辅导与练习专题一第一讲.ppt

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1、专题一 集合、常用逻辑用语、向量、复数、算法、合情推理、不等式第一讲 集合、常用逻辑用语,一、主干知识1.集合的基本运算：(1)AB=_.(2)AB=_.(3)A=x|xU,且xA.2.充分条件、必要条件与充要条件：(1)若pq，则p是q的_，q是p的_.(2)若pq，则p与q互为_.,x|xA，或xB,x|xA,且xB,充分条件,必要条件,充要条件,3.pq，pq，p命题的真假：(1)pq命题中_时，该命题为真.(2)pq命题中_时，该命题为真.(3)p命题中_时，该命题为真.4.含有一个量词的命题的否定：(1)全称命题的否定xM,p(x)的否定为_.(2)存在性命题的否定xM,p(x)的否

2、定为_.,至少有一个命题为真,当且仅当p，q都真,当命题p假,xM,p(x),xM,p(x),二、必记公式1.集合的子集个数：若集合A的元素有n个，则A的子集个数是_，真子集个数是_，非空真子集的个数是_.2.两个重要结论：(1)AB=A_.(2)AB=A_.,2n,2n1,2n2,AB,BA,1(2013扬州模拟)已知集合A=1，2，B=2，3，则AB=_.【解析】因为A=1，2，B=2，3，所以AB=1，2，3.答案：1，2，32.(2013山东高考改编)设集合A=0,1,2,则集合B=x-y|xA,yA 中元素共有_个.【解析】x-y的取值分别为-2，-1,0,1,2.所以B中元素共有5

3、个.答案：5,3.(2013启东模拟)若命题“xR，使得x2+(a-1)x+10”为假命题，则实数a的范围为_.【解析】因为“xR，使得x2+(a-1)x+10”为假命题，所以x2+(a-1)x+10恒成立，因此=(a-1)2-40，解上式得：-1a3.答案：-1a3,4(2013德州模拟)设a，bR，则“a1且b1”是“a+b2”的_条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”和“既不充分也不必要”中选填).【解析】若a1且b1，则a+b2.若a+b2，当a=5，b=时有a+b2成立，但b1，所以“a1且b1”是“a+b2”的充分不必要条件.答案：充分不必要,热点考向 1 集合的概念及运算【

4、典例1】(1)(2013浙江模拟)设集合A=y|y=sin x,xR，集合B=x|y=lg x，则(A)B=_.(2)(2013浙江高考改编)设集合S=x|x-2，T=x|x2+3x-40，则(S)T=_.(3)已知A0,1，a，Ba2，b，且AB1，AB0,1,2,4，则logab_.,【解题探究】(1)集合A，B的元素分别是什么？提示：A的元素是三角函数的值域y，B的元素是对数函数的自变量x.(2)集合S，T是用什么方法表示的集合？如何求 S与T的并集？提示：集合S，T都是用描述法表示的集合，求 S与T的并集可画数轴，在数轴上直接看出.(3)由AB=1针对集合B可得到什么表达式？提示：可由

5、AB1，得出a2=1或b=1.,【解析】(1)由集合A中的函数y=sin x,xR,得到y-1,1,所以A=-1,1,所以 A=(-,-1)(1,+).由集合B中的函数y=lg x,得到x0,所以B=(0,+),则(A)B=(1,+).答案：(1,+),(2)因为T=x|-4x1,S=x|x-2，所以(S)T=x|x1.答案：x|x1,(3)因为A0,1，a，Ba2，b，且AB1，所以B中必有一个元素为1.当a2=1，即a=1时，若a=1,集合A中有两个元素为1，这与集合元素的互异性相矛盾，所以a=1不成立；若a=-1，则A0,1，-1，B=1,b，又因为AB0,1,2,4，并集中不含-1，故

6、a=-1不成立.当b=1时，因为AB0,1,2,4，所以a=2，此时logab=log21=0.答案：0,【方法总结】1.解答集合问题的思路先正确理解各个集合的含义,认清集合元素的属性、代表的意义,再根据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解.若给定的集合是不等式的解集,用数轴求解;若给定的集合是点集,用数形结合法求解;若给定的集合是抽象集合或是用列举法表示的集合,用Venn图求解.,2.几个等价关系(A)B=BB A;AB=BAB;(AB)=(A)(B);(AB)=(A)(B)等.,【变式训练】(2013江苏高考)集合-1,0,1共有个子集.【解析】集合-1,0,1的子集中有0个元素

7、的有1个,1个元素的有3个,2个元素的有3个,3个元素的有1个,共有8个.答案:8,热点考向 2 命题真假的判断与否定【典例2】(1)(2013四川高考改编)设xZ,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:xA,2xB,则 p为.(2)命题p:若x22,则 则p的否命题是;命题“p”是.(3)p:aa,b,c,q:aa,b,c,则“p且q”为(真,假)命题.,【解题探究】(1)对全称命题如何否定?提示:将全称量词改为存在量词,且对命题的结论否定.(2)命题p的条件和结论分别是什么?“”的否定是什么?提示:命题p的条件是:x22,结论是:“”的否定是“”.(3)p且q何时为真?何时为假?提示:

8、当p,q两个命题都真时,p且q为真;p,q两个命题至少有一个为假时,p且q为假.,【解析】(1)根据题意可知命题p:xA,2xB的否定是 p:xA,2xB.答案:xA,2xB(2)因为命题的否命题是对其条件和结论的否定,所以该命题的否命题为:若x22,则因为命题的否定是对结论的否定,所以该命题的否定为:若x22,则答案:若x22,则若x22,则,(3)由元素与集合、集合与集合之间的关系可知:命题p:aa,b,c为真命题,命题q:aa,b,c为真命题,因此,p且q为真命题.答案:真,【互动探究】若题(3)条件不变,则“p或q”为(真,假)命题;“p且q”为(真,假)命题.【解析】由题意得:p为假

9、,q为真,则“p或q”为真命题;“p且q”为假命题.答案:真假,【方法总结】1.命题真假的判定方法(1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别.(2)四种命题的真假的判断根据:一个命题和它的逆否命题同真假,而与它的其他两个命题的真假无此规律.(3)形如pq,pq,p命题的真假根据真值表判定.,(4)全称命题与存在性命题的真假的判定:全称命题:要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立,要判定其为假命题时,只需举出一个反例即可;存在性命题:要判定一个存在性命题为真命题,只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0,使得p(x0)成立即可;否则,这一存在性命题就是假命题

10、.,2.常见词语及命题的否定,【变式备选】(2013南通模拟)已知函数f(x)=4|a|x-2a+1.若命题“x(0,1),使f(x)=0”是真命题,则实数a的取值范围为.【解析】依题意知:f(0)f(1)0,即(-2a+1)(4|a|-2a+1)0,解上式得:答案:,热点考向 3 充要条件的判断【典例3】(1)(2013苏州模拟)设xR,则“x2-3x0”是“x4”的条件.(2)(2013枣庄模拟)“nN*,2an+1=an+an+2”是“数列an为等差数列”的条件.(3)(2013上海模拟)已知f(x)=x2-2x+3,g(x)=kx-1,则“|k|2”是“f(x)g(x)在R上恒成立”的

11、条件.,【解题探究】(1)判断A是B的充要条件的求解思路:由“x2-3x0”得出:_;由“x4”能否得出“x2-3x0”?提示:能.由“x2-3x0”能否得出“x4”?提示:不能.,x3或x0,(2)解决本题需要关注的两个问题:由“nN*,2an+1=an+an+2”能否得出“数列an为等差数列”?提示:能.由“数列an为等差数列”能否得出“nN*,2an+1=an+an+2”?提示:能.,(3)解决本题关键点:f(x)g(x)恒成立可转化为哪个不等式恒成立?提示:可转化为x2-2x+3kx-1在R上恒成立,再转化为x2-(2+k)x+40在R上恒成立.一元二次不等式的恒成立问题主要根据什么解

12、决?提示:主要根据根的判别式解决.,【解析】(1)由x2-3x0得x3或x3或x4,而由x4能推出x3成立,即x3或x0是x4的必要不充分条件.答案:必要不充分(2)由nN*,2an+1=an+an+2得,an+1-an=an+2-an+1,即任意相邻的两项之差相等,所以数列an为等差数列,当数列an是等差数列时,由等差中项定义可知2an+1=an+an+2.所以“nN*,2an+1=an+an+2”是“数列an为等差数列”的充要条件.答案:充要,(3)f(x)g(x)x2-2x+3kx-1x2-(2+k)x+40,此式对任意实数x都成立=(2+k)2-160-4k+24-6k2,而“|k|2

13、”是“-6k2”的充分不必要条件.答案:充分不必要,【方法总结】1.充分、必要条件的判断方法先判断pq与qp是否成立,然后再确定p是q的什么条件.2.判断充分、必要条件时的关注点(1)要弄清先后顺序:“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且A不能推出B;而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B,且B不能推出A.(2)要善于举出反例:如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时,可以尝试通过举出恰当的反例来说明.(3)要注意转化:若p是q的必要不充分条件,则p是q的充分不必要条件;若p是q的充要条件,那么p是q的充要条件.,【变式训练】1.(2013青岛模拟)在ABC中,“AB”是

14、“tanAtanB”的条件.【解析】因为函数y=tanx在(0,)上不是单调函数,所以“AB”是“tanAtanB”的既不充分也不必要条件.答案:既不充分也不必要2.(2013潍坊模拟)已知p:x1,q:x2-x0,则p是 q成立的条件.【解析】由x2-x0得,x1,所以 q:0 x1,所以p是 q成立的必要不充分条件.答案:必要不充分,利用命题的真假求参数的取值范围【典例】(1)已知命题p:x1,2,x2-a0,命题q:xR,x2+2ax+2-a=0,若“p且q”为真命题,则实数a的取值范围是.(2)设命题p:函数f(x)=(a-)x是R上的减函数;命题q:函数f(x)=x2-4x+3在0,

15、a上的值域为-1,3,若“p且q”为假命题,“p或q”为真命题,则a的取值范围是.,【解题探究】(1)“p且q”为真命题说明p,q的真假性如何?提示:“p且q”为真命题说明命题p,q都为真命题.(2)“p且q”为假命题,“p或q”为真命题说明什么?提示:“p且q”为假命题,“p或q”为真命题说明了p,q两个命题一真一假.,【解析】(1)因为命题p:x1,2,x2-a0,所以1x24,由ax2,所以a1.因为命题q:xR,x2+2ax+2-a=0,所以=4a2-4(2-a)0,所以a1或a-2.因为“p且q”为真命题,所以p与q都为真命题,所以由可得a=1或a-2.答案:a=1或a-2,(2)因

16、为函数 是R上的减函数,所以 所以因为f(x)=(x-2)2-1在0,a上的值域为-1,3,则2a4.因为“p且q”为假,“p或q”为真,所以p,q为一真一假,若p真q假,得 若p假q真,得综上可知:a的取值范围是 或答案:或,【方法总结】利用命题的真假求参数的取值范围的三个关注点(1)对命题进行合理转化,求出命题为真时参数的范围.(2)根据真值表确定命题的真假,从而确定相应参数的范围.(3)参数范围的确定最终归结到集合的交、并、补运算,应注意区别.,【变式备选】(2013黄石模拟)已知p:f(x)=且|f(a)|2;q:集合A=x|x2+(a+2)x+1=0,xR,且A.若pq为真命题,pq

17、为假命题,求实数a的取值范围.,【解析】若|f(a)|=2成立,则-61-a6,即当-5a7时p是真命题;若A,则方程x2+(a+2)x+1=0有实数根,由=(a+2)2-40,解得a-4或a0,即当a-4或a0时q是真命题.由于pq为真命题,pq为假命题,所以p与q一真一假,故知所求a的取值范围是a-5或-4a0或a7.,数形结合思想解决集合间的关系、集合的运算问题【思想诠释】1.主要类型:(1)集合间关系的判断,如判断两个点集之间的关系、由不等式组成的集合之间的关系.(2)求集合的交集、并集、补集.(3)已知集合之间的关系,求参数值或参数的范围,如集合A是集合B的子集、AB=A、AB=A.

18、,2.解题思路:常常利用数形结合思想,找出集合之间的所有部分、公共部分,元素之间的关系,从而得出结论或解决问题的方法.3.注意事项:(1)准确理解集合代表元素是数形结合的关键.(2)准确理解有关集合的概念,寻找图中符合题意的部分.,【典例】1.(2013济南模拟)设全集U=R,集合P=x|y=ln(1+x),Q=y|y=,则图中阴影部分表示的集合为.2.设平面点集A=(x,y)|(y-x)0,B=(x,y)|(x-1)2+(y-1)21,则AB所表示的平面图形的面积为.,【审题】分析信息，形成思路1.切入点:求阴影部分表示的集合,根据图形得出是何运算.关注点:集合P是函数定义域;Q是函数的值域

19、.2.切入点:求AB所表示的平面图形的面积,根据集合的代表元素得出两个集合表示的图形.关注点:集合A表示的是一条直线与一条双曲线所构成的区域;B表示一个圆及其内部.,【解题】规范步骤,水到渠成1.由1+x0得x-1,即P=x|x-1;Q=y|y0,因此结合题意得,题中阴影部分表示的是集合P(Q)=x|-1x0,xR.答案:x|-1x0,xR,2.AB所表示的平面图形为图中阴影部分,由对称性可知，S1=S2,S3=S4.因此AB所表示的平面图形的面积是圆面积的一半,即为答案:,【点题】规避误区，易错警示,【变题】变式训练，能力迁移1.设P=y|y=-x2+1,xR,Q=y|y=2x,xR,则 P

20、与Q的包含关系为.【解析】P=y|y=-x2+1,xR=y|y1,Q=y|y=2x,xR=y|y0,所以 P=y|y1,画出数轴如图.所以 P Q.答案:P Q,2.已知M,N为集合I的非空真子集,且M,N不相等,若N M=,则MN=.【解析】由Venn图可知NM,所以MN=M.答案:M,3.如图,有四个半径都为1的圆,其圆心分别为O1(0,0),O2(2,0),O3(0,2),O4(2,2).记集合M=Oi|i=1,2,3,4,若A,B为M的非空子集,且A中的任何一个圆与B中的任何一个圆均无公共点,则称(A,B)为一个“有序集合对”(当AB时,(A,B)和(B,A)为不同的有序集合对),那么

21、M中“有序集合对”(A,B)的个数是.,【解析】注意到O1与O4无公共点,O2与O3无公共点,又当AB时,(A,B)和(B,A)为不同的有序集合对,则满足题意的“有序集合对”(A,B)的个数是4.答案:4,4.集合U=(x,y)|xR,yR,M=(x,y)|x|+|y|a,P=(x,y)|y=f(x),现给出下列函数:f(x)=ax;f(x)=logax;f(x)=sin(x+a);f(x)=cosax.若0a1时,恒有P(M)=P,则所有满足条件的函数f(x)的编号是.,【解析】集合U为坐标平面上的所有点组成的集合,集合M为坐标平面上的一个正方形区域,集合P是函数图象上的点组成的集合.P(M)=P等价于PM=,如图,由于y=ax(0a1)单调递减且过点(0,1),故其图象与区域M无公共点;同理y=logax(0a1)也与区域M无公共点;函数y=sin(x+a)与y轴的交点坐标是(0,sina),当0a1时,sinaa,所以函数y=sin(x+a)的图象与区域M存在公共点;函数y=cosax离区域M最接近的与x轴的两个交点坐标是 由于 故两个点不在区域M内,函数y=cosax的图象与y轴的交点坐标为(0,1),这个点也不在区域M内,结合余弦函数图象的特征可知函数y=cosax的图象与区域M无公共点.答案:,