随机过程-1泊松过程.ppt

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1、泊松过程,主讲教师 段禅伦2008年秋季学期,硕士研究生学位课程应用数学基础,(演示文稿),(Poisson process),第三章 泊松过程,泊松过程是一类较为简单的时间连续,状态离散的随机 过程.泊松过程在物理学、地质学、生物学、医学、天 文学、服务系统和可靠性理论等领域都有广泛的应用.3.1 泊松过程的定义和例定义3.1 称随机过程N(t),t0为计数过程,若N(t)表 示到时刻t为止已发生的事件A的总数,且N(t)满足下列 条件:(1)N(t)0;(2)N(t)取正整数值;(3)若st,则N(s)N(t);(4)当st时,N(t)-N(s)等于区间(s,t中发生的事 件A的次数.,泊

2、松过程的定义和例,如果计数过程N(t)在不相重叠的时间间隔内,事件A发 生的次数是相互独立的,即若 t1t2t3t4 则在区间(t1,t2内事件A发生的次数N(t2)-N(t1),与在(t3,t4内事件A发生的次数N(t4)-N(t3)相互独立,那么 此时的计数过程N(t)是独立增量过程.如果计数过程N(t)在(t,t+s(s0)内,事件A发生的次 数N(t+s)-N(t),仅与时间差s有关,而与时刻t无关,则 计数过程N(t)是平稳增量过程.泊松过程是计数过程的最重要的类型之一,其定义是:定义3.2 称计数过程X(t),t0,为具有参数0的泊 松过程,如果X(t),t0满足下列条件:,泊松过

3、程的定义和例,(1)X(0)=0;(2)X(t)是独立增量过程;(3)在任一长度为t的区间中,事件A发生的次数服从 参数0的泊松分布,即对任意s,t0,有 PX(t+s)-X(s)=n=e-t,n=0,1,2,.从条件(3)知,泊松过程是平稳增量过程且EX(t)=t.由于:=EX(t)/t表示单位时间内事件A发生的平均 个数,故称为泊松过程的速率或强度.从定义3.2,我们看到:为了判断一个计数过程是泊松过 程,必须证明它满足条件(1),(2)和(3).条件(1)只是说 明事件A的计数是从t=0时开始的;条件(2)通常可从我,泊松过程的定义和例,们对过程了解的情况去验证;然而条件(3)的验证是非

4、 常困难的.为了方便应用,以下我们再给出泊松过程的 另一个定义.定义3.3 称计数过程X(t),t0,为具有参数0的泊 松过程,如果X(t),t0满足下列条件:(1)X(0)=0;(2)X(t)是独立、平稳增量过程;(3)X(t)满足下列两式:PX(t+h)-X(t)=1=h+o(h);PX(t+h)-X(t)2=o(h).定义3.3中的条件(3)要求:在充分小的时间间隔内,最 多有1个事件发生,而不能有2个或2个以上事件同时发,泊松过程的定义和例,生.这种假设对于许多物理现象比较容易得到满足.例3.1 考虑某电话交换台在某段时间接到的呼叫.令X(t)表示电话交换台在(0,t时间段内收到的呼叫

5、次数,则 X(t),t0满足定义3.3中的各个条件,故X(t),t0 是一个泊松过程.其实对于任意的0t1t2tn,随机变量X(t2)-X(t1),X(t3)-X(t2),X(tn)-X(tn-1)分别表示,在时间 段(t1,t2,(t2,t3,(tn-1,tn内,电话交换台接到的 呼叫次数,它们是相互独立的,所以随机过X(t),t0 是一个独立增量过程.而且对于任意的st,随机变量X(t)-X(s)的分布可以 认为仅与t-s有关,故X(t),t0是平稳独立增量过程.,泊松过程的定义和例,例3.2 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客.如果 记X(t)为在时间(0,t内到达售票窗口的旅客数,

6、则计 数过程X(t),t0满足定义3.3中的各个条件,故是一 个泊松过程.例3.3 考虑机器在(t,t+h)时间段内发生故障的事件.若 机器发生故障,立即修理后继续工作,则在(t,t+h)时间 段内机器发生故障而停止工作的事件数,构成一个随机 点过程,该过程可以用泊松过程进行描述.定理3.1 泊松过程的两种定义,即定义3.2与定义3.3是等 价的.证明:首先证明定义3.2蕴涵定义3.3.比较两条定义,由于定义3.2的条件(3)中蕴涵X(t)为平,泊松过程的定义和例,稳增量过程,所以只需证明由定义3.2的条件(3)可以推 出定义3.3的条件(3).由式 PX(t+s)-X(s)=n=e-t,n=

7、0,1,2,.对充分小的h,有 PX(t+h)-X(t)=1=PX(h)-X(0)=1(X(h)=X(0+h)=e-h=h=h1-h+o(h)=h+o(h);PX(t+h)-X(t)2=PX(h)-X(0)2=o(h).,泊松过程的定义和例,以下证明定义3.3蕴涵定义3.2.经比较,只需证明由 定义3.3中后两式可以推出定义3.2的(3)式.为此令 Pn(t)=PX(t)=n=PX(t)-X(0)=n.根据定义3.3的(2)与(3),有 P0(t+h)=PX(t+h)=0=PX(t+h)-X(0)=0=PX(t)-X(0)=0,X(t+h)-X(t)=0=PX(t)-X(0)=0PX(t+h)

8、-X(t)=0=P0(t)1-h+o(h),所以=-P0(t)+.令h0取极限得 P0(t)=-P0(t)或=-.,泊松过程的定义和例,积分得 lnP0(t)=-t+C 即 P0(t)=ke-t.由于P0(0)=PX(0)=1,代入前式得 P0(t)=e-t.类似地,对于n1,有 Pn(t+h)=PX(t+h)=n=PX(t+h)-X(0)=n=PX(t)-X(0)=n,X(t+h)-X(t)=0+PX(t)-X(0)=n-1,X(t+h)-X(t)=1+PX(t)-X(0)=n-j,X(t+h)-X(t)=j.根据定义3.3的(2)与(3),得 Pn(t+h)=Pn(t)P0(h)+Pn-1

9、(t)P1(h)+o(h)=(1-h)Pn(t)+hPn-1(t)+o(h)于是,有,泊松过程的定义和例,=-Pn(t)+Pn-1(t)+.令h0取极限得 Pn(t)=-Pn(t)+Pn-1(t),所以 etPn(t)+Pn(t)=etPn-1(t),因此 etPn(t)=etPn-1(t).当n=1时,得 etP1(t)=etP0(t)=ete-t=,P1(t)=(t+c)e-t.,泊松过程的定义和例,由于P1(0)=0,代入上式得 c=0,P1(t)=te-t.以下用数学归纳法证明:Pn(t)=e-t成立.假设n-1时有结论,证对n有:PX(t+s)-X(s)=n=e-t,n=0,1,2,

10、.根据 etPn(t)=etPn-1(t)式,有 etPn(t)=et e-t=,积分得 etPn(t)=+c.,泊松过程的定义和例,由于Pn(0)=PX(0)=n=0,因而c=0,所以 Pn(t)=e-t.由条件(2)X(t)是独立、平稳增量过程,故有 PX(t+s)-X(s)=n=e-t,n=0,1,2,故定义3.3蕴涵定义3.2.,3.2 泊松过程的基本性质1.数字特征 根据泊松过程的定义,可以导出泊松过程的几个常用的数字特征.设X(t),t0是泊松过程,对任意t,s0,)及st,泊松过程的基本性质,从定义3.2的(3)得 EX(t)-X(s)=DX(t)-X(s)=(t-s).由于X(

11、0)=0,故 mX(t)=EX(t)=EX(t)-X(0)=t;2X(t)=DX(t)=DX(t)-X(0)=t;RX(s,t)=EX(s)X(t)=EX(s)X(t)-X(s)+X(s)=EX(s)-X(0)X(t)-X(s)+EX(s)2=EX(s)-X(0)EX(t)-X(s)+DX(s)+EX(s)2=s(t-s)+s+(s)2=s(t+1);,PX(t+s)-X(s)=n=e-t,n=0,1,2,泊松过程的基本性质,BX(s,t)=RX(s,t)-mX(s)mX(t)=s;一般地,泊松过程的协方差函数可以表示为 BX(s,t)=min(s,t).泊松过程的特征函数是 gX(t)=Ee

12、iuX(t)=.2.泊松过程的时间间隔与等待时间的分布 如果以泊松过程来描述服务系统接受服务的顾客数,那 么,顾客到来接受服务的时间间隔、顾客等待的排队时 间等分布问题都需要进行研究.以下讨论泊松过程与时 间有关的分布.设X(t),t0是泊松过程,令X(t)表示t时刻事件A发,泊松过程的基本性质,生(顾客出现)的次数,W1,W2,分别表示第一次,第二次 事件A发生的时间,Tn(n1)表示从第(n-1)次事件A 发生到第n次事件A发生的时间间隔(如下图所示)通常称Wn为第n次事 件A出现的时刻或第 n次 事件A的等待时间,Tn是 第n个时间间隔,它们都是随机变量.如何利用泊松过程中事件A发生所对

13、应的时间间隔关系 研究各次事件间的时间间隔分布呢?定理3.2 设X(t),t0是具有参数的泊松分布,Tn,n 1是对应的时间间隔序列,则随机变量Tn(n=1,2,)是独立同分布的均值为1/的指数分布.,W1,W2,W3,Wn-1,Wn,O,T1,T2,T3,Tn,泊松过程的基本性质,证明:首先,由于事件T1t发生 泊松过程在区间0,t内没有事件发生,因而 PT1t=PX(t)=0=e-t,(因此时为)(t)=PT1t=1-PT1t=1-e-t,(求导得密度)所以T1是服从均值为1/的指数分布.(导数为e-t)利用泊松过程的独立、平稳增量性质,有 PT2t|T1=s=P在(s,s+t内没有事件发

14、生|T1=s=P在(s,s+t内没有事件发生=PX(t+s)-X(s)=0=PX(t)-X(0)=0=e-t,即(t)=PT2t=1-PT2t=1-e-t,故T2也是服从均值为1/的指数分布.,泊松过程的基本性质,对于任意n1和t,s1,s2,sn-10,有 PTnt|T1=s1,Tn-1=sn-1=PX(t+s1+sn-1)-X(s1+s2+sn-1)=0=PX(t)-X(0)=0=e-t,即(t)=PTnt=1-PTnt=1-e-t,可见对任意Tn(n1),其分布是均值为1/的指数分布.定理3.2说明,对于任意n=1,2,事件A相继到达的时间 间隔Tn的分布为(t)=PTnt=,其概率密度

15、为(t)=.(均值为1/,方差为1/2),1-e-t,t0,0,t0,e-t,t0,0,t0,泊松过程的基本性质,定理3.2的结论是在平稳独立增量过程的假设前提下得 到的,该假设的概率意义是指:过程在任何时刻都从头 开始,即从任何时刻起,过程独立于先前已发生的一切(独立增量),且有与原过程完全一样的分布(平稳增量).其实,由指数分布无记忆性的特征,时间间隔的指数分 布应该是在预料之中的.另一个感兴趣的问题是:等待时间Wn的分布,即第n次事 件A到达的时间分布.因 Wn=Ti,n1,由定理3.2知,Wn是n个相互独立的指数分布随机变量和,故用特征函数方法,可得如下结论:,泊松过程的基本性质,定理

16、3.3 设Wn,n1是与泊松过程X(t),t0对应的 一个等待时间序列,则Wn服从参数为n和的分布,其 概率密度为定理3.3可用以下方法导出:注意到第n个事件在时刻t或之前发生 到时间t已发生 的事件数目至少是n,即X(t)n Wnt.因此 PWnt=PX(t)n=.对该式求导,得Wn的密度函数:(t)=-e-t+e-t=e-t.,泊松过程的基本性质,Wn服从参数为n和的分布的密度函数式,亦称爱尔 兰分布,它是n个相互独立且服从指数分布的随机变量 之和的概率密度.“电话呼叫”是一个泊松过程.相继出现的第i-1次和第 i次电话呼叫的间距距离Ti=Wi-Wi-1(i=1,2,)是一个连 续型随机变

17、量,它们都服从参数为的指数分布,其概 率密度为 其等待时间Wn也都是连续型随机变量,服从分布,其 密度函数称爱尔兰分布:,泊松过程的基本性质,又如若X(t)表示在时间区间0,t)内来到某商店的顾客数,X(t)是参数为的泊松过程,每个来到商店的顾客购买某些货物的概率为p,不买东西就离去的概率是1-p=q,且每个顾客是否购买货物是相互独立的,令Y(t)为0,t)内购买货物的顾客数,则Y(t),t0是参数为p的泊松过程.由于 PX(t)=n=,而 PY(t)=m=PX(t)=nPY(t)=m|X(t)=n=(t)m e-qt,泊松过程的基本性质,=.Poisson过程与均匀分布的关系.设X(t),t

18、0是强度为的泊松过程,若在时间区间0,t)内仅有1个随机质点到来,记为质点到达时间,则当st时,有Ps|X(t)=1=(te-t)-1Ps,X(t)=1=(te-t)-1PX(s)=1,X(t)-X(s)=0=s/t.可见,随机变量服从均匀分布.,条件概率:P(B|A)=P(AB)/P(A);当P123公式中的n=1,n=0时的概率;以及X(t)-X(s)=X(t-s)=0.,对照均匀分布的分布函数.,泊松过程的基本性质,3.到达时间的条件分布 假设在0,t内事件A已经发生一次,如何确定这一事件到达时间W1的分布呢?由于泊松过程有平稳独立增量,所以可以认为0,t内长度相等的区间包含事件A的概率

19、相同,即该事件的到达时间在0,t上服从均匀分布.事实上,对st有 PW1s|X(t)=1=.,泊松过程的基本性质,于是得分布函数(s)=及分布密度函数(s)=此结果可推广到一般的情况:定理3.4 设X(t),t0是泊松过程,已知在0,t内事件 A发生n次,则这n次到达时间W1W2Wn与相应于n 个0,t上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相 同的分布.证明:令0t1t2tn+1=t,且取hi充分小,使得对i,其它.,泊松过程的基本性质,=1,2,n有ti+hiti+1,则在给定X(t)=n的条件下,有 Pt1W1t1+h1,tnWntn+hn|X(t)=n=Pt1W1t1+h1,tnWntn

20、+hn|X(t)=n=.令hi0,便得W1,Wn在已知X(t)=n的条件下的条件联合概率密度f(t1,tn)=,因此,h1hn,其它.,泊松过程的基本性质,例3.4 设在0,t内事件A已经发生n次且0st,对于0 kn,求PX(s)=k|X(t)=n.解:利用条件概率和泊松分布得 PX(s)=k|X(t)=n=.,这是一个参数为n和s/t的二项分布.,泊松过程的基本性质,例3.5 设在0,t内事件A已经发生n次,求第k(kn)次事 件A发生的时间Wk的条件概率密度函数.解:先求条件概率PsWks+h|X(t)=n,然后关于s求导.当h充分小时,有 PsWks+h|X(t)=n=PsWks+h,

21、X(t)-X(s+h)=n-k/PX(t)=n=PsWks+h,X(t)-X(s+h)=n-ket(t)-nn!=PsWks+hPX(t)-X(s+h)=n-ket(t)-nn!将上式两边除以h,并令h0取极限,得=PX(t)-X(s+h)=n-ket(t)-nn!,泊松过程的基本性质,由定理3.3,=,及定义 PX(t)-X(s)=n-k=得=.条件概率密度 是一个Bata分布.例3.6 设X1(t),t0和X2(t),t0是两个独立的泊 松过程,它们在单位时间内平均出现的事件数,分别为 1和2.记 为过程X1(t)的第k次事件到达时间,为过程X2(t)的第1次事件到达时间,求P,即 第一个

22、泊松过程的第k次事件发生比第二个泊松过程的,泊松过程的基本性质,第1次事件发生早的概率.解:设 的取值为x,的取值为y,由泊松过程等待时 间的分布密度 以及 和X1(t)与X2(t)的相互独立性:f(x,y)=知.,x,y,y=x,o,D,D:yx,x0,关于全(条件)期望公式,全(条件)期望公式 对任意的随机变量X,Y,有EEX|Y=EX.当(X,Y)为离散型随机向量时,全期望公式的离散形式为(1)E(X)=EX|yjPY=yj;当(X,Y)为连续型随机向量时,全期望公式的连续形式为(2)E(X)=.证明:(1)(2)=,=,.,.,=,泊松过程的基本性质,例3.7 仪器受到震动而引起损伤,

23、若震动是按强度为的 泊松过程发生,第k次震动引起的损伤为Dk,D1、D2、是独立同分布的随机变量列且与N(t),t0独立.其 中N(t)表示0,t时间段仪器受到震动次数.假设仪器 受到震动而引起的损伤随时间按指数减小,即如果震动 的初始损伤为D,则震动之后经过时间t减小为De-t(0).假设损伤是可叠加的,即在时刻t的损伤可表示为 D(t)=,其中k为仪器受到第k次震动的时 刻,求ED(t).解:ED(t)=E=EE|N(t),全期望公式,泊松过程的基本性质,由于=.由定理3.4知,在N(t)=n的条件下k(k=1,2,n)是0,t上相互独立的均匀随机变量U(k),k=1,2,n的顺序 统计量

24、,故=.所以.于是得.,关于泊松过程的练习题,设顾客按强度为的泊松过程到达,N(t)表示在(0,t)中到达的第i类(i=1,2)顾客.设时刻s到达的顾客与其他顾客是独立的.属于第1类的概率为P(s),属于第2类的概率为P(1-s).问N1(t)与N2(t)各是什么分布的随机变量?求PN1(t)=n,N2(t)=m|N(t)=n+m.解:由时刻s到达的顾客与其他顾客的独立性知,N1(t)与 N2(t)相互独立,且分别是均值为tp和t(1-p)的泊 松分布,式中的p=P(s)ds:鉴于时刻s服从(0,t)上 的均匀分布,所以将该条件加到时间s上有p=P(s)ds.从事件N1(t)=n与N2(t)=

25、m的独立性,知 PN1(t)=n,N2(t)=m|N(t)=n+m 恰是n+m重贝努利试验中第1类顾客出现n次的概率,故,关于泊松过程的练习题,PN1(t)=n,N2(t)=m=PN1(t)=n,N2(t)=m|N(t)=n+mPN(t)=n+m=pn(1-p)me-t=e-tp e-t(1-p).M/G/表示一个随机服务系统,M表示顾客到达是强度为的泊松过程;G表示服务时间Y是独立同分布的随机变量,分布函数是G(t);表示服务人员数,说明顾客到达后无须等待.确定服务系统的效率.解:以N1(t)记到时刻t已服务完的顾客数,N2(t)记到时刻 t未服务完的顾客数.确定服务系统的效率,即计算到时

26、刻t已服务完的顾客数与未服务完的顾客数的联合分布,关于泊松过程的练习题,以及N1(t)和N2(t)的均值函数.设顾客在时刻s到达,st,到时刻t已服务完,即服务时间Yt-s,因而其概率为G(t-s),即P(s).于是 EN1(t)=tp=G(t-s)ds=G(y)dy;EN2(t)=t(1-p)=1-G(y)dy=t-G(y)dy.某机构从上午8时开始有无穷多人排队等候服务.设只有1名工作人员,每人接受服务的时间是独立的且服从均值位20分钟的指数分布.问(1)到中午12时,平均有多少人离去?(2)有9人接受服务的概率是多少?解:既然时间间隔是服从均值为1/3小时(20分钟)的指数,关于泊松过程

27、的练习题,分布,那离去人数N(t)就是强度为3(以时计)的泊松过程.若以8时为零时刻,则到12时离去的人数平均是12名,故(1)PN(4)-N(0)=n=e-12;(2)有9人接受服务的概率 PN(4)-N(0)=9=e-12.乘客以强度为A的泊松过程到达飞机A(从t=0开始),当飞机有NA个乘客时就起飞,与此独立的是乘客以强度为B的泊松过程到达飞机B(从t=0开始),当飞机有NB个乘客时起飞.(1)写出飞机A在飞机B之后起飞的概率式;(2)对NA=NB和A=B的情形,计算(1)中的概率.,关于泊松过程的练习题,解:(1)以TA记飞机A的第NA个乘客到达的时刻,TB记飞机B 的第NB个乘客到达

28、的时刻,则飞机A在飞机B之后起飞的 概率为PTATB.泊松过程X(t)到达时间的概率密度 函数为(t)=(t)=(t)=由独立性,得 PTATB=,e-t,(t0)0,(t0),A,(t0)0,(t0),B,(t0)0,(t0),关于泊松过程的练习题,=.(2)中条件即,此时由对称性,有 PTATB=1/2.设乘客按强度为的泊松过程来到某火车站,火车在时刻t起程,计算在时间(0,t)内到达的乘客候车时间总和的期望值,即求E(t-Ti),其中Ti是第i个乘客到达的时刻.解:对N(t)取条件n,有 E(t-Ti)|N(t)=n=E(t-Ti)|N(t)=n=nt-E Ti|N(t)=n.以U1,U

29、2,Un记在(0,t)上n个均匀分布,且相互独立的,关于泊松过程的练习题,随机变量,则 E Ti|N(t)=n=E Ui=.所以 E(ti-Ti)|N(t)=n=nt-=.从而 E(t-Ti)=EE(t-Ti)|N(t)=n=EN(t)=.设顾客到某商场的过程是泊松过程,已知平均每小时有30人到达,求所给事件的概率:两个顾客相继到达的时间间隔(1)超过2分钟;(2)短于4分钟;(3)在1分到3分钟之间.解:由题意,顾客到达数N(t)是强度为的泊松过程,因而,关于泊松过程的练习题,顾客到达的时间间隔Xn,n1服从参数为的指数分布:fX(t)=30e-30 x,x0.故有(1)PX2/60=30e

30、-30 xdx0.368;(2)PX4/60=30e-30 xdx0.865;(3)P1/60X3/60=30e-30 xdx0.384.设顾客以每分钟2人的速率到达某商场,且顾客流为泊松流.求在2分钟内到达的顾客人数不超过3人的概率.解:记N(t),t0为每分钟到达商场的顾客人数的泊松 过程,据题意=2.由 PN(t)=k=e-t.将t=2,=2代入上式得:PN(2)=k=e-4.,关于泊松过程的练习题,于是,PN(2)3=PN(2)=0+PN(2)=1+PN(2)=2+PN(2)=3=e-4+4e-4+8e-4+e-4=e-4.设X(t)与Y(t)(t0)是强度分别为X和Y的泊松过程.证明

31、:在X(t)的任意两个相邻事件之间的时间间隔内,Y(t)恰好有k个事件发生的概率 p=,k=0,1,2,.证明:设X(t)的两个相邻事件的时间间隔为,由独立平 稳增量性得 PY(t+)-Y(t)=k=.X(t)的时间间隔为的概率密度是:,关于泊松过程的练习题,X,(0)0,(其它)由于X(t)是泊松过程,所以Y(t)恰好有k个事件发生的 概率 p=X d=k d=.,fX()=,非齐次泊松过程,3.3 非齐次泊松过程 非齐次泊松过程是推广的泊松过程,这种过程允许时刻t的来到强度(或速率)是t的函数.定义3.4 称计数过程X(t),t0为具有跳跃强度函数(t)的非齐次泊松过程,如果满足条件:(1

32、)X(0)=0;(2)X(t)是独立增量过程;(3)PX(t+h)-X(t)=1=(t)h+o(h),PX(t+h)-X(t)2=o(h).非齐次泊松过程的均值函数为mX(t)=.以下定理描述了非齐次泊松过程的概率分布:定理3.5 设X(t),t0是具有均值函数mX(t)=的,非齐次泊松过程,非齐次泊松过程,则有 PX(t+s)-X(t)=n=,n0 或 PX(t)=n=,n0.证明:对固定t定义 Pn(s)=PX(t+s)-X(t)=n 则有 P0(s+h)=PX(t+s+h)-X(t)=0=P在(t,t+s中没事件,在(t+s,t+s+h中没事件=P在(t,t+s中没事件P在(t+s,t+

33、s+h中没事件(由定义3.4的(2),非齐次泊松过程,=P0(s)1-(t+s)h+o(h)(由定理3.4的(3)于是,有 令h0取极限,得 或,或.同理 Pn(s+h)=PX(t+s+h)-X(t)=n=P(t,t+s中有n个事件,(t+s,t+s+h中没事件+P(t,t+s中有n-1个事件,(t+s,t+s+h中有1个事件,.,非齐次泊松过程,+P(t,t+s中有n-2个事件,(t+s,t+s+h中有2个事件+P(t,t+s中没有事件,(t+s,t+s+h中有n个事件=Pn(s)1-(t+s)h+o(h)+Pn-1(s)(t+s)h+o(h)因此有=-(t+s)Pn(s)+(t+s)Pn-

34、1(s)+令h0取极限,得=-(t+s)Pn(s)+(t+s)Pn-1(s).当n=1时,有=-(t+s)P1(s)+(t+s)P0(s)=-(t+s)P1(s)+(t+s).,非齐次泊松过程,前式是关于P1(s)的一阶线性微分方程,利用初始条件 P1(0)=0,解得 P1(s)=mX(t+s)-mX(t).再运用归纳法,即可证得定理结论.例3.8 设X(t),t0是具有跳跃强度(t)=的非齐次泊松过程(0),求EX(t)和DX(t).解:由定理3.5及泊松过程期望与方差相等,知 EX(t)=mX(t)=DX(t).例3.9 设某路公共汽车从早晨5时到晚上9时有车发出.乘 客流量是:5时按平均

35、乘客200人/时计算;5时至8时乘客 平均到达率线性增加,8时到达率为1400人/时;8时至18,非齐次泊松过程,时保持平均到达率不变;18时到21时从到达率1400人/时按线性下降,到21时为200人/时.假定乘客数在不相 重叠时间间隔内是相互独立的,求12时至14时有2000人 来站乘车的概率,并求这两小时内来站乘车人数的数学 期望.解:将时间5时至21时平移为0到16时,依题意得乘客到达 率为(t)=乘客到达率与时间关系如右上图所示.由题意,乘客数的变化可用非齐次泊松过程描述.从 mX(9)-mX(7)=2800,200+400t,0t3,1400,3t13,1400-400(t-13)

36、,13t16.,(t),t,1400,200,3,13,16,o,非齐次泊松过程,知,在12时至14时有2000名乘客到达的概率 PX(9)-X(7)=2000=.12时至14时有2000名乘客的数学期望是 mX(9)-mX(7)=2800(人).非齐次泊松过程与泊松过程有何不同?又有何联系?非齐次泊松过程与泊松过程的不同是:非齐次泊松过程的强度不再是常数,它与t有关,因而非齐次泊松过程不具有平稳增量性.非齐次泊松过程反映了一类其变化与时间有关的过程.例如设备的故障率与使用年限有关;放射性物质的衰变速度与衰变时间有关等.利用下述定理,可将非齐次泊松过程问题转化到泊松过,复合泊松过程,程中进行讨

37、论:设N(t),t0是强度为(t)的非齐次泊松过程,对任意t0,令N*(t)=N-1(t),则N*(t),t0是强度为1的泊松过程,这里(t)=(u)du.反过来,当强度(t)有界时,也可以由强度为的泊松过程构造出一个强度函数为(t)的非齐次泊松过程.3.4 复合泊松过程定义3.5 设N(t),t0是强度为的泊松过程,Yk,k=1,2,是一列独立同分布随机变量,且与N(t),t0独 立,令 X(t)=,t0,则称X(t),t0为复合泊松过程.,复合泊松过程,例3.10 设N(t)是在时间段(0,t内到某商店的顾客人数,N(t),t0是泊松过程.若Yk是第k个顾客在商店所花 的钱数,则Yk,k=

38、1,2,是独立同分布随机变量序列,且与N(t),t0独立.记X(t)为该商店在(0,t时间段 内的营业额,则 X(t)=,t0 是一个复合泊松过程.定理3.6 设X(t)=,t0是复合泊松过程,则(1)X(t),t0是独立增量过程;(2)X(t)的特征函数为gX(t)(u)=,式中gY(u)是随机变量Y1的特征函数,是事件的到达率.,复合泊松过程,(3)若E,则EX(t)=tEY1,DX(t)=tE().证明:(1)令0t0t1tm,则 X(tk)-X(tk-1)=,k=1,2,m.由于Yk,k=1,2,是一列独立同分布随机变量,所 以X(t)具有独立增量性.(2)因为 gX(t)=E=E|N

39、(t)=nPN(t)=n=E|N(t)=n=E,复合泊松过程,=gY(u)n=.(3)由全期望公式EX(t)=EEX(t)|N(t)及假设 知EX(t)|N(t)=n=E Yi|N(t)=n=E Yi|N(t)=n=E Yi=nE(Y1),所以,EX(t)=EEX(t)|N(t)=EN(t)E(Y1)=tE(Y1).利用特征函数性质(5),即特征函数与矩的关系,知 特征函数在0点的值gX(0)=E(ei0X)=E(1)=1;EX2(t)=-=,复合泊松过程,=(t)2E2Y1+tEY12.DX(t)=EX2(t)-E2X(t)=(t)2E2Y1+tEY12-tE(Y1)2=tEY12.复合泊松

40、过程由一列随机变量Yn的和而构成,当Yn 1时,X(t)=N(t),X(t)即为通常的泊松过程.复合泊松过程的定义要求,分析具体问题时,首先要 确定一个泊松过程与一个随机变量序列,然后要验证随 机变量序列以及随机变量序列与泊松过程的独立性.只 有在这些条件都具备后,方可对该问题进行处理或计算.,复合泊松过程,例3.11设移民到某地定居的户数是一泊松过程,已知平均 每周有2户定居.设每户的人口数是一随机变量,而且一 户有4人的概率为1/6,有3人的概率是1/3,有2人的概率 为1/3,有1人的概率是1/6.且知各户的人口数相互独立.求0,t周内到该地定居的移民人数的数学期望与方差.解:记Yi为第

41、i户的人口数,Yi相互独立,移民总人数 X(t)=Yi 是一复合泊松过程.依题意,=2.EY1=41/6+31/3+21/3+11/6=5/2;EY12=421/6+321/3+221/3+121/6=43/6;所以,EX(t)=tEY1=2t5/2=5t;DX(t)=tEY12=2t43/6=43t/3.,条件泊松过程,3.5 条件泊松过程 设是具有分布G的正值随机变量,N(t),t0是一计数过程,如果在已知=的条件下N(t),t0是参数为的泊松过程,则称N(t),t0为条件泊松过程.若的分布是G,则随机选择一个个体在长度为t的时间区间内发生n次的概率是 PN(t+s)-N(s)=n=e-t

42、 dG().设N(t),t0是条件泊松过程,且E(2),则 EN(t)=tE,DN(t)=tD+tE.在N(t)=n的条件下,的分布 Px|N(t)=n=e-t dG()/e-t dG().,条件泊松过程,这是因为P(,+d)|N(t)=n(对很小的d)=e-t dG()/e-t dG().于是Px|N(t)=n便有上页最后一行的分布表示式.条件泊松分布有什么特点呢?条件泊松分布,描述的是一个有着“风险”参数的个体发生某一事件的概率.例如有一个总体,它的个体存在某种差异(如参加人寿保险的人发生事故的倾向性不同),此时,可以将概率式 PN(t+s)-N(s)=n=e-t,n=0,1,2,.解释为

43、给定时,N(t)的条件分布Pn|(t).,条件泊松过程,在风险理论中,常用条件泊松过程作为意外事件出现的模型,其强度参数未知(用随机变量表示),但经过一段时间后,即可用事件发生的概率来表示,就有了确定的参数.例3.12 设某地区在某季节地震发生的平均强度是随机变 量,P=1=p,P=2=1-p.到t时为止的地震 次数是一个条件泊松过程.求该地区该季节在(0,t)时 间内出现n次地震的条件下地震强度为1的概率,并求 在N(t)=n的条件下,从t开始到下一个地震出现的条件 分布.解:该过程是条件泊松过程.因为是离散型,故 P=1|N(t)=n,过滤的泊松过程,=p(1t)n/p(1t)n+(1-p

44、)(2t)n,P从t开始带下次地震出现时间x|N(t)=n=.3.6 过滤的泊松过程 设有一泊松分布的冲激脉冲串,经过一线性时不变滤波器,则滤波器的输出是一随机过程X(t),t0:X(t)=h(t-Ui)()式中h(t)代表线性时不变滤波器(即系统)的冲激响应;Ui代表第i个冲激脉冲出现的时间(即在时间区间(0,t)内发生的事件的无序到达时刻),是随机变量;N(t)表示(0,t)内进入滤波器输入端冲激脉冲的个数,它服从泊松分布:,过滤的泊松过程,PN(t)=k=e-t(k=0,1,2,)N(t)服从泊松分布,在(0,t)内进入滤波器输入端的(N(t)=)k个脉冲出现的时间均为独立同分布的随机变

45、量,该随机变量均匀分布于(0,t)内,即(u)=则称()式的随机过程X(t),t0为过滤的泊松过程.用温度限制的二极管为例,说明过滤的泊松过程:(1)在(0,t)内从阴极发射的电子数符合泊松分布;(2)假定二极管为平板型二极管,极间距离为d,板极对阴极的电位差为v0.,(0ut)0,(其它u值),x,d,x,B,O,V0,阴极,阳极,过滤的泊松过程,研究在没有空间电荷的条件下,一个发射电子从阴极发射后至到达板极前,在电路内引起的电流脉冲i(t)的波流,可得 i(t)=其中电子从阴极出发到达板极的渡越时间n=,q0为电子电荷,m为电子质量.(3)因而温度限制二极管的板流(霰弹噪声)I(t)=i(

46、t-Ui)其中i(t)如上所给,Ui为第i个电子的发射时刻,是在(0,t)内服从均匀分布的随机变量.对照定义知,温度限制二极管的板流I(t)是一过滤的泊松过程.,2q0,(0t0)0,(其它),过滤的泊松过程,例3.13 设X(t),t0,并有X(t)=h(t-Ui),其中在 时刻Ui发生的事件,在时刻t的输出为h(t-Ui);在时间间 隔(0,t)内发生的事件数,由泊松随机变量N(t)描述,Ui 是在(0,t)内发生事件的无序到达时刻.这个过程是滤波 泊松过程,求其特征函数gX(t)(v).解:由EY=EEY|X及特征函数定义,有 gX(t)(v)=EeivX(t)=EEeivX(t)|N(

47、t)=EeivX(t)|N(t)=kPN(t)=k 而 EeivX(t)|N(t)=kE,因为Ui是独立同分布的随机变量,故有 EeivX(t)|N(t)=k=E=(E)k.,过滤的泊松过程,又在(0,)内的均匀分布,得 E=dui=du.将结果代入gX(t)(v)得 gX(t)(v)=duk e-t=e-t=.一般,过滤的泊松过程的特征函数 gX(t)(v)=.,过滤的泊松过程,例3.14 求温度限制二极管的霰弹噪声I(t)的平均值、相 关函数、协方差函数和方差.解:温度限制二极管的霰弹噪声I(t),即温度限制二极管 的板流,它是一个过滤的泊松过程,有 EI(t)=i(t)dt=2q0 dt

48、=q0,其中是单位时间内发射的平均电子数,q0是电子电荷,EI(t)代表电流的平均值.一般,过滤的泊松过程的期望(均值)函数 EX(t)=h(u)du.I(t)的相关函数 RI(t,t+)=i(t)i(t+)dt+2 h(t)dt2,过滤的泊松过程,=i(t)i(t+)dt+(q0)2.一般,过滤的泊松过程的相关函数 RX(t,t+)=h(u)h(u+)du+2 h(u)du2.I(t)的协方差函数 BI(t,t+)=i(t)i(t+)dt.一般,过滤的泊松过程的协方差函数 BX(t,t+)=h(u)h(u+)du.I(t)的方差函数 DI(t)=i2(t)dt.一般,过滤的泊松过程的方差函数

49、 DX(t)=h2(u)du.,维纳过程,3.7 维纳过程 维纳(N.Wiener)过程是布朗运动的数学模型,在随机过程理论及其应用中起着重要的作用.1827年,英国植物学家R.Brown在显微镜下,观测漂浮在平静的液面上的微小粒子,发现它们不断进行着杂乱无章的运动,这种现象后来称之为布朗运动.1923年,美国数学家N.Wiener开始把布朗运动作为作为随机过程来研究.以W(t)表示运动中一微粒(质点)从时刻t=0到时刻t0的位移的横坐标(同样也可以讨论纵坐标)且设W(0)=0.根据爱因斯坦(Enisten)1905年提出的理论,微粒的这种运动,是由于受到大量的随机的、相互独立的分子碰撞的结果

50、.于是,粒子在时段s,t(与相继两次碰撞的时间间隔相比是很大的量)上的位移可看作是许多微小位移的代数,维纳过程,和.依中心极限定理,W(t)-W(s)服从正态分布.而且,由于粒子的运动完全是由液体分子的不规则碰撞所引起,因而在不相重叠的时间间隔内,碰撞的次数、大小和方向可假定是相互独立的.其次,液面处于平衡状态,所以粒子在一时段上位移的概率分布,可以认为只依赖于这时段的长度,而与观测的起始时刻无关,即W(t)具有平稳增量.综上所述,便得维纳过程的数学模型:给定二阶矩过程W(t),t0,如果它满足 1.具有平稳的独立增量;2.对任意的ts0,W(t)-W(s)服从正态分布;3.对任意的t0,EW