随机变量的收敛.ppt
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1、1,第五章:随机变量的收敛性,随机样本:IID样本,统计量:对随机样本的概括Y为随机变量,Y的分布称为统计量的采样分布如:样本均值、样本方差、样本中值收敛性:当样本数量n趋向无穷大时,统计量的变化大样本理论、极限定理、渐近理论对统计推断很重要,2,收敛性,主要讨论两种收敛性依概率收敛大数定律:样本均值依概率收敛于分布的期望依分布收敛中心极限定理:样本均值依分布收敛于正态分布,3,例1:依概率收敛,概率的频率解释:随着观测次数n的增加,频率将会逐渐稳定到概率设在一次观测中事件A发生的概率为 如果观测了n次,事件A发生了 次,则当n充分大时,A在次观测中发生的频率 逐渐稳定到概率p。那么不对,若
2、则对于,总存在,当 时,有 成立但若取,由于即无论N多大,在N以后,总可能存在n,使所以 不可能在通常意义下收敛于p。,4,例2:依分布收敛,考虑随机序列,其中直观:集中在0处,收敛到0但,(Chebyshev不等式),5,两种收敛的定义,5.1 定义:令 为随机变量序列,X为另一随机变量,用Fn表示Xn的CDF,用F表示X的CDF1、如果对每个,当 时,则Xn依概率收敛于X,记为。2、如果对所有F的连续点t,有则Xn依分布收敛于X,记为。,同教材上,6,两种收敛的定义,当极限分布为点分布时,表示为依概率收敛:依分布收敛:,7,其他收敛,还有一种收敛:均方收敛(L2收敛,converge to
3、 X in quadratic mean)对证明概率收敛很有用当极限分布为点分布时,记为对应还有:L1收敛(converge to X in L1),8,依概率收敛随机变量序列,当对任意,则称随机变量序列 几乎处处依概率收敛到X(converge almost surely to X),记为:几乎处处收敛:比依概率收敛更强,其他收敛,或,或,9,各种收敛之间的关系,点分布,c为实数,L1,almost surely,(L2),反过来不成立!,Quadratic mean,probability,distribution,Point-mass distribution,10,例:伯努利大数定律,
4、设在一次观测中事件A发生的概率为,如果观测了n次,事件A发生了 次,则当n充分大时,A在次观测中发生的频率 逐渐稳定到概率p。即对于,表示当n充分大时,事件发生的频率 与其概率p存在较大偏差的可能性小。,11,例:5.3,令直观:集中在0处,收敛到0依概率收敛:,(Chebyshev不等式),12,例:续,依分布收敛:令F表示0处的点分布函数,Z表示标准正态分布的随机变量,13,收敛的性质,14,弱大数定律(WLLN),独立同分布(IID)的随机变量序列,方差,则样本均值 依概率收敛于期望,即对任意称 为 的一致估计(一致性)在定理条件下,当样本数目n无限增加时,随机样本均值将几乎变成一个常量
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