阶电路和二阶电路.ppt

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1、第6章 一阶电路和二阶电路First-order Circuits and Second-order Circuits,6.0 概述6.1 电容元件6.2 电感元件6.3 一阶电路6.4 电路的初始条件6.5 一阶电路的零输入响应,概述1、“稳态”与“暂态”的概念2、产生过渡过程的电路及原因?3、研究过渡过程的意义,第6章 一阶电路和二阶电路First-order Circuits and Second-order Circuits,概述,稳态,暂态,概述,产生过渡过程的电路及原因?,电阻电路,电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化，不存在过渡过程。,概述,电容为储能元件，它储存的能量为电场能

2、量，其大小为：,电容电路,储能元件,因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电容的电路存在过渡过程。,概述,储能元件,电感电路,电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量，其大小为：,因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电感的电路也存在过渡过程。,概述,结论,有储能元件（L、C）的电路在电路状态发生变化时（如：电路接入电源、从电源断开、电路参数改变等）存在过渡过程；没有储能作用的电阻（R）电路，不存在过渡过程。,电路中的 u、i 在过渡过程期间，从“旧稳态”进入“新稳态”，此时u、i 都处于暂时的不稳定状态，所以过渡过程又称为电路的暂态过程。,概述,研究过渡过程的意义：,过渡过程是一种自然现象

3、，对它的研究很重要。过渡过程的存在有利有弊。有利的方面，如电子技术中常用它来产生各种波形；不利的方面，如在暂态过程发生的瞬间，可能出现过压或过流，致使设备损坏，必须采取防范措施。,概述,6.1 电容元件 Capacitance,6.1 电容元件,6.1 电容元件 Capacitance,根据电磁学理论，电压变化时，电容器极板上的电荷量也将发生变化，从而在电路中会引起电流。,6.1 电容元件,1、电压与电流全部过去历史有关；2、若电流初始时刻值已知，则就能确定该初始时刻以后任意时刻的电压值。,6.1 电容元件,二、储能,6.1 电容元件,结论：,1、电容具有记忆电流的作用。,2、电容是储能元件。

4、,3、电容是无源元件。,6.1 电容元件,4、电容两端的电压不可能发生突变。,6.2 电感元件 Inductance,6.2 电感元件,6.2 电感元件 Inductance,一、伏安关系,6.2 电感元件,二、储能,6.2 电感元件,结论：,1、电感具有记忆电压的作用。,2、电感是储能元件。,3、电感是无源元件。,6.2 电感元件,4、流过电感的电流不可能发生突变。,例：已知u的波形，且i(0)=0，求i的波形。,解,6.2 电感元件,例：已知u的波形，求i的波形。,6.2 电感元件,用线性、常系数、一阶微分方程描述的电路称一阶电路。,6.3 一阶电路,一阶电路通常只含一个动态元件（或等效后

5、为一个动态元件）。,6.3 一阶电路,一、换路定则,换路:改变电路状态的统称。如：,6.4 电路的初始条件,6.4 电路的初始条件,换路定则:,在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。,6.4 电路的初始条件,换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变的原因解释如下：,自然界物体所具有的能量不能突变，能量的积累或 释放需要一定的时间。所以,*,6.4 电路的初始条件,二、初始值的确定,分析要点：,初始值（起始值）：设t=0时换路，则电路中 u、i 在 t=0+时的大小就称电路的初始值。,6.4 电路的初始条件,换路后的等效电路,6.4 电路的初始条件,已知：求：t=0+时各支路电流及

6、电感上的电压。,例1,6.4 电路的初始条件,已知：t0时电路稳定，求：t=0+时各支路电流及各元件电压的初始值。,例2,6.4 电路的初始条件,已知：t0时电路稳定，求：t=0+时各支路电流及各元件电压的初始值。,例3,6.4 电路的初始条件,6.5 一阶电路的零输入响应,一、零输入响应二、RC电路的零输入响应三、RL电路的零输入响应,6.5 一阶电路的零输入响应,一、零输入响应 Zero-input Response,6.5 一阶电路的零输入响应,电路中没有外施激励，仅由动态元件初始储能产生的响应，称为电路的零输入响应。,6.5 一阶电路的零输入响应,二、RC电路的零输入响应,1、方程,线

7、性、常系数、齐次,6.5 一阶电路的零输入响应,1、方程,二、RC电路的零输入响应,6.5 一阶电路的零输入响应,2、曲线,6.5 一阶电路的零输入响应,3、时间常数,6.5 一阶电路的零输入响应,理论上，t 时，过渡过程基本结束，uC 达到稳态值；工程上认为，当 t4 时，过渡过程基本结束，uC 达到稳态值。,6.5 一阶电路的零输入响应,6.5 一阶电路的零输入响应,4、能量变化,结论：电容放电的过程，就是电阻消耗能量的过程，直至电容储能完全释放，并被电阻消耗完为止，电容放电过程才算完毕。,6.5 一阶电路的零输入响应,已知：t0时的uC(t)和iC(t)。,例1,答案,6.5 一阶电路的

8、零输入响应,二、RL电路的零输入响应,6.5 一阶电路的零输入响应,二、RL电路的零输入响应,1、方程,6.5 一阶电路的零输入响应,二、RL电路的零输入响应,1、方程,6.5 一阶电路的零输入响应,2、曲线,6.5 一阶电路的零输入响应,3、时间常数,6.5 一阶电路的零输入响应,已知：t0时的iL(t)和uL(t)。,例,答案,6.5 一阶电路的零输入响应,今日作业6-1(2)(3)6-2,第六章 一阶电路和二阶电路First-order Circuits and Second-order Circuits,6.6 一阶电路的零状态响应6.7 一阶电路的全响应6.8 一阶电路的三要素法6.

9、9 一阶电路的阶跃响应6.10 一阶电路的冲击响应6.12 二阶电路的零输入响应,一、零状态响应二、RC电路的零状态响应三、RL电路的零状态响应,6.6 一阶电路的零状态响应（Zero-state Response）,6.6 一阶电路的零状态响应,6.6 一阶电路的零状态响应（Zero-state Response）,动态元件初始状态为零，仅仅由独立电源(即激励或输入)引起的响应，称为零状态响应。,6.6 一阶电路的零状态响应,二、RC电路的零状态响应,已知：uC(0-)=0，t=0时开关S闭合，求t0时的uC(t)、i C(t)。,1、方程,6.6 一阶电路的零状态响应,已知：uC(0-)=

10、0，t=0时开关闭合，求t0时的uC(t)、i C(t)。,解得：,6.6 一阶电路的零状态响应,2、曲线,6.6 一阶电路的零状态响应,3、时间常数,6.6 一阶电路的零状态响应,4、能量变化情况,电源提供的电能一半转化为电场能量储存在电容中，另一半被电阻消耗掉。,6.6 一阶电路的零状态响应,答案,6.6 一阶电路的零状态响应,三、RL电路的零状态响应,RL电路的零状态响应,1、方程,6.6 一阶电路的零状态响应,最后得到RL一阶电路的零状态响应为,2、曲线,6.6 一阶电路的零状态响应,答案,6.6 一阶电路的零状态响应,6.7 一阶电路的全响应(Complete Response),由

11、储能元件的初始储能和独立电源共同引起的响应，称为全响应。下面讨论RC串联电路在直流电压源作用下的全响应。电路如图(a)所示，开关连接在1端为时已经很久，uC(0-)=U0。t=0时开关倒向2端。t 0 时的电路如图(b)所示。,RC电路的完全响应,6.7 一阶电路的全响应,其解为,1、方程,6.7 一阶电路的全响应,第一项是对应微分方程的通解uCh(t)，称为电路的固有响应或自由响应，若时间常数 0，固有响应将随时间增长而按指数规律衰减到零，在这种情况下，称它为瞬态响应（暂态响应）。,第二项是微分方程的特解uCp(t)，其变化规律一般与输入相同，称为强制响应。在直流输入时，当 t时，uC(t)

12、=uCp(t)这个强制响应称为直流稳态响应。,6.7 一阶电路的全响应,全响应=瞬态响应+稳态响应全响应=固有响应+强制响应,全响应表达式还可以可以改写为以下形式：,式中第一项为初始状态单独作用引起的零输入响应，第二项为输入(独立电源)单独作用引起的零状态响应。,即：完全响应等于零输入响应与零状态响应之和。这是线性动态电路的一个基本性质，即响应满足叠加定理。,6.7 一阶电路的全响应,全响应=零输入响应+零状态响应,以上两种叠加的关系，可以用波形曲线来表示。利用全响应的这两种分解方法，可以简化电路的分析计算。,(a)全响应分解为固有响应与强制响应之和(b)全响应分解为零输入响应与零状态响应之和

13、,6.7 一阶电路的全响应,例 图(a)所示电路原来处于稳定状态。t=0时开关断 开，求t0的电感电流iL(t)和电感电压uL(t)。,6.7 一阶电路的全响应,解：在t=0-时，电阻R1被开关短路，电感电流的初始值为,时,在t0时的图(b)所示电路中，该电路的微分方程为,其全解为,6.7 一阶电路的全响应,式中,代入上式得到,代入初始条件,6.7 一阶电路的全响应,其中第一项是瞬态响应，第二项是稳态响应。电路在开关断开后，经过(45)的时间，即经过(810)ms 的过渡时期，就达到了稳态。,于是,可以得到,6.7 一阶电路的全响应,另解：电感电流iL(t)的全响应也可以用分别计算出零输入响应

14、和零状态响应，然后相加的方法求得。电感电流iL(t)的零输入响应为,电感电流iL(t)的零状态响应为,6.7 一阶电路的全响应,iL(t)的全响应为零输入响应与零状态响应之和,电感电压的全响应可以利用电感元件的VCR方程求得,6.7 一阶电路的全响应,6.8 一阶电路的一般求解方法三要素法,一阶电路在一般信号作用下全响应的求解方法:,一阶电路在一般信号作用下全响应的求解方法:,一阶电路在直流作用下，有:,6.8 一阶电路的一般求解方法三要素法,直流作用下一阶电路的一般求解方法-三要素法,其中：,6.8 一阶电路的一般求解方法三要素法,一阶电路三要素法求解步骤,1、求t0电路中的uC(0-)或i

15、L(0-);2、根据换路定则得到uC(0+)或iL(0+);并在0+等效电路中求其它f(0+)；3、在换路后的稳态电路中求f()；4、求时间常数C或L;5、将数据代入三要素法公式；6、画曲线（从f(0+)变化到f()）。,6.8 一阶电路的一般求解方法三要素法,例1 已知：t 0后的uC(t)和i(t)，并定性地画出它们的曲线。,6.4 三要素法,三要素法求解步骤,1、求t0电路中的uC(0-)；2、根据换路定理得到uC(0+)；并在0+等效电路中求其它f(0+)；3、在换路后的稳态电路中求f()；4、求时间常数C；5、将数据代入三要素法公式；6、画曲线（从f(0+)变化到f()）。,答案,三

16、要素法应用举例,答案,三要素法应用举例,答案,三要素法应用举例,答案,三要素法应用举例,答案,三要素法应用举例,答案,三要素法应用举例,UAB?,答案,三要素法应用举例,答案,三要素法应用举例,例10：已知t 0时，原电路已稳定，t=0时合上S，t=100ms又打开S,求：时的uAB(t),解：1.0 t 100ms 时：,(1)求uC(0+),t=0-时：,1.0 t 100ms 时：,(2)求uC(),t 时：,.,.,.,1.0 t 100ms 时：,(3)求1,1.0 t 100ms 时：,(4)求uAB(t),间接法,2.t 100ms 时：,(1)求uC(100ms+),所以t=1

17、00ms-时电路已达稳态，uC(100ms+)=uC(100ms-)=6V,因为t=100ms 41,(2)求uC(),t 时：,.,.,.,2.t 100ms 时：,2.t 100ms 时：,(3)求2,(4)求uAB(t),2.t 100ms 时：,间接法,另解1.0 t 100ms 时：,(1)求uAB(0+),t=0-时：,1.0 t 100ms 时：,(1)求uAB(0+),t=0+时：,1.0 t 100ms 时：,(2)求uAB(),时：,1.0 t 100ms 时：,(3)求1,2.t 100ms 时：,(1)求uAB(100ms+),t=100ms-时电路已达稳态，uC(10

18、0ms+)=uC(100ms-)=6V,t=100ms+时：,2.t 100ms 时：,(3)求2,今日作业6-76-116-12a6-176-206-216-25,第6章 一阶电路和二阶电路First-order Circuits and Second-order Circuits,6.9 一阶电路的阶跃响应6.10 一阶电路的冲激响应6.12 二阶电路的零输入响应,6.9 一阶电路的阶跃响应Step Response of the First-order Circuit,通过前面的学习，我们知道直流一阶电路中的各种开关，可以起到将直流电压源和电流源接入电路或脱离电路的作用，这种作用可以描述

19、为分段恒定信号对电路的激励。随着电路规模的增大和计算工作量增加，有必要引入阶跃函数来描述这些物理现象，以便更好地建立电路的物理模型和数学模型，也有利于用计算机分析和设计电路。,6.9 一阶电路的阶跃响应,一、阶跃函数(t)（Step Function）,1、定义,6.9 一阶电路的阶跃响应,用阶跃电源来表示开关的作用,当直流电压源或直流电流源通过一个开关的作用施加到某个电路时，可以表示为一个阶跃电压或阶跃电流作用于该电路。,2、作用-开关作用,6.9 一阶电路的阶跃响应,2、作用-起始波形作用,6.9 一阶电路的阶跃响应,二、单位阶跃响应,由唯一的单位阶跃信号作用下电路的零状态响应，称为电路的

20、单位阶跃响应，用符号s(t)表示。,利用三要素公式求阶跃响应uC(t)和iL(t)：,6.9 一阶电路的阶跃响应,三、延时阶跃函数（Step Function）,1、定义 延时单位阶跃函数(t)的定义为,6.9 一阶电路的阶跃响应,2、作用,a.开关作用b.起始波形作用c.表示一个任意阶跃波形,6.9 一阶电路的阶跃响应,用阶跃函数表示：,6.9 一阶电路的阶跃响应,观察下列波形，试比较它们的表达式。,6.9 一阶电路的阶跃响应,四、延时单位阶跃响应(电路时不变特性),由唯一的延时单位阶跃信号作用下电路的零状态响应，称为电路的延时单位阶跃响应，用符号s(t-t0)表示。,若电路单位阶跃响应为：

21、,则电路的延时单位阶跃响应为：,6.9 一阶电路的阶跃响应,波形2是波形1延时t0后的结果,五、任意阶跃函数作用下一阶电路的全响应,任意阶跃函数作用下一阶电路的全响应=零状态响应+零输入响应,6.9 一阶电路的阶跃响应,6.9 一阶电路的阶跃响应,解法1,答案一：,t=0+时，电路进入零状态响应；t=t0+时，电路进入零输入响应。,已知R=1，L=1H，uS波形如b）图所示，求i(t)。,6.9 一阶电路的阶跃响应,解法2,答案二：,电流是uS(t)=(t)-(t-t0)V分项作用后的叠加。,已知R=1，L=1H，uS波形如b）图所示，求i(t)。,1.先求单位阶跃响应（零状态响应）,6.9

22、一阶电路的阶跃响应,利用时不变性、齐次性求出各阶跃激励分量作用下的电路零状态响应，最后根据叠加性求得任意阶跃函数作用下的总零状态响应。,2.求任意阶跃函数作用下一阶电路的零状态响应,6.9 一阶电路的阶跃响应,其电容电压uC(t)的零状态响应可以表示为：,6.9 一阶电路的阶跃响应,3.求初始储能作用下一阶电路的零输入响应,令uS=0，即可求得电路零输入响应：,6.9 一阶电路的阶跃响应,4.任意阶跃函数作用下一阶电路的全响应,6.9 一阶电路的阶跃响应,6.9 一阶电路的阶跃响应,今日作业 6-26 6-30,6.10 一阶电路的冲激响应Impulse Response of the Fir

23、st-order Circuit,我们为什么要研究电路的冲激响应呢？这是由于电子、通信与信息工程中使用的电信号十分复杂，我们需要知道电路对任意输入信号的反映。而电路的冲激响应不仅能反映出电路的特性，而且在知道线性时不变电路的冲激响应后，可以通过一个积分运算（卷积）求出电路在任意输入波形时的零状态响应，从而求出电路的全响应。电路的冲激响应反映了电路的内在特性！,6.10 一阶电路的冲激响应,一、冲激函数(t)（Impulse Function）,1、定义 单位冲激函数(t)的定义为,强度为1,6.10 一阶电路的冲激响应,单位冲激函数(t)可以看成是一个单位矩形脉冲的极限,6.10 一阶电路的冲

24、激响应,2、(t)与(t)的关系,6.10 一阶电路的冲激响应,3、(t)的筛分性质,这说明，冲激函数能把函数f(t)在冲激存在时刻的函数值筛选出来。,6.10 一阶电路的冲激响应,二、单位冲激响应,由唯一的单位冲激信号作用下电路的零状态响应，称为电路的单位冲激响应，用符号h(t)表示。,1、RC电路的单位冲激响应,6.10 一阶电路的冲激响应,分析,6.10 一阶电路的冲激响应,显然uC不可能是冲激函数,6.10 一阶电路的冲激响应,所以：,6.10 一阶电路的冲激响应,2、RL电路的单位冲激响应,根据对偶关系有：,6.10 一阶电路的冲激响应,三、单位冲激响应与单位阶跃响应的关系,线性电路

25、又一个性质：,6.10 一阶电路的冲激响应,例：求uC(t)的单位阶跃响应和单位冲激响应。,6.10 一阶电路的冲激响应,6.12 RLC串联电路的零输入响应,一、RLC串联电路的微分方程二、一般二阶微分电路的分析,6.12 RLC串联电路的零输入响应,6.12 RLC串联电路的零输入响应,一、RLC串联电路的微分方程,先列出KVL方程,6.12 RLC串联电路的零输入响应,根据前述方程得到以下微分方程,这是一个二阶常系数齐次线性微分方程。,其特征方程为,其特征根为,6.12 RLC串联电路的零输入响应,电路微分方程的特征根，称为电路的固有频率(natural frequency)。当R、L、

26、C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况：,1.时，为不相等的实根。过阻尼情况。,3.时，为共轭复数根。欠阻尼情况。,2.时，为两个相等的实根。临界阻尼情况。,6.12 RLC串联电路的零输入响应,1.时，为不相等的实根。过阻尼情况。,2.时，为两个相等的实根。临界阻尼情况。,3.时，为共轭复数根。欠阻尼情况。,6.12 RLC串联电路的零输入响应,方程,已知：,特征根,6.12 RLC串联电路的零输入响应,（1）分析,已知：,6.12 RLC串联电路的零输入响应,6.12 RLC串联电路的零输入响应,令t=0+得：,6.12 RLC串联电路的零输入响应,6.12 RLC串联电路的零输入响应

27、,（2）曲线,6.12 RLC串联电路的零输入响应,（2）曲线,从图中可以看出，uC和iL始终不改变方向，即电容在整个过程中一直在释放储能，故称非振荡性放电，又称过阻尼放电。,6.12 RLC串联电路的零输入响应,（3）能量交换,6.12 RLC串联电路的零输入响应,uC 电容释放能量iL 电感储存能量,uC 电容释放能量iL 电感释放能量,2、临界阻尼(Critically Damped),（1）分析,已知：,6.12 RLC串联电路的零输入响应,令t=0+得：,6.12 RLC串联电路的零输入响应,6.12 RLC串联电路的零输入响应,（2）曲线和能量分析与过阻尼类似,6.12 RLC串联

28、电路的零输入响应,3、欠阻尼(Underdamped),（1）分析,已知：,6.12 RLC串联电路的零输入响应,衰减系数；愈大，uC衰减愈快；衰减振荡角频率；愈大，uC振荡愈快；0 等幅振荡角频率；无阻尼振荡角频率；,6.12 RLC串联电路的零输入响应,令t=0+得：,6.12 RLC串联电路的零输入响应,6.12 RLC串联电路的零输入响应,6.12 RLC串联电路的零输入响应,（2）曲线,包络线envelope,6.12 RLC串联电路的零输入响应,5.12 RLC串联电路的零输入响应,5.12 RLC串联电路的零输入响应,电容储存电能，电感释放磁能，电阻消耗电能。,电容释放电能，电感

29、储存磁能，电阻消耗电能。,电容释放电能，电感释放磁能，电阻消耗电能。,4、当R=0时，即为无损耗（Lossless）等幅振荡,5.12 RLC串联电路的零输入响应,二、一般二阶电路分析,除了RLC串联和并联二阶电路以外，还有很多由两个储能元件以及一些电阻构成的二阶电路。本节讨论普通二阶电路的分析方法，关键的问题是如何建立电路的二阶微分方程以及确定相应的初始条件。现在举例加以说明。,一般二阶电路分析,例1 图(a)所示电路在开关转换前已经达到稳态，已 知uS(t)=6e-3tV，t=0闭合开关。试求t0时电容电压 uC(t)的全响应。,解：先求出电容电压和电感电流的初始值为,由此得到t0的电路如

30、图(b)所示。,一般二阶电路分析,以电容电压uC(t)和电感电流iL(t)为变量，列出两个网孔的KVL方程,从这两个微分方程中消去电感电流iL(t)，可以得到以电容电压uC(t)为变量的二阶微分方程。,一般二阶电路分析,从特征方程,求得特征根，即固有频率为,uC(t)的固有响应为,uC(t)的强制响应为,一般二阶电路分析,将特解代入微分方程中得到,求得B=-9，即强制响应为uCp(t)=-9e-3t。uC(t)的全响应为,现在利用初始条件确定常数K1 和K2。将uC(0+)=6V代入上式得到,一般二阶电路分析,另外一个初始条件 可以从代数方程中求得,得到,一般二阶电路分析,联立上面两个代数方程

31、，求解可以得到,最后得到电容电压uC(t)的全响应表达式,一般二阶电路分析,例2 图示电路，已知uC(0-)=1V，iL(0-)=1A，US=10V，t=0时闭合开关。试求t0时电容电压uC(t)的全响应。,解：由换路定理得电容电压和电感电流的初始值为,一般二阶电路分析,以电容电压uC(t)和电感电流iL(t)为变量列得以下方程,从这两个微分方程中消去电感电流iL(t)，可以得到以电容电压uC(t)为变量的二阶微分方程。,一般二阶电路分析,从特征方程,求得特征根，即固有频率为,uC(t)的固有响应为,uC(t)的强制响应为,一般二阶电路分析,所以uC(t)的全响应为,现在利用初始条件确定常数K1 和K2。将uC(0+)=1V代入上式得到,一般二阶电路分析,另外一个初始条件 可以从代数方程中求得,联立求解可以得到,最后得到电容电压uC(t)的全响应表达式,一般二阶电路分析,今日作业 6-35 6-37,