九节各种积分间的关系.ppt

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1、第九节 各种积分间的关系,一 格林（Green)公式及其应用,二 高斯(Gauss)公式,格林（Green.George）简介,格林（17931841）十八世纪英国数学家,8岁上学，9岁辍学。凭着对数学的爱好和惊人的毅力，在父亲的磨坊一边做工，一边自学。他35岁时发表了他的第一篇也是最重要的论文“论数学分析在电磁理论中的应用”，随后又完成了三篇论文。40岁终于进入了剑桥大学，四年后获得学士学位。格林短促的一生共发表了十篇论文，数量不多，却包含了影响19世纪数学物理发展的宝贵思想。,磨坊工数学家,3,1.区域连通性的分类,一 格林公式及其应用,设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于

2、D,则称D为单连通区域,否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,4,2.格林公式,定理1,设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,二重积分与其区域边界上的曲线积分之间的联系,格林公式,5,边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.,规定,注：,1.格林公式是牛顿莱布尼兹公式的推广。,2.边界是反方向，则,3.区域是复连通区域时，格林公式也成立，边界必须是区域的整个边界。,7,证明：(1)特殊情形,8,同理可证,9,证明(2),两式相加得,10,11,格林公式的实质:,揭示了平面闭区域上二重积分与区域边界上的曲线积分之间的联系.,12,3.简单应用,(1)简化曲线积分的计算,1

3、3,证:令,则,利用格林公式,得,14,(2)简化二重积分的计算,15,16,17,解,18,19,(注意格林公式的条件),20,(3)计算平面区域面积,21,22,解 由求面积的公式：,24,解:为了使用格林公式,添加辅助线段,它与L 所围,原式,区域为D,则,求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;,注,26,若区域 如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向.,思考题,27,思考题解答,L由两部分组成,外边界：,内边界：,28,4.平面上曲线积分与路径无关的等价条件,B,A,如果在区域G内有,29,说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为,30,定

4、理2.设D 是单连通域,在D 内,具有一阶连续偏导数,(1)沿D 中任意光滑闭曲线 L,有,(2)对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分,(3),(4)在 D 内每一点都有,与路径无关,只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 D 内是某一函数,的全微分,即,31,由定理2知：,积分与路径无关，可以取路径为平行于,坐标轴的折线，即,32,33,解,34,35,解,36,37,由定理2知：,由于积分与路径无关，可以取路径为平行于坐标轴的折线，这样就可求出u（x，y）。,38,及动点,或,则,取定点,称全微分方程,39,40,证:设,由定理2 可知,存在函数 u(x,y)使,。,。,41,内容小结,1.格林公式,2.等价条件,在 D 内与路径无关.,在 D 内有,对 D 内任意闭曲线 L 有,在 D 内有,设 P,Q 在 D 内具有一阶连续偏导数,则有,根据定理2,若在某区域内,则,2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;,1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;,3)可用积分法求在域 D 内的原函数:,43,设,思考题,44,提示:,