第八节多元函数的极值及其求法.ppt

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1、,第八节 多元函数的极值及其求法,三、最大值与最小值应用,一、多元函数的极值及最大值、最小值,二、条件极值 拉格朗日乘数法,一、多元函数的极值及最大值、最小值,定义,设函数,的定义域为D,为D的内点.,若存在,的某个邻域,使得对于该邻域内异于P0 的任何点(x,y)，都有,则称函数 f(x,y)在点(x0,y0)有极大值 f(x0,y0)，,点(x0,y0),称为函数f(x,y)的极大值点.,(,),(极小值),(极小值点),例如,都有,即,有极小值,都有,即,有极大值,(1)极值点与极值不同；,说明,(2)在空间直角坐标系中，函数z=f(x,y)表示一个曲面，如果f(x0,y0)是函数f(x

2、,y)的极大值，则在 点(x0,y0)的某个去心邻域内必有：f(x,y)f(x0,y0),所以，在点(x0,y0)的某个邻域内，点(x0,y0,f(x0,y0)为曲面的最高点.,(极小值),(最低点),定理1(必要条件)设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处具有偏导数，且在点(x0,y0)有极值，则有：,证明:,不妨设,按定义得：,存在点,，,使得,对该邻域内的异于,的任意点,都有,.,取定,因而应有,即,有,这表明:,由一元函数极值的必要条件得,因而,=0,=,同理可证:,说明,(1),几何上,定理1意味着:,极值点,切平面平行于,坐标平面.,在曲面,上,所对应的点,处的,(2),定理1

3、的逆命题不成立.,反例:,经计算得:,但,点,不是,的极值点.,(3),使,同时成立的点,称为函数,的驻点.,(4),不可导点也可能是极值点.,例如:,在点,处,偏导数不存在,但点,是,的极小值点.,由定理1及上面的(3)(4),我们得到结论:,函数,的极值点只可能是:,函数,的驻点,或,不可导点.,又由上面的(2),我们知道:,这两种点不一定就是极值点.,因此,这两种点到底是否为极值点,还需继续讨论.,定理2,（充分条件）,如果,在点,的某邻域内有二阶,连续偏导数，,又,，,.,令,记,那么,(1),若,则,在点,有极值,且,时,有极大值;,时,有极小值.,(2),若,则,在点,没有极值.,

4、(3),若,不能判定.,(不证),求极值的步骤,第一步,求得全部驻点;,在每个驻点,处，,求出二阶偏导数，,第二步,分别计算,的值：,再计算,的值,根据极值的充分条件，,第三步,对驻点,是否为极值点，以及是极大值点还是极小值点,作出判断。,例1,求函数,的极值.,解,定义域:,整个平面,解得:,即驻点为:,，,，,在点,处，,=72,0,又,在点,处，,0,在点,处，,0,在点,处，,=72,0,又,问:,对于不可导点,怎样判断它是否为极值点?,最值问题,(1)一般问题,较复杂,为有界闭区域,在,上连续,求,在,上的最大值和最小值。,假定,内只有有限个驻点及不可导点,在,解法：,求出,在,内的

5、所有驻点及不可导点处的函数值：,求出,的边界上的最大值和最小值：,通过比较，得到,在,在,上的最大值和最小值。,(2)实际问题,根据实际问题的性质，可知函数,的最值,(最大值或最小值),一定在D 的内部取到，,而函数,在D 内又只有一个驻点，,那么，,可以断定函数在,该驻点处的值就是函数,在 D 上的最值,(最大值或最小值).,较简单,例2,某厂要用铁板做成一个体积为2立方米的有盖,水箱，问：当长、宽、高各取多少时，才能使得,用料最省？,解,设水箱的长、宽、高分别为,（米）,则水箱的表面积为,=,，,=0,=0,即,(1),(2),由(1)(2)得,代入(1),得,即：,内只有一个驻点,，又由

6、实际问题知：,内一定有最小值,点,就是 A 的最小值点.,此时,高为,=,当水箱的长、宽、高均为,米时,用料最省.,在,二、条件极值,求,的极值,无条件极值问题,问题：,求表面积为,而体积为最大的长方体的体积.,设长方体的长、宽、高分别为,求,在附加条件,下的最大值.,条件极值问题,怎样求条件极值？,有些可以化为无条件极值问题来求。,例如上面的问题：,求,在附加条件,下的最大值.,由附加条件解得,代入,的表达式，得,再求它的无条件极值就行了.,但是，,在很多情形，条件极值问题不能或很难化为,无条件极值问题，,(比如，从附加条件不能将其中一个,变量由其余变量表示出来)，,这时，,上述方法就行不,

7、通了.,可是，,实际中又有大量这类问题需要解决，,为此，,下面给大家介绍一种直接求条件极值的方法，,即：,拉格朗日乘数法.,这是一种间接求条件极值的方法.,求函数,在附加条件,下的极值.,(1),(2),若函数,在附加条件(2)下在点,处取得极值,，,显然,(3),问题：,我们来研究一下：,该点必须满足,什么条件？,假定,在点,的某邻域内,有一阶,连续偏导数，且,.,由隐函数存在定理得：,方程(2)可确定一个连续且具有连续偏导数的函数,，,代入(1)得到,函数,在附加条件(2)下在点,处取得极值,，,相当于,在,处取得极值,一元函数,一元函数,(4),由一元函数极值的必要条件，,得,由(4)式

8、得：,从而,这样，,(5),(5)式变为,(6),由(2)式用隐函数求导法得,代入(6)式得,0,即,(7),(3)、(7)式就是函数,(1)在附加条件(2)下在点,取得极值的必要条件,即,为了方便记忆，做如下变形.,令,则上述必要条件变为：,作辅助函数,则上面三式即,这样，我们就得到拉格朗日乘数法：,要找函数,在附加条件,下的可能极值点，,可以先作辅助函数(或拉格朗日函数),再求出它的各偏导数，使之为0，并与附加条件联立,解出,则点,即为可能极值点,，,说明,(1),这种方法可推广到自变量为两个以上、,例如,求函数,在附加条件,下的极值.,作辅助函数,为一个以上的情形。,而条件,和,联立解出

9、,点,即为可能极值点,(2),这种方法只是求出了条件极值的可能极值点,至于它到底是否为条件极值点，,还要根据实际,问题来定,例3,求表面积为,而体积为最大的长方体的体积,解,设长方体的长、宽、高分别为,则它的体积,且,即,本题即：,求函数,在条件,下的最大值,用拉格朗日乘数法,作辅助函数,=0,=0,=0,(1),(2),(3),(4),(1)(2)(3)即,(5),(6),(7),(8),(9),(8)(9)代入(4)得,点,是可能极值点,由实际问题知：,表面积为,而体积为最大的,长方体一定存在，,又可能极值点只有一个，,所以，,可以断言：,最大值就在该点取到,即,在表面积为,的所有长方体中

10、，,长、宽、高均为,的那个体积最大，,最大体积,例4,求函数,在附加条件,，,下的极值,，,解,本题即：,求函数,，,在附加条件,下的极值,用拉格朗日乘数法,作辅助函数,=0,=0,=0,(1),(2),(3),(4),由(1)(2)得,由(2)(3)得,(5),(6),(5)(6)代入(4)得,点,是唯一的可能极值点,下面来判断其是否为极值点。,设由附加条件,确定了隐函数,代入目标函数,得,下面判定点,的无条件极值点。,是否为函数,由隐函数求导法，得,，,又,又,点,的极小值点。,是函数,点,是条件极小值点,目标函数,，,在附加条件,下在点,取到极小值,三、最大值与最小值的应用,例5 某工厂

11、生产两种产品A和B,出售单价分别为10元与元，生产x单位的产品A与生产y单位的产品B的总费用为：400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2)(元),解：设L(x,y)表示产品A和B分别生产x单位和 y单位时所得的总利润.,求取得最大利润时，两种产品的产量各多少？,解得,所以，当x=120,y=80时，L(x,y)有极大值L(120,80)=320.,x=120,y=80,即驻点为：(120,80).,在点(120,80)处,即当生产A产品120件，B产品80件时利润最大.,例6 设某电视机厂生产一台电视机的成本为c，每台电视机的销售价格为p，销售量为x.假设该厂的生产处于平衡状态，即电

12、视机的生产量等于销售量.根据市场预测，销售量x与销售价格p之间有下面的关系：其中M为市场最大需求量，a是价格系数.同时，生产部门根据对生产环节的分析，对每台电视机的生产成本c有如下测算：,其中 是只生产一台电视机时的成本，k是规模系数.根据上述条件，应如何确定电视机的售价 p，才能使该厂获得最大利润？,解：设厂家获得的利润为u，每台电视机零售价为 p，每台生产成本为c，销售量为x，则,作辅助函数,(1),(2),(3),(4),(5),解得,将(4)代入(5)得,将(4)代入(2)得,由(3)得,(6),(7),(8),将(6)(7)(8)代入(1)得,可能极值点为,（,）,即：,由实际问题知：最大利润一定存在，,而可能极值点,只有一个，,所以，,该点就是最大值点。,即：,当售价,时，,利润最大。,记,则由(4)得,又,作业,P118,1,3,4,6,7,9，10,