连续性随机变量及其分布.ppt

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1、,第三节 连续型随机变量,1.定义 对于随机变量X，若存在非负函数f(x)(-x+)，使对任意实数x，都有,则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数（probability density function or probability density）。,一、概率密度,注：连续型随机变量的分布函数是连续函数。,（1）非负性 f(x)0，(-x)；（2）归一性,EX,设随机变量X的概率密度为,求常数a。,答:,2.密度函数的性质,这两条性质是密度函数的充要性质,（3）若x是f(x)的连续点，则,EX,设随机变量X的分布函数为:,求f(x)。,故 X的密度 f(

2、x)在 x 这一点的值，恰好是X落在区间 上的概率与区间长度之比的极限。,对 f(x)的进一步理解:若x是 f(x)的连续点，则：,若不计高阶无穷小，有：,它表示随机变量 X 取值于(x,x+x的概率近似等于 f(x)x。,f(x)x在连续型r.v理论中所起的作用与PX=xk,在离散型r.v理论中所起的作用相类似。,（4）对任意实数a,若连续型 随机变量X具有概率密度 f(x)(-x)，则 PX=a0。于是,可见，,由P(A)=0,不能推出，,由P(B)=1,不能推出 B=S。,令x0，由于X是连续型r.v，所以它的分布函数连续，从而PX=a=0。,推导,密度函数的几何意义为,例2.13 已知

3、随机变量X的概率密度为,1)确定常数k。2)求X的分布函数F(x)。3)求PX(0.5,1.5)。,解:1),2),所以,k=1,3)PX(0.5,1.5)=,或=F(1.5)-F(0.5)=。,若 r.v.X的概率密度为：,则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，,记作：X U(a,b),1.均匀分布（Uniform distribution）,三种常见连续型随机变量,均匀分布常见于下列情形：,如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五 入时，那么一般认为误差服从（-0.5,0.5）上的均匀分布。,若X U(a,b)，则对于满足acd b,的c

4、,d,总有,例2.14 长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率。,15,45,解：设A：乘客候车时间超过10分钟 X：乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60)。,2.指数分布（Exponential distribution）,则称X服从参数为(0)的指数分布。,若 X,其分布函数为,三种常见连续型随机变量,例2.15 电子元件的寿命X（年）服从参数为3的指数分布。（1）求该电子元件寿命超过2年的概率。（2）已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用至少两年的概率为多少？,解：,指数分布常用于可

5、靠性统计研究中，如元件的寿命。,正态分布是应用最广泛的一种连续型分布。,正态分布在十九世纪前叶由高斯（Gauss）加以推广，所以通常称为高斯分布。,德莫佛,德莫佛（De Moivre）最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面。,3.正态分布（Normal distribution）,三种常见连续型随机变量,高斯,（I）.正态分布的定义,若r.v.X 的概率密度为,记作,f(x)所确定的曲线叫作正态曲线。,其中m和s都是常数,m任意,s 0,则称X服从参数为 m和s的正态分布。,（II）.正态分布N(,2)的图形特点,图形关于直线x=对称：f(+x)=f(-x)。,在

6、 x=时,f(x)取得最大值。,在 x=时,曲线 y=f(x)在对应的点处有拐点。,曲线 y=f(x)以x轴为渐近线。,曲线 y=f(x)的图形呈单峰状。,f(x)的两个参数：,位置参数,即固定，对于不同的，对应的 f(x)的形状不变化，只是位置不同。,形状参数,固定，对于不同的，f(x)的形状不同。,由于 f(m)所以 越小，f(x)变得越尖，,而X落在附近的概率越大。,下面是我们用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图。,红线是拟合的正态密度曲线,可见，某大学大学生的身高应服从正态分布。,人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个

7、方面反映了服从正态分布的随机变量的特点。,除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外，在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布。,应用场合,若随机变量 X 受到众多相互独立的随机因素的影响,而每一个别因素的影响都是微小的,且这些影响可以叠加,则 X 服从正态分布。,可用正态变量描述的实例非常之多：,各种测量的误差；人的生理特征；,工厂产品的尺寸；农作物的收获量；,海洋波浪的高度；金属线的抗拉强度；,热噪声电流强度；学生们的考试成绩；,（III）.设X,，X的分布函数是,

8、（IV）.标准正态分布,的正态分布称为标准正态分布。,其密度函数和分布函数常用 j(x)和 F(x)表示：,它的依据是下面的定理：,标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布。,根据定理1，只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题。,定理1,书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表。,（V）.正态分布表,表中给的是x0时,(x)的值。,当-x0时,1.若 XN(0,1),由标准正态分布的查表计算可以求得，,这说明，X的取值几乎全部集中在-3,3 区间内，超出这个范围的可能性仅占不到 0.

9、3%。,当XN(0,1)时，,P|X|1=2F(1)-1=0.6826,P|X|2=2F(2)-1=0.9544,P|X|3=2F(3)-1=0.9974,（VI）.3s 原则,将上述结论推广到一般的正态分布,时，,可以认为，Y 的取值几乎全部集中在,m-3s,m+3s,区间内。这在统计学上称作“3s原则”（三倍标准差原则）。,在工程应用中，通常认为P|Y-m|3s1,忽略|Y-m|3s的值。如在质量控制中，常用标准指标值m3作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报，表明生产出现异常。,例2.16 已知XN(d,0.52)，问d至少为多少时,解：由题意，d需满足,因为,所以,例2

10、.17 一种电子元件的使用寿命(小时)服从正态分布(100,152)，某仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的。求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率。,解：设A为使用的最初90小时内元件损坏；Y为A发生的元件数。,故,则Yb(3,p),其中,例2.18（1）假设某地区成年男性的身高(单位：cm)XN(170,7.692)，求该地区成年男性的身高超过175cm的概率。,解:（1）根据假设XN(170,7.692)，则,故事件X175的概率为,P X175=,=0.2578,解:（2）设车门高度为h cm，按设计要求,PX h0.01,或 PX h 0.99，,下面我们来求满足

11、上式的最小的h。,（2）公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的，问车门高度应如何确定?,因为XN(170,7.692),故 PX h=,0.99,查表得F(2.33)=0.99010.99,所以=2.33,即 h=170+17.92188,设计车门高度为188厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01,PX h 0.99,求满足,的最小的h。,（VII）.标准正态分布的上 分位点z,设 X N(0，1)，0 1，称满足,的点 z 为X的上 分位点。,常用的几个数据,z1-=-z,一、问题的提出,在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣。,求截面面积 A=pd

12、2/4的分布。,二 随机变量的函数的分布,例如，已知圆轴截面直径 d 的分布，,又如：已知t=t0 时刻噪声电压 V的分布，,求功率 W=V2/R(R为电阻）的分布等。,一般地、设随机变量X 的分布已知,Y=g(X)(设g是连续函数),如何由 X 的分布求出 Y 的分布？,这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的。,二、离散型随机变量函数的分布,例2.19 已知,X,Pk,-1 0 1,求:Y=X2的分布律。,Y,Pk,0 1,解：Y的所有可能取值为0，1。由PY=0=PX2=0=PX=0=1/3PY=1=PX2=1=PX=1+PX=-1=1/3+1/3=2/3得Y的分布律为,如果g(xk)

13、中有一些是相同的，把它们作适当并项即可。,一般，若X是离散型 r.v，X的分布律为,三、连续型随机变量函数的分布,解：设X、Y的分布函数为FX(x)、FY(y)，则,例2.20,设 X,求 Y=2X+8 的概率密度。,FY(y)=PYy=P2X+8 y,将FY(y)关于y求导数,可得Y=2X+8的密度函数,故,知当,即8 y 16 时，,由,及,当y取其它值时,例2.21,设 X 具有概率密度 fX(x),求Y=X2的概率密度。,求导可得,当 y0 时,注意到 Y=X2 0，故当 y0时，,解:设Y和X的分布函数分别为FY(y)和FX(x),若,则 Y=X2 的概率密度为：,称Y服从自由度为1

14、的c2分布。,从上述两例中可以看到，在求PYy 的过程中，关键的一步是设法从 g(X)y 中解出X，从而得到与 g(X)y 等价的X的不等式。,例如，用 X 代替 2X+8 y,用 代替 X2 y,这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出相应的概率。,这种方法叫分布函数法，是求r.v的函数的分布的一种常用方法。,下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度。,定理 设r.v X具有概率密度 fX(x),-0或恒有 g(x)0,则Y=g(X)是一个连续型r.v,它的概率密度为,其中，x=h(y)是y=g(x)的反函数，,2.若 f(x)在有限区间a,b以外等于零，则只

15、需假设在a,b区间上恒有g(x)0 或 g(x)0，此时，,1.只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以上 公式推求Y的密度函数；,注:,例2.22 已知XN(,2),求,解：,的概率密度。,且,故,即YN(0,1)。,例2.23 设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求Y=-2lnX的概率密度。,解：,在区间(0,1)上,y=g(x)=-2lnx0,且有反函数,由前述定理得,注意取绝对值,已知X在(0,1)上服从均匀分布，,代入 fY(y)的表达式中,得,即Y服从参数为2的指数分布。,对于连续型随机变量，在求Y=g(X)的分布时，关键的一步是把事件 g(X)y 转化为X在一定范围内取值

16、的形式，从而可以利用 X 的分布来求 P g(X)y。,这一讲我们介绍了随机变量函数的分布。,1、不论是离散型的或非离散型的随机变量X,都可以借助分布函数 F(x)=PXy,-x来描述。若已知X的分布函数,就能知道X落在任一区间(a,b上的概率：PaXb=F(b)-F(a),这样分布函数可以完整地描述随机变量取值的统计规律性。,2、对于离散型随机变量，需要掌握的是它可能取那些值及以怎样的概率取这些值。因而对离散型随机变量用分布律PX=xk=pk,k=1,2,来描述它的取值的统计规律性更为直观和简洁。分布律和分布函数有以下关系：F(x)=PXx=,3、对于连续型随机变量,给定X的概率密度f(x)

17、,就能确定F(x)。反之，由于f(x)位于积分号之内,故改变f(x)在个别点的值,并不改变F(x)的值.因此改变f(x)在个别点的值无关紧要。对连续型随机变量,在实用和理论上使用概率密度f(x)来描述较为方便。概率密度和分布函数有以下关系：F(x)=PXx=,4、连续型随机变量X 的分布函数是连续的，它取任一指定常数a的概率为0。这两点是离散型变量不具备的。,5、已知X的概率密度fX(x)，求Y=g(x)的概率密度,fX(x)在a,b以外取值为0，且当xa,b时，y=g(x)(a,b)。,(2)y=g(x)在a,b上无单调性。那么当ya时,FY(y)=0；当yb时,FY(y)=1；当ayb时,

18、FY(y)=PY y=Pg(X)y,(1)y=g(x)在a,b上恒有g(x)0(或0)，则由公式可得,(1)y=g(x)在(-,)上恒有g(x)0(或0)，则由公式,(2)y=g(x)在(-,)上无单调性。那么当ya时,FY(y)=0；当yb时,FY(y)=1；当ayb时,FY(y)=PY y=Pg(X)y,fX(x)定义在(-,),且当x(-,)时,y=g(x)(a,b)。,例2.24 设随机变量X的概率密度为,求Y=sinX的概率密度。,当 y0时,当 y1时,当,时,故,解：注意到,因为,FY(y)=PYy=PsinXy,=P0Xarcsiny+Pp-arcsiny Xp,当0y1时,=

19、F(arcsiny)-F(0)+F(p)-F(p-arcsiny),两边关于y求导数,可得,fY(y)=f(arcsiny)(arcsiny)-f(p-arcsiny)(p-arcsiny),综上，可知,例2.25 已知随机变量X的分布函数F(x)是严格单调的连续函数,证明Y=F(X)服从0,1上的均匀分布。,又由于X的分布函数F是严格递增的连续函数,其反函数 F-1 存在且严格递增。,证明:设Y的分布函数是G(y)，,于是,对y1,G(y)=1;,对y0,G(y)=0;,由于,对0y1,G(y)=PY y,=PF(X)y,=PX(y),=F(y)=y,即Y的分布函数是,求导得Y的密度函数,可见,Y 服从0，1上的均匀分布。,