连续型随机变量与概率密度函数.ppt
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1、第二章 随机变量及其分布,连续型随机变量及其分布,有关要点回顾,1离散型随机变量 随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个,叫做离散型随机变量.,离散型随机变量的分布律为,1.,2.,(非负性),(归一性),其中,在这个意义上,我们说,对于离散型随机变量,如果知道了它的分布列,也就知道了该随机变量取值的概率规律.,离散型随机变量由它的分布列唯一确定.,2.连续型随机变量 随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量.,连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对连续型随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度
2、函数”的方式来描述其概率分布.,下面,我们将向大家介绍另一种类型的随机变量,连续型随机变量的描述方法.,第三讲 连续型随机变量及其概率密度,连续随机变量;密度函数及其性质;均匀、指数与正态分布,设离散型随机变量X在a,b内取n个值:x1=a,x2,x3,x4,xn=b,X,即小矩形的面积为取对应点的概率,折线下面积之和!,X的概率直方图:,(1)定义的引出,若X为连续型随机变量,由于X在a,b内连续取无穷多个值,折线将变为一条光滑曲线,而且:,由此推出连续型随机变量的定义,简称为概率密度或密度.,对于随机变量 X 的分布函数 F(x),若存在非负可积函数 f(x),,使得对任意实数 x,有,则
3、称 X 为连续型随机变量,,由定义,称 f(x)为 X 的概率密度函数,,定义1(P40.定义),密度函数的基本特性:,(1)f(x)0;,=1-0,1;,(2),(3),(4),(5),=0,判定一个函数 f(x)为某连续型随机变量的概率密度的充要条件,独点概率,非负性,规范性,可微性,概率公式,y=f(x),面积为1,若 f(x)在点 x 处连续,,则,P(X=x0),=0.,P(aXb)=P(a X b)=P(aX b)=P(aXb),几乎不可能事件,几乎必然事件,X 取值于(x,x+x的概率=其密度在此区间上的积分,可积,连续型的分布函数必连续,一、连续随机变量及其分布密度,P(x1
4、X x2)=F(x2)-F(x1),1 o,2 o,密度函数的几何意义,即 y=f(x),y=a,y=b,x轴所围成的曲边梯形面积。,密度函数曲线位于 x轴上方,(1)P x1X x2=P x1X x2=P x1X x2=P x1X x2=F(x2)F(x1)=,(2),点概为零的重要启示,若 A 为不可能事件,则 P(A)=0;然而 P(A)=0 时,A 却不尽为不可能事件.,连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关,事件(X=c)并非不可能事件,它是会发生的,也就是说零概率事件也是有可能发生的。如 X为被测灯泡的寿命。若灯泡寿命都在1000小时以上,而 P(X=1000)=0,
5、但事件(X=1000)是一定会 发生的,否则不会出现事件(X 1000),所以 不可能事件的概率为零,但概率为零的事件不一定是不可能事件。同样:必然事件的概率为1,但概率为1的事件不一定是必然事件。,若X是连续型随机变量,X=a 是不可能事件,则有,若 X 为离散型随机变量,注意,连续型,离散型,分布函数F(x)的函数值表示随机变量 X 在右闭无穷区间(,x 上的取值概率,即,只要函数 F(x)是随机变量 X 的分布函数,那就必有,不过离散变量的分布函数仅是右连续的函数;连续变量的分布函数却是实轴上处处连续的函数.,要 点 重 申,“连续随机变量的点概为零”,即连续型随机变量 X 在其任一可取
6、点处的取值概率恒等于零;但“离散随机变量的点概不尽为零”,因为后者在其任一可取之点处的取值概率肯定不为零.,并且概率密度 f(x)也满足所谓的归一性,也就是,只有连续型随机变量 X 才存在概率密度 f(x),它与分布函数 F(x)的相互关系是,要 点 重 申,连续变量的点概为零说明:不可能事件的概率为零;但概率为零的事件不尽为不可能事件.,连续随机变量 X 在任何区间上的取值概率与区间的开闭与否无关,它恒等于概率密度在该区间上的积分,即,但离散随机变量 X 在区间上的取值概率与区间的开与闭有关:区间开时应去掉开点的点概;区间闭时应包括闭点的点概,例如,P x1X x2,P x1X x2=F(x
7、2)F(x1)P X=x1,P x1X x2=F(x2)F(x1),要 点 重 申,例1 设,求常数K,解,由性质,解之得,得,例2 设连续型随机变量 X 具有概率密度,求 常数A;概率,分布函数,解,例3 设连续随机变量 X 的概率密度,解,试求概率(1);(2).,解:,【练习】,得,【练习】,设随机变量,具有概率密度,(2),求,的分布函数,(3),求,解,由,得,解得,设随机变量,具有概率密度,【练习】,解,由,得,解得,其它,.,设随机变量,具有概率密度,(2),求,的分布函数,【练习】,解,.,设随机变量,具有概率密度,(3),求,解,或,【练习】,例4 设随机变量 K 的概率密度
8、为,试求方程 有实根的概率.,解,方程要有实根,则根的判别式0,即有,可见,或,于是,所求的概率为,密度函数,例5 连续随机变量X 的分布函数为,解 F(x)显然应是 x 的连续函数。于是,由函数在0和1处的连续性即得,A=B,B=1A,可见 A=B=1/2;,概率 P X 1/3=,Aex,x 0 F(x)=B,0 x 1 1Ae(x1),x 1,试求 A、B的值;X 的密度函数;P X1/3。,1 P X 1/3,=1 F(1/3),=11/2=1/2.,ex/2,x 0,0,0 x 1,e(x1)/2,x 1,【练习】,故有,解,(1)因为 X 是连续型随机变量,=,例6 某药品的有效期
9、 X 以天计算,其概率密度为,解 分布函数,20000/(x100)3,x 0 f(x)=0,其它,试求 X的分布函数;有效期至少为200天 的概率。,=,=,有效期至少为200天 的概率 P X 200=,1 P X 200,=1 P X 200,=1 F(200),=1/9.,分布函数法,例6 某药品的有效期 X 以天计算,其概率密度为,20000/(x100)3,x 0 f(x)=0,其它,试求 X的分布函数;有效期至少为200天 的概率。,有效期至少为200天 的概率,=,=1/9.,密度函数法,P X 200=,例6 某药品的有效期 X 以天计算,其概率密度为,20000/(x100
10、)3,x 0 f(x)=0,其它,试求 X的分布函数;有效期至少为200天 的概率。,三、三大连续分布密度,指数分布 E(),在寿命、可靠性与排队理论中应用广泛且富“无记忆性”从而赢得“永远年轻”之美誉的分布.,均匀分布 R(a,b)或 U(a,b),在区间(a,b)的任何子区间(c,d)内,取值概率直接等于子区间与母区间的长度比的分布.,正态分布 N(,2),理论与实践中应用最广、且任何大容量的独立随机变量之和必然近似服从的理论分布.,三大连续分布的名称与符号,显然,不同的均匀分布是根据两分布参数 a 和 b 的不同取值加以区分的。,1.均匀分布 R(a,b),若连续随机变量 X 的密度函数
11、具有形式,三、三大连续分布密度,那么就称该随机变量 X 服从均匀分布,也称 X为均匀分布变量(简称均匀量),并记为,特征:区间(a,b)上的均匀量 X 落在该区间上 任何长度为 l 的子区间内的概率皆为:,l,任取子区间,容易求出,均匀随机量 X 的分布函数为,均匀分布常见于下列情形:,如在数值计算中,由于四舍五 入,小数点后某一位小数引入的误差,例如对小数点后第一位进行四舍五 入时,那么一般认为误差服从(-0.5,0.5)上的均匀分布。,再者,假定班车每隔a分钟发出一辆,由于乘客不了解时间表,到达本站的时间是任意的(具有等可能性),故可以认为候车时间服从区间(0,a)上的均匀分布,例 某公共
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- 关 键 词:
- 连续 随机变量 概率 密度 函数
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