连续函数的运算(IV).ppt

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1、,一、连续函数的运算法则,第九节,二、初等函数的连续性,连续函数的运算与,初等函数的连续性,第一章,一、四则运算的连续性,定理1,例如,三角函数在其定义域内都是连续的。,定理2.连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减),(证明略),在1,1上也连续单调,(递减),递增.,二、反函数与复合函数的连续性,反三角函数在其定义域内都是连续函数。,在,上连续,其反函数,在,上也连续单调递增.,又如,单调 递增,定理3,证,将上两步合起来:,意义,1.极限符号可以与函数符号互换;,例2,解,例2.求,解:,原式,例3.求,解:令,则,原式,说明:由此可见当,

2、时,有,定理4,注意定理4是定理3的特殊情况.,例如,是由连续函数链,因此,在,上连续.,复合而成,例1.,设,均在,上连续,证明函数,也在,上连续.,证:,根据连续函数运算法则,可知,也在,上,连续.,三、初等函数的连续性,基本初等函数在其定义域内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在其定义区间内连续,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),的连续区间为,1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;,例如,这些孤立点的邻域内没有定义.,在0点的邻域内没有定义.,注意,注意2.初等函数求极限的方法代入法.,例3,例4,解,解,例4.求,解:,原式,说明:若,则有,四、幂指函数,形如,的函数,例5.设,解:,讨论复合函数,的连续性.,故此时连续;,而,故,x=1为第一类间断点.,在点 x=1 不连续,内容小结,基本初等函数在其定义域内连续,连续函数的四则运算结果仍连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在其定义区间内连续,说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.,思考与练习,续?,反例,处处间断,处处连续.,反之是否成立?,作业P69 3(5),(6),(7);4(4),(5),(6);5,提示:,“反之”不成立.,第十节,