矩阵理论.ppt

《矩阵理论.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵理论.ppt（46页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、矩阵理论,目的和内容,矩阵理论是求解多元线性方程组的有力工具；现代工程中的一些问题，如果用矩阵表示，不但形式简洁，更重要的是具有适合计算机处理的特点。由于计算机的发展和普及，矩阵分析显得越来越重要；举例教学目的：掌握主要的概念；能够看懂相关文献，尤其是各种术语和符号的含义；掌握与泛函分析交叉或相关的一些内容许多领域日益增多的文献中大量使用泛函分析的术语、符号sup(*)、inf()、,动态系统的描述,电路系统,L,C,R2,R1,u(t),u(t),iL,iC,代入(1),代入(2),(1),(2),动态系统的描述(Continue),写成矩阵形式：,动态系统的描述(Continue),机械系

2、统的振动,m,y(t),F(t),写成矩阵形式：,动态系统的描述(Continue),离散系统,离散时间系统,x(n),y(n),动态系统的描述(Continue),引入中间变量，化高阶差分方程为一阶线性差分方程组,动态系统的描述(Continue),写成矩阵形式:,相关概念及定义,矩阵(Matrix)矩阵是数域F上的mn个数构成的数表：称为F上m行、n列的矩阵，记为A称为A的第i行、第j列元素，记为(A)ij,i=1,m,j=1,n,相关概念及定义（continue）,数域F上的一切m行、n列的矩阵的集合，记为：若，则称矩阵A与B同型数域（Field）若数集F含有数1且对四则运算封闭，则称F

3、为数域映射（Mapping）若，若存在一个对应关系（或对应法则，correspondence relationship or correspondence rule），有Y中的唯一的一个元素y与之对应，就称给出了一个从X到Y的一个映射f，记作：f:XY，或y=f(x)映射是函数概念的推广，它与函数、算子、变换表示的是同一个概念特别地，当Y为数集(实数集R或复数集C)时，称f为定义在集合X上的泛函（functional）,相关概念及定义（continue）,直积集设A，B是给定的集合，称为A与B的直积集，简称积集、直积举例：，那么 表示XOY平面上矩形中点的集合 表示XOY平面上所有点的集合AB

4、中的元素被称为有序对，即当 时，直积集的概念可被推广到两个以上给定的集合：,记为：,相关概念及定义（continue）,代数运算如果通过法则，得到唯一的，则称为A与B的直积集到C的一个代数运算：称c为 和 经运算得出的结果，记为：集合A对运算封闭：若是 的一个代数运算，则称集合A对运算封闭N和Z不是数域Q、R和C都是数域Q是最小的数域C是最大的数域,相关概念及定义（continue）,在矩阵的定义的基础上，可定义矩阵相等、负矩阵、零矩阵、方阵、单位阵、对角阵、逆矩阵等矩阵相等设，若则称矩阵A与B相等，记为A=B负矩阵对称-A 为A的负矩阵零矩阵元素全为零的矩阵，称为零矩阵，记为0,，i=1,m

5、,j=1,n,相关概念及定义（continue）,方阵（Square matrix）行数和列数相同的矩阵称为方阵，行数为n的方阵称为n阶方阵。对方阵，又定义了主对角线元素、副对角线元素等概念：称 为主对角线元素称 为副对角线元素对角阵（diagonal matrix）除了主对角线元素以外，其余元素均为0的方阵，称之为对角阵。单位阵（Identity matrix）主对角线元素全为1的对角阵，称之为单位阵。简记为I。N阶单位阵记为,矩阵运算,矩阵加法：设，称 为矩阵A与B之和。矩阵加法是 的代数运算，性质：交换律：A+B=B+A 结合律：(A+B)+C=A+(B+C)A+0=0+A=A A+(-

6、A)=(-A)+A=0矩阵减法：设，称 为矩阵A与B之差。,矩阵运算（Continue）,数乘矩阵：设，称 为与之积。推论 数乘矩阵是 的一个代数运算，性质：1。2。分配律 3。分配律 4。结合律矩阵乘法:设令,矩阵运算（Continue）,称为A与B之积(1)A的列数=B的行数;(2)AB的行数为A的行数,列数为B的列数;(3)AB的i行j列元素为A的i行元素与B的j列对应元素之积之和举例：,矩阵运算（Continue）,ABBA：矩阵乘法不满足交换律 A 0；B 0，但AB=0。矩阵乘法是 的一个代数运算，它有以下性质：1(AB)C=A(BC)结合律2(A+B)C=AC+BC 分配律 A(

7、B+C)=AB+AC 分配律3(A)B=A(B)=(AB)结合律4A是方阵：AI=IA=A,矩阵运算(Continue),方阵的幂（Power)设 称 为A的k次幂，并定义 因为矩阵乘法满足结合律，所以 又因矩阵乘法不满足交换律，一般地：,转置矩阵和分块矩阵,转置矩阵（Transposed matrix）可将对矩阵行与列的研究，转化为对其中之一的研究设称为A的转置矩阵，有的教科书上记为易见：转置矩阵具有以下性质：可用数学归纳法推广至多个矩阵的情形,转置矩阵和分块矩阵,分块矩阵用水平线或垂直线将矩阵 分成若干个小矩阵，并将A视为以这些小矩阵为元素组成的矩阵，称之为A的分块矩阵，其中的每个小矩阵称

8、为A的子矩阵。一般用 表示r行s列的分块矩阵，Aij为其第i行第j列上的子矩阵分块矩阵的相等若两个分块矩阵恢复成普通矩阵是相等，则称此两分块矩阵相等对、用相同的划分法分为分块矩阵，则矩阵加法、减法和数乘矩阵的法则可推广到分块矩阵上,i=1,r,j=1,s,分块矩阵的加法、减法、数乘,其中，则 1。2。将 的列，的行用相同的划分法划分为分块矩阵，则矩阵乘法可推广到分块矩阵上。,分块矩阵的乘法和转置,令其中，则分块矩阵的转置欲求分块矩阵的转置，只要将其对应行列互换，然后将其中的每个子矩阵转置即可,i=1,r,j=1,s,分块矩阵的乘法和转置,则其转置矩阵为,矩阵的秩,矩阵的秩矩阵A的k阶子式设，在

9、A中任取k行、k列位于这些行列相交处的元素构成的k阶行列式称为矩阵A的一个k阶子式若，A中非零子式的最高阶数r称为A的秩，记为：若，则定义F上所有m行n列且秩为r的矩阵的集合记为：若，称A是行满秩的；否则称A是行降秩的，即r m若，称A是列满秩的；否则称A是列降秩的，即r n方阵与其行列式的关系:rankA=n，称方阵满秩、非奇异:rankA n，称方阵降秩、奇异,矩阵的秩(Continue),矩阵的秩的性质矩阵与其转置矩阵的秩相等：初等变换不改变矩阵的秩，则：满秩方阵的乘积仍满秩 可经有限次初等变换化为 且A可表示为 其中，、,i=1,r,j=1,t是F上的初等阵推论：数域F上的满秩阵可被分

10、解为F上的初等阵之积 可经初等行（列）变换化为单位阵，而单位阵在同样的行（列）变换下化为,逆矩阵和矩阵的逆,方阵的逆(Inverse)对，若存在同阶方阵B，使得 AB=BA=I则称A可逆，并称B为A的逆矩阵，简称为A的逆，记为伴随矩阵(Adjacent matrix)对，为detA中元素aij的代数余子式，则称为A的伴随矩阵，detA为方阵A的行列式（determinate）伴随矩阵的性质：若，则,adjA,逆矩阵和矩阵的逆(Continue),逆存在的条件：方阵 有逆的充分必要条件为：且满足此条件时，A有唯一的逆：若，则称A是满秩的（或称A是非奇异的），否则，称A是降秩的（或称A是奇异的）逆

11、的性质若，则：可推广至有限个满秩方阵相乘的情形,抽象空间,线性空间设，称X为数域F（实数域R或复数域C）上的线性空间，若：X是一个加法交换群(或称阿贝尔群：Abel Group）定义了加法+：，称x+y 为x,y的和，且满足：加法交换律：加法结合律：零元的存在性：，使得，有相反元素的存在性：，使得可以证明零元与相反元素在X中都是唯一的定义数乘：，可确定唯一元素，称之为数乘元素的积，且满足：数乘结合率：1x=x,分配律：分配律：,若F=R：则X为实线性空间；F=R：则X为复线性空间,零元和相反元素唯一性的证明,零元的唯一性：反证法：假设线性空间X中还存在其它零元，任取其一，例如，则由对0的定义：

12、又由对 的定义：应用交换律比较上两式，等式右边应该相等，即，所以零元是唯一的相反元素的唯一性：反证法：假设线性空间X中还存在其它负元素，任取其一，例如，考察和：应用结合律：而根据相反元素的定义:又：，易见：所以线性空间中的相反元素是唯一的,线性空间举例,直线R:即具有普通加法和乘法运算的全体实数集平面XOY平面上所有点的集合，加法即向量加法，满足平行四边形法则；数乘即数乘向量，即向量按比例伸长或缩短实n维空间所有n个实数组 的全体a,b上的连续函数构成的空间Ca,b加法即函数的加法，数乘即数乘以函数空间，：此空间中的点为满足条件 的数列（或无穷维向量）：,数列的所有元是p次绝对可和的,线性空间

13、举例（Continue）,空间 的加法:空间 的数乘：，？即：由Minkowski不等式：当右边的两个级数收敛时，左边的级数也收敛，,线性空间的其它概念,线性算子设X与Y是同一数域F上的线性空间，则称映射 为线性映射，又称线性变换、线性算子,X,Y,f,线性空间的其它概念(Continue),线性泛函线性映射的定义中，若Y=F(实数域R or复数域 C)，则称f为线性泛函,X,X,R,C,f,f,线性空间的其它概念(Continue),恒等算子：I是线性算子，线性空间X中的任一元素，映射为X中的同一元素零算子：，（Y中零元素，非F中0）零算子是线性算子线性空间的同构称线性算子f为X Y上的线性

14、同构映射：若f为一一映射称同一数域F上两线性空间是同构的，或称X同构于Y：若存在一个从x到y上的一一对应的线性映射。,线性空间的其它概念(Continue),同构线性空间的性质：X同构于其本身；（取恒等映射 为同构映射即得）若X同构于Y，则Y同构于X；（取X Y同构映射的逆映射，为 Y X 的同构映射）若X同构于Y，Y同构于Z，则X同构于Z；（取X Y的同构映射f与X Y的同构映射g的复合映射 为X Z上的同构映射即得）线性组合：设，若，使得 则称x是 的线性组合,线性空间的其它概念(Continue),线性相关、线性无关：设，如果，且不全为零，使得则称向量组 是线性相关的否则，称 是线性无关

15、的，换言之，若则称 线性无关线性空间的维数（dimension）和基（base）如果在线性空间X中可找到n个线性无关的向量，而X中的任意n+1个向量都是线性相关的，则称X的维数为n，记作：若，X中总存在m个线性无关的向量，则称X是无限维的，记作：n维线性空间X中由n个线性无关的向量组成的向量组，称为X的一组基,线性空间的其它概念(Continue),线性子空间：如果线性空间X的非空子集L按照X中的加法和数乘运算构成一线性空间，则称L为X的线性子空间举例：若，有，则L是X的线性子空间；X和0是X的线性子空间，异于X和0的子空间称为真子空间；spanA（A的线性包）：设A是线性空间X的子集，作所有

16、可能的A中向量的线性组合，其中，且，则 是X的一个线性子空间，称之为由A张成的子空间（由A生成的子空间或A的线性包），记作spanA设X是线性子空间，集合 是子空间，当 时，是由x生成的一维子空间,线性方程组解的结构,齐次方程组解的结构解集的几何特征设W是F上齐次线性方程组AX=0所有解的集合，则W是(或）的子空间；若A由初等行变换和某些列对换化为分块矩阵其中r n,线性方程组解的结构（Continue）,那么矩阵的n r 个列向量 是W的基称W为齐次线性方程组AX=0的解空间解空间W的基称为AX=0的基础解系F上齐次线性方程组AX=0的解 是其任一基础解系的线性组合 通常称为齐次线性方程组A

17、X=0的通解或一般解,线性方程组解的结构（Continue）,非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组的一个确定的解称为它的特解F上非齐次线性方程组的解X，等于它的任一特解 与其对应非齐次线性方程组AX=0的通解 之和X通常称为非齐次线性方程组AX=B的通解或一般解,矩阵的特征值与特征向量,方阵的特征值与特征向量设，如果 和，使得成立，则称为A的特征值，称x为A的对应于特征值的特征向量特征矩阵设，称为A的特征矩阵,矩阵的特征值与特征向量（Continue）,特征多项式特征矩阵的行列式称为A的特征多项式特征方程设，称方程 为A的特征方程（首一的一元n次方程）A的特征值的等价定义：A的特征方程在F上的根称为A的特征值 有非零解，,矩阵的特征值与特征向量（Continue）,举例：求的特征值与特征向量A的特征多项式：易见A的特征值：,矩阵的特征值与特征向量（Continue）,求A的属于 的特征向量，即求解方程基础解系,全部特征向量：,不同时为0,矩阵的特征值与特征向量（Continue）,同理可求A的属于 的特征向量B的特征值为，在求B的属于2的特征向量时，由于基础解系,全部特征向量：,返回,