结论对n个节点的电路有且仅有n个独立KCL方程.ppt

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1、结论1：对n个节点的电路，有且仅有(n-1)个独立KCL方程。结论2：任取(n-1)个节点列写的KCL方程相互独立；常将能列出独立KCL方程的节点称为独立节点。,1)KCL的独立方程：,对左图电路支路数：b=3 结点数：n=2,对结点 a：,I1+I2I3=0,第二章 电阻电路的基本分析方法,2.1、支路电流法,1、KCL和KVL的独立方程,列出网孔KVL方程为：(支路电压与回路方向一致取“+”；支路电压与回路方向相反取“-”),2)KVL的独立方程：,还能列出其它回路的KVL方程,它们之间独立吗?,上图中：回路数=3 单孔回路（网孔）=2,对网孔1：,对网孔2：,I2 R2+I3 R3=E2

2、,I1 R1+I3 R3=E1,结论1：对具有n个节点、b条支路的连通图，有 且仅有(b n+1)个独立的KVL方程。结论2：有：(1)(b n+1)个基本回路；(2)平面电路的(b n+1)个网孔可列 出独立KVL方程,对于给定的电路，电路分析的任务之一就是求出未知的支路电流和支路电压。,2)方程的列写：,列出独立KCL方程,独立KVL方程,和支路电压电流关系,联立求解方程,1)2b法定义：以b个支路电压和b个支路电流为未知变量列写并求解方程的方法称为2b法。,2、支路电流法,2b法,2、方程的列写：,(1)在a、b、c点列出(n-1)=3个独立KCL方程；,i1+i2+i4=0-i4+i5

3、+i6=0-i1+i3 i5=0,(2)列写出网孔(b-n+1)=3个独立KVL方程,u1 u5 u4=0 u4+u6 u2=0u5+u3 u6=0,2、方程的列写：,(3)根据元件的伏安关系，每条支路又可列写出b=6个支路电压和电流关系方程。,支路1：,u1=R1i1,支路2：,u2=uS2+R2i2,支路3：,u3=R3i3,支路4：,u4=R4i4,支路5：,u5=uS5+R5i5,支路6：,u6=R6i6,(4)解2b=12个独立方程求出支路电流和电压,2b法的问题:方程数目太多，变量数目太多，能否减少变量和方程数目？,1b法就是就是以1b个支路电流或支路电压为变量的方法。简称支路电流

4、法。,2、求解思路：,、选定每个支路电流的参考方向；,、对(n-1)个独立节点，列出独立KCL方程；,、选定(b-n+1)个独立回路(基本回路或网孔)，指定回路绕行方向，根据KVL和OL列出回路电压方程。列写过程中将支路电压用支路电流来表示。,、联立求解上述b个支路电流方程；,、进而求题中要求的支路电压或功率等。,1、支路电流法：以支路电流为变量，根据元件的VAR及KCL、KVL约束列出方程组，求解支路电流，进而求得电路中基它的电压、功率等的方法 称为支路电流法。,例题1：,(1)在a、b、c点列出(n-1)=3个独立KCL方程；,i1+i2+i4=0-i4+i5+i6=0-i1+i3 i5=

5、0,第 2-9 页,(2)列写出网孔(b-n+1)=3个独立KVL方程,(3)6个支路电流变量,6个独立方程联立求解,可完 全解出电流、电压并功率等。得到完全求解,例2：用支路法求解下图所示电路中各支路电流及各电阻吸收的功率。,解：(1)标出支路电流的参考方向，如图所示。,(2)选定网孔列KVL方程，如图所示方向。,(3)受控电压源当独立电压源一样处理，对电流源的处理方法：在其两端设定一电压U；,(4)对独立节点a，列KCL方程为：i2 i1 2=0(1),(5)对两个网孔，利用KVL和OL列回路方程为：2 i1+U 12=0(2)2 i2+2u1 U=0(3),试问能解出吗？,(6)上面三个

6、方程，四个未知量。补一个方程：将受控源控制量u1用支路电流表示，有 u1=2i1(4),(7)解式(1)(2)(3)(4)得支路电流为 i1=1A，i2=3A,(8)求电阻吸收的功率为 P1=i122=2(W)，P2=i222=18(W),支路电流法的特点：,支路法列写的是 KCL和KVL方程，所以方程列写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不多的情况下使用。,例3.,节点a：I1I2+I3=0,列写支路电流方程.(电路中含有受控源）,解:,11I2+7I3=5U,7I111I2=70-5U,增补方程：U=7I3,有受控源的电路，方程列写分两步：,(1)先将受控源看作独立源列方程；(2)将控

7、制量用未知量表示，并代入(1)中所列的方程，消去中间变量。,2b法和支路法需要列写的方程往往太多，手工解算麻烦。能否使方程数减少呢？网孔法就是基于这种想法而提出的改进。,2、网孔电流的概念,在每个独立回路中假想有一个电流在回路中环流一周，而各支路电流看作是由独立回路电流合成的结果。回路的巡行方向也是回路电流的方向。注意：回路电流是一种假想的电流，实际电路中并不存在。引入回路电流纯粹是为了分析电路方便。,1、网孔分析法 以独立回路电流为未知变量列出并求解方程的方法称为回路法。若选平面电路的网孔作独立回路，则这样的回路法又常称为网孔法。,2.2 网孔分析法,如图电路，选网孔作独立回路，设定回路电流

8、I、I、I如图所示。各支路电路看成是由回路电流合成得到的，可表示为 i1=I，i2=I，i2=I，,R4支路上有两个回路电流I、I流经,且两回路电流方向均与i4相反，故 i4=-I-I R5支路上有两个回路电流I、I 流经，故 i5=-I+I R6支路上有两个回路电流I、I 流经，故 i6=-I-I,对节点a列出KCL方程，有 i1+i4+i2=I+(-I-I)+I 0可见，回路电流自动满足KCL方程。,3、网孔法方程的列写规律,利用KVL和VCR列出三个独立回路的KVL回路 R1i1 R5i5 uS5 R4i4=0回路 uS2+R2i2 R6i6 R4i4=0回路 uS5+R5i5+uS3+

9、R3i3 R6i6=0,将支路电流用回路电流表示，并代入上式得()R1 I R5(-I+I)uS5 R4(-I-I)=0()uS2+R2 I-R6(-I-I)R4(-I-I)=0()uS5+R5(-I+I)+uS3+R3 I R6(-I-I)=0,将上述方程整理得：回路()(R1+R4+R5)I+R4 I R5 I=uS5,回路()R4 I+(R2+R6+R4)I+R6 I=uS2,回路()R5 I+R6 I+(R5+R3+R6)I=-uS5-uS3,R11,R22,R33,R12,R13,R21,R23,R31,R32,(US)1,(US)2,(US)3,将上述方程整理成标准形式：,可推广到

10、m个网孔的电路。,Rii(i=,)称为回路i的自电阻=第i个回路所有电阻之和，恒取正；Rij称为回路i与回路j的互电阻=回路i与回路j共有支路上所有公共电阻的代数和；若流过公共电阻上的两回路电流方向相同，则前取“+”号；方向相反，取“-”号。(US)i 称为回路i的等效电压源=回路i中所有电压源电压升的代数和。即，当回路电流从电压源的“+”端流出时，该电压源前取“+”号；否则取“-”。,例1：列写如图电路的网孔方程,解:网孔电流如图表示,Rii(i=,)称为回路i的自电阻=第i个回路所有电阻之和，恒取正；,Rij称为回路i与回路j的互电阻=回路i与回路j共有支路上所有公共电阻的代数和；若流过公

11、共电阻上的两回路电流方向相同，则前取“+”号；方向相反，取“-”号。,(US)i 称为回路i的等效电压源=回路i中所有电压源电压升的代数和。即，当回路电流从电压源的“+”端流出时，该电压源前取“+”号；否则取“-”。,由电路直接列写网孔方程的规律总结,（2）以回路电流的方向为回路的巡行方向，按照前面的 规律列出各回路电流方程。自电阻始终取正值，互电阻前的符号由通过互电阻上的两个回路电流的流向而定，两个回路电流的流向相同，取正；否则取负。等效电压源是电压源电压升的代数和，注意电压源前的符号。（3）联立求解，解出各回路电流。（4）根据回路电流再求其它待求量。,（1）选定一组(b-n+1)个独立回路

12、，并标出各回路电流的参考方向。,4、网孔法步骤归纳如下：,例1 如图电路，求电压Uab。,解：选网孔为独立回路，如图所示。电路有2个网孔，由于流过电流源IS1上的网孔电流只有一个i1，故 i1=IS1=2A这样可以少列一个网孔方程。第二个网孔方程 10i2 2 IS1=16 5解得 i2=3/2(A)UAB=8 i2+5=17(V)。,5、例题分析,例2 如图电路，求电压U。,解：选网孔为独立回路，如图所示。对于两个网孔公共支路上的1A电流源，处理方法之一是先假设该电流源两端的电压U，并把它看作电压为U的电压源即可。网孔方程为：,9i1 4i2=16 U 4i1+9i2=U 5补一个方程：i1

13、 i2=1 解得 i1=8/5(A)，i2=3/5(A)。故 U=4(i2-i1)+5 i2+5=4(V)。,小结：如果流经电流源上的回路电流只有一个，则该回路电流就等于电流源电流，这样就不必再列该回路的方程。若多个回路电流流经电流源，则在该电流源上假设一电压，并把它看成电压源即可。,例1 如图电路，用回路法求电压UAB。,解法一：选网孔为独立回路，如图所示。本电路有3个网孔，理应列3个网孔方程，但由于流过电流源IS1上的网孔电流只有一个i1，故i1=IS1=2A，这样可以少列一个网孔方程。,（1）、电流源的处理方法,6、网孔法中特殊情况的处理,对于两个网孔公共支路上的1A电流源，处理方法之一

14、是先假设该电流源两端的电压U，并把它看作电压为U的电压源即可。由图得网孔方程为 9i2 2 IS1 4i3=16 U 4i2+9i3=U 5补一个方程：i2 i3=1 解得 i2=2(A)，i3=1(A)。故 IA=IS1-i2=0，UAB=2 IA+16=16(V)。,1、电流源的处理方法,选基本回路为独立回路，如图(b)所示，注意只有3个节点。三个回路电流分别是IS1、IA和IS2。由于其中两个回路电流已知，故只需列一个回路方程即可。由图得该回路方程为 10 IA 8 IS1+5 IS2=5 16 10 IA 82+51=5 16 解得 IA=0(A)。故 UAB=2 IA+16=16(V

15、)。,说明：解法一选网孔作为独立回路，常称为网孔法，它只适用于平面电路；而解法二选基本回路作独立回路，常称为回路法，它更具有一般性和一定的灵活性，但列写方程不如网孔法直观。,解法二：,3、与电阻并联的电流源，可做电源等效变换,2、选取独立回路，使理想电流源支路仅仅属于一个回路,该回路电流即 Is。,1、引入电流源电压，增加回路电流和电流源电流的关系方程。,从以上分析可以看出电流源的处理方法大致有；,例2 如图电路，用网孔法求电压u。,解：本例中含受控源(VCCS)，处理方法是：先将受控源看成独立电源。这样，该电路就有两个电流源，并且流经其上的回路电流均只有一个；故该电流源所在回路电流已知，就不

16、必再列它们的回路方程了。如图中所标回路电流，可知：i1=0.1u，i3=4 对网孔2列方程为 26i2 2 i1 20i3=12 上述一些方程中会出现受控源的控制变量u，用网孔电流表示该控制变量，有 u=20(i3 i2)解得 i2=3.6(A)，u=8(V)。,小结：对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看作独立电源按上述方法列方程，再将控制量用回路电流表示。,（2）受控源的处理方法,节点法是为了减少方程个数、简便手工计算过程的又一类改进方法。,1、节点法定义：以节点电压为未知变量列出并求解方程的方法称为节点法。,2、节点电压的概念,在电路中任意选择一个节点为参考节点，其余节点与参考节点之间

17、的电压，称为节点电压或节点电位，方向为从独立结点指向参考结点。即各节点电压的极性均以参考节点为“-”极。,2.3 节点法,选结点电压为未知量，则KVL自动满足，就无需列写KVL 方程。各支路电流、电压可视为结点电压的线性组合，求出结点电压后，便可方便地得到各支路电压、电流。,基本思想：,列写的方程：,结点电压法列写的是结点上的KCL方程，独立方程数为：,与支路电流法相比，方程数减少b-(n-1)个。,节点法是以结点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。适用于结点较少的电路。,如图所示电路，选节点4作参考点，其余各节点的电压分别记为u1、u2和u3。支路电压可用节点电压表示为：u12=u1-u

18、2，u23=u2-u3，u13=u1-u3，u14=u1，u24=u2，u34=u3，对电路的任意回路，如回路A，有 u13 u23 u12=u1-u3(u2-u3)(u1-u2)0所以，节点电压自动满足KVL方程。,节点电压的独立性和完备性。,如图电路,在节点1,2,3分别列出KCL方程：(设流出取正）i1+i2+iS2+i4 iS4=0 i3+i5 i2 iS2=0 i6+iS6 i1 i3=0利用OL各电阻上的电流可以用节点电压表示为 i1=G1(u1 u3)，i2=G2(u1 u2)，i3=G3(u2 u3),i4=G4 u1，i5=G5 u2，i6=G6 u3代入KCL方程，合并整理

19、后得,节点(1)(G1+G2+G4)u1 G2 u 2 G1 u 3=iS4 iS2,节点(2)G2 u1+(G2+G3+G5)u 2 G3 u 3=iS2,节点(3)G1 u1 G3 u 2+(G1+G3+G6)u 3=-iS6,G11,G22,G33,G12,G13,G21,G23,G31,G32,(IS)1,(IS)2,(IS)3,3、节点法方程的列写规律,将上述方程整理成标准形式：,可推广到n个节点的电路。,当电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。,4、节点法步骤归纳如下：,(1)选定参考结点，标定n-1个独立结点；,(2)对n-1个独立结点，以结点电压为未知量，列写其KCL方程；,(3

20、)求解上述方程，得到n-1个结点电压；,(5)其它分析。,(4)求各支路电流(用结点电压表示)；,例1、如图所示电路，设节点电位，试列电路的节点方程。,解:首先通过电源等效互换将电路等效。将电压源与电阻串联等效为电流源与电阻并联，进一步对电阻串并联等效。,对节点1，2列节点方程，有：,联立求解，可解出节点电压。,例2 求如图所示电路中负载电阻上吸收的功率。,5 电压源的处理方法,解一：设各节点电压为：,注意：1.电压源直接接在节点与 参考点之间，u1为已知；2.单位：电阻为，电流为 mA,电压为V,整体要统一。,例2 列出图示电路的节点电压方程。,小结：对有伴电压源将它等效电流源与电阻并联的形

21、式；对于无伴电压源，若其有一端接参考点，则另一端的节点电压已知，对此节点就不用列节点方程了；否则在电压源上假设一电流，并把它看成电流源。,解：设节点电压分别为u1、u2、u3。图中有三个电压源，其中电压源uS3有一电阻与其串联，称为有伴电压源，可将它转换为电流源与电阻并联的形式，如图。,另两个电压源uS1和uS2称为无伴电压源。uS1有一端接在参考点，故节点2的电压u2=uS1已知，因此，就不用对节点2列方程了。,对电压源uS2的处理办法是：先假设uS2上的电流为I，并把它看成是电流为I的电流源即可。列节点1和3的方程为,G1u1 G1u2=iS I(G2+G3)u3 G2u2=I+G3 u3

22、对uS2补一方程：u1 u3=uS2,例2 如图(a)电路，用节点法求电流i1和i2。,小结：对受控源首先将它看成独立电源；列方程后，对每个受控源再补一个方程将其控制量用节点电压表示。,设独立节点电压为ua和ub,则可列出节点方程组为(1+1)ua ub=9+1+2 i1(1+0.5)ub ua=2 i1再将控制量用节点电压表示,即 i1=9 ua/1解得:ua=8V,ub=4V,i1=1A i2=ub/2=2(A),解：本例中含受控源(CCCS)，处理方法是：先将受控源看成独立电源。将有伴电压源转换为电流源与电阻的并联形式,如图(b)所示。,6、受控源的处理方法,练习：列如图电路的节点方程（

23、电阻的单位均为欧姆）,问题：参考点如何设？,解：考虑到4V独立电压源，所以设c为参考点,其他节点电压设为,还可以设其他节点为参考点？如何设？相应节点方程怎么列？,两种方法都是重点要求掌握的方法，是通用的一般分析方法，适用于电路的全面求解。1.比较网孔和节点的数目，如若节点少适合用节点法；2.比较电压源和电流源的多少，如电压源多，可选择网孔（回路）法。,网孔法与节点法的比较,【解】该电路中含有VCVS，除列出独立回路的方程外，还必须补充相应的方程，补充方程的原则是：将控制变量用已选定的回路电流来表示。补充方程的个数等于受控源的个数。,方程为：,回路电流法常常应用在独立回路数较少、独立结点数相对较

24、多的电路中。,方程为：,【例2】：电路结构如图3-2，求控制变量U1。,【例3】：已知电路如图3-3。求：无伴电压源的电流及R4中的电流I0。,【解】：该电路中含有无伴电压源，不能用常规结点电压法列写标准结点电压方程，一般可增设无伴电压源的电流IX为独立变量，列出4个方程(或设结点1的电压等于48v，再列出2、3结点标准的结点电压方程)。,【例1】图例2-3（a）是含有CCCS的电路，用电源的等效变换法求i1,u3。,回到原电路求u3。,解：为求i1，可将电路化为单回路电路，但根据电路结构，电压源支路不能转换，成为图(b)。,【例2】求图2-5（a）电路的输入电阻。,解：为计算方便，利用电源等效转换，将CCCS转换为CCVS，如（b）。采用加压求流法计算输入电阻。在1、2之间加电压源u，则 u=2000i-500i=1500i 得出,