矩阵分析3ppt课件.ppt

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1、,矩 阵 分 析,东北大学信息科学与工程学院井元伟教授,二六年五月,第一章 线性空间与线性变换,第二章 内积空间,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,第四章 矩阵函数及其应用,第五章 特征值的估计与广义逆矩阵,第六章 非负矩阵,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,1 矩阵的相似对角形2 矩阵的约当标准形3 哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式4 多项式矩阵与史密斯标准形5 多项式矩阵的互质性与既约性6 有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解7 系统的传递函数矩阵*8 舒尔定理及矩阵的QR分解9 矩阵的奇异值分解,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,数字矩阵 多项式

2、矩阵 有理分式矩阵标准型分解形式：QR分解 奇异值分解导引性的讨论,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,1.矩阵的相似对角形,那么，A是否可以相似于对角矩阵？即,1.矩阵的相似对角形,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,1.矩阵的相似对角形,充要条件 n阶矩阵A能与对角矩阵相似的充要条 件，是A有n个线性无关的特征向量,充分条件 n阶矩阵A如果有n个不同的特征值，则A可与对角矩阵相似,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,1.矩阵的相似对角形,充分条件 n阶矩阵A如果有n个不同的特征值，则A可与对角矩阵相似方法 1）求矩阵A的特征值 2）求对应的特征向量 3）求变换矩阵（由特征向量构造）4）求变

3、换矩阵的逆矩阵 5）进行变换,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,1.矩阵的相似对角形,例,特征多项式 特征值,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,1.矩阵的相似对角形,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,1.矩阵的相似对角形,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,1.矩阵的相似对角形,对应的特征向量分别为,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,1.矩阵的相似对角形,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,2.矩阵的约当标准形,并非每个矩阵都可以相似于对角矩阵。当矩阵不能相似于对角阵的时候，能否找到一个比较简单的分块对角阵与它相似？,J称为约当矩阵,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,2.矩阵的约当标

4、准形,性质|表示整除,k阶行列式因子 的所有不为0的k阶子式的最大公因式，记为,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,2.矩阵的约当标准形,称为A的不变因子,不变因子,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,2.矩阵的约当标准形,初等因子 在不变因子中，次数大于1的在复数 范围内分解成一次式和一次式的乘幂 的形式，所有的一次式或者一次式的 乘幂的形式，放在一起叫做初等因子,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,2.矩阵的约当标准形,约当标准形,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,2.矩阵的约当标准形,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,3.哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式,哈密顿-开莱定理,代数多项

5、式,矩阵多项式,是A的特征多项式，则,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,3.哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式,应用 计算矩阵多项式,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,3.哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式,最小多项式 A的零化多项式次数最低的（首一化）记为m(A),A的最小多项式可被它的所有零化多项式整除,A的最小多项式唯一,性质,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,3.哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式,计算方法,应用 进一步简化矩阵多项式的计算,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,4.多项式矩阵与史密斯标准形,多项式矩阵,普通矩阵经初等变换，有,类推,可以吗？,第三章 矩阵的标准形与

6、若干分解形式,4.多项式矩阵与史密斯标准形,A的子式可能为（1）多项式（2）0（3）不为0常数 有关定义 秩 A的r阶子式不为0，而r1阶子式为0，r称A的秩 满秩 方阵A的行列式不为0 可逆 对方阵A，如有同阶多项式方阵B，使 AB=BA=E 可逆条件 方阵A的行列式为不为0的常数,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,4.多项式矩阵与史密斯标准形,复习 数值矩阵的初等行变换,k为任意常数,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,4.多项式矩阵与史密斯标准形,多项式矩阵的初等行变换,类似的，可以定义初等列变换,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,4.多项式矩阵与史密斯标准形,多项式矩阵A经过初等变

7、换变为B，则称A与B等价 记为,定理,史密斯标准形,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,4.多项式矩阵与史密斯标准形,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,4.多项式矩阵与史密斯标准形,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,4.多项式矩阵与史密斯标准形,性质,史密斯标准形中的 即是不变因子,两个矩阵等价，则它们具有相同的行列式因子，相同的不变因子，相同的初等因子,初等变换不改变矩阵的各阶行列式因子及秩,充要条件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,5.多项式矩阵的互质性与既约性,多项式的最大公因式,多项式矩阵情况,矩阵的左乘和右乘不同，分别加以定义,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,5.多项式矩

8、阵的互质性与既约性,最大右公因式 gcrd,个,初等行变换,求法,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,5.多项式矩阵的互质性与既约性,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,5.多项式矩阵的互质性与既约性,于是,可见gcrd不唯一,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,5.多项式矩阵的互质性与既约性,性质,不唯一,一个多项式矩阵的两个gcrd，一个满秩，另一个也满秩；一个可逆，另一个也可逆,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,5.多项式矩阵的互质性与既约性,右互质,两个多项式矩阵的gcrd可逆,质,标准形是,性质,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,5.多项式矩阵的互质性与既约性,最大左公因式 gc

9、ld,个,初等列变换,求法,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,5.多项式矩阵的互质性与既约性,左互质,两个多项式矩阵的gcld可逆,质,标准形是,性质,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,6.有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解,有理分式阵,可逆 对方阵A，如有同阶多项式方阵B，使 AB=BA=E可逆条件 方阵A的行列式为不为0,多项式,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,6.有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解,阵，则必有可逆的多项式矩阵,定理,史密斯-麦克米伦标准形,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,6.有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解,最小公倍式,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,6.有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解,例,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,6.有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,6.有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解,类似的，可定义右分解及右既约分解,一个有理分式阵必有左右分解及左右既约分解,定理,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,8.舒尔定理及矩阵的QR分解,QR分解定理,任意n阶复矩阵A，存在酉矩阵Q及上三角矩阵R，使得 A=QR,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,8.矩阵的奇异值分解,奇异值分解定理,存在酉阵,使得,其中,称为A的奇异值，而,称为矩阵A的奇异值分解,谢谢,Thank You!,