截长补短构造全等.docx

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1、全等三角形常见辅助线作法板块一、截长补短【例1】 已知NABC中，ZA = 60 , BD、CE分别平分ZABC和.ZACB, BD、CE交于点O，试判断BE、 CD、BC的数量关系，并加以证明.【解析】BE + CD = BC ,理由是：在BC上截取BF = BE，连结OF ,利用 SAS 证得 ABEO 罢 ABFO ,. Z1 = Z2 ,ZA = 60。，. ZBOC = 90+1ZA = 120 ,. ZDOE = 120 ,2.ZA + ZDOE = 180 ,. ZAEO + ZADO = 180 ,. Z1+ Z3 = 180 , Z2 + Z4 = 180 ,. Z1 = Z

2、2 ,. Z3 = Z4 ,利用 AAS 证得 ACDO 罢 ACFO ,. CD = CF ,. BC = BF + CF = BE + CD .【例2】如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点（点B除外），作ZDMN = 60。，射线MN 与/DBA外角的平分线交于点N, DM与MN有怎样的数量关系？【解析】猜测DM = MN .过点M作MG / BD交AD于点G , AG = AM ,. GD = MB 又 /ADM +ZDMA = 120 , /DMA + /NMB = 120/ADM = /NMB，而 /DGM = /MBN = 120 ,ADGM AMBN ,. DM

3、 = MN .【例3】 如图2-9所示.已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且/BAE=2如DAM.求 证：AE=BC+CE.- 图 29【解析】分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：（1）通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和（BC + CE ），再证所构造的线段与求 证中那一条线段相等.（2）通过添辅助线先在求证中长线段（AE）上截取与线段中的某一段（如BC）相等的线段，再证明截 剩的部分与线段中的另一段（CE ）相等.我们用（1）法来证明.证延长AB到F，使BF = CE，则由正方形性质知AF = AB + BF = BC + CE下面我们利用

4、全等三角形来证明AE = AF .为此，连接EF交边BC于G .由于对顶角 ZBGF = ZCGE，所以 RtABGF 至 ACGE （AAS）,从而 BG = GC = 1 BC , FG = EG，BG = DM2于是 RtAABG 至 RtAADM（SAS ），所以 ZBAG = ZDAM = Z1 BAE = ZEAG，AG 是 ZEAF 的平分线2过G引GH AE于H .因为AG是zEAF的平分线，所以GB=GH，从而RSGBF竺RSGHE（hL， 所以zF=zHEG，则AF=AE（底角相等的三角形是等腰三角形），即AE=BC+CE .说明 我们也可以按分析（2）的方法来证明结论，为

5、此可先作zBAE的平分线AG交边BC于G，再作 GH1AE于H，通过证明MBGAHG知AB=AH=BC .下面设法证明HE=CE即可，请同学们自证.【例4】（“希望杯”竞赛试题）如图，ADAB, CBAB,DM=CM= a , AD= h , CB= k ,如AMD=75,如BMC=45, 则AB的长为 （）A. aB. kC. D. h2【解析】过点D作BC的垂线，垂足为E.:zAMD=75,zBMC=45:.zDMC=60:DM=CM:.CD=DM:ADyAB , DE1BC , CB1AB ,zAMD=75：.zADM=zEDC：.ADM竺DE:AD=DE故ABED为正方形，AB=AD=

6、 h，选D.【例5】 已知：如图，ABCD是正方形,ZFAD=ZFAE.求证：BE+DF=AE.M B EDFC【解析】延长CB至M ,使得BM=DF，连接AM.:AB=AD，AD1CD，AB1BM，BM=DF.ABM* ADF：zAFD=zAMB，zDAF=zBAM.AB|CD:.zAFD=zBAF=zEAF+zBAE=zBAE+zBAM=zEAM：zAMB=zEAM：AE=EM=BE+BM=BE+DF.【例6】以AABC的AB、AC为边向三角形外作等边ABD、AACE，连结CD、BE相交于点O求证：OA 平分/DOE.【解析】因为AABD、AACE是等边三角形，所以AB = AD，AE =

7、 AC，/CAE = /BAD = 60则 ZBAE ZDAC，所以 ABAE 至 ADAC ,则有 ZABE = ZADC ， ZAEB ZACD ， BE = DC .在DC上截取DF = BO，连结AF，容易证得AADF至AABO , AACF至AAEO .进而由 AF = AO .得ZAFO = ZAOF ；由 ZAOE = ZAFO 可得 ZAOF = ZAOE，即 OA 平分 ZDOE .【例7】如图所示，AABC是边长为1的正三角形，ABDC是顶角为120。的等腰三角形，以D为顶点作一个 60。的ZMDN，点M、N分别在AB、AC上，求AAMN的周长.【解析】如图所示，延长AC到

8、E使CE = BM .在 ABDM 与 ACDE 中，因为 BD = CD，ZMBD = ZECD = 90，BM = CE， 所以 ABDM 至 ACDE，故 MD = ED .因为 ZBDC = 120 ，ZMDN = 60，所以 ZBDM + ZNDC = 60.又因为 ZBDM = ZCDE，所以 ZMDN = ZEDN = 60 .在 AMND 与 AEND 中，DN = DN，ZMDN = ZEDN = 60 ，DM = DE， 所以AMND至AEND，则NE = MN，所以AAMN的周长为2 .【例8】如图所示，AABC是边长为1的正三角形，ABDC是顶角为120。的等腰三角形，

9、以D为顶点作一个 60。的ZMDN，点M、N分别在AB、AC上，求AAMN的周长.ABCAABC【解析】如图所示，过D作DE交BC于E，使得BE = BM ；过D作DF交BC于F，使得CF = CN . 因为ZBDC = 120。，ABDC为等腰三角形，所以 ZDBC = 30 ,又因为NABC为正三角形，所以ZABC = 60。.注意到 ZDBC = ZMBD , BM = BE , BD = BD ,所以ADBE丝ADBM ,可知AM = CE .同理，NDCF ADCN , AN = BF .则有 DE = DM , DF = DN , /MDB = ZEDB , ZNDC = ZFDC

10、 . 又因为 ZMDN = 60 , ZBDC = 120 , 则 /MDB + ZNDC = 180 .而 /EDC = 120。-/EDB = 120。-/MDB , /BDF = 120-ZFDC = 120。-/NDC ,故 /EDC + /BDF = 240。-/MDB-/NDC = 60。，因此/FDE = 60。,则AFDE ANDM , MN = EF，进而可知AAMN的周长为1.另解：如图所示，在AB上取一点E，使得BE = AN .在ADAN和ADBE中，DA = DB，AN = BE， /DAN = /DBE，因此 ADAN ADBE，从而 DN = DE.在 ADMN

11、和 ADME 中，DN = DE，MD = MD，/MDN = 60 ，/MDE = 180 - (/DEM + /DME)=180 - (/EBD + /EDB)+ (/MAD + /MDA)=180 - (30。+ /EDB)+(30。+ /MDA)=120 -/EDB -/MDA=120 /EDB -(60 /NDA)=120 - /EDB -(60 - /EDB)= 60 .因此ADMN ADME，从而MN = ME，进而可知AAMN的周长为1 .【例9】五边形 ABCDE 中, AB=AE, BC+DE=CD,ZABC+ZAED=180,求证：AD 平分ZCDE【解析】延长DE至F

12、,使得EF=BC，连接AC.VABC+AED=180,AEF+AED=180zABC=zAEFVAB=AE , BC=EF：. ABC竺MEF.EF=BC , AC=AF.CD=DE+EF=DF.BC+DE=CD：. ADC ADF.zADC=zADF即AD平分zCDE.板块二、全等与角度【例10】如图，在AABC中，ABAC=60。, AD是ABAC的平分线，且AC=AB + BD，求ZABC的度数.A f 、 Ai Xi XB DCE【解析】如图所示，延长AB至E使BE = BD，连接ED、EC .由 AC = AB + BD 知 AE = AC ,而ABAC = 60，则AAEC为等边三

13、角形.注意到 AEAD = ACAD , AD = AD , AE = AC ,故 AAED 至 AACD .从而有 DE = DC , ADEC = ADCE ,故 ABED = ABDE = ADCE + ADEC = 2ADEC .所以 ADEC = ADCE = 20 , AABC = ABEC + ABCE = 60 + 20 = 80 .BDC【另解】在AC上取点E，使得AE = AB，则由题意可知CE = BD .在 AABD 和 AAED 中，AB = AE , ABAD = AEAD , AD = AD ,则 AABD 丝 AAED，从而 BD = DE ,进而有 DE =

14、CE , AECD = AEDC ,AAED = AECD + AEDC = 2AECD.注意到AABD = AAED，则：13ZABC + ZACB = ZABC + ZABC -ZABC = 180 ABAC = 120 , 22故 ZABC = 80。.【例11】在等腰AABC中，AB = AC，顶角AA = 20。，在边AB上取点D，使AD = BC，求ABDC.B CB C【解析】以AC为边向AABC外作正AACE，连接DE .在 AABC 和 AEAD 中，AD = BC , AB = EA , ZEAD = ZBAC + ZCAE = 20 + 60 二 80 = AABC ,

15、则 AABC # AEAD.由此可得ED = EA = EC，所以AEDC是等腰三角形.由于 AAED = ABAC = 20，则 ACED = AAEC AAED = 60 - 20 = 40，从而 ADCE = 70，ADCA = ADCE AACE = 70 60 = 10，则 ABDC = ADAC + ADCA = 20 +10 = 30.【另解1】以AD为边在AABC外作等边三角形AADE，连接EC .在 AACB 和 ACAE 中，ACAE = 60。+ 20 = AACB，AE = AD = CB，AC = CA， 因此AACB四ACAE，从而 ACAB = AACE，CE =

16、 AB = AC .在 ACAD 和 ACED 中，AD = ED，CE = CA，CD = CD，故 ACAD g ACED，从而 AACD = AECD，ACAB = AACE = 2AACD，故 AACD = 10。，因此ABDC = 30。.B【另解2】如图所示，以BC为边向NABC内部作等边NBCN，连接NA、ND .在 XCDA 和 AANC 中，CN = BC = AD , ACAD = 20 ,AACN = ZACB -Z BCN = 80 - 60 二 20，故 ZCAD = ZACN，而AC = CA，进而有ACDA四AANC .则 ZACD = ZCAN = 10，故 Z

17、BDC = ZDAC + ZDCA = 30 .【点评】上述三种解法均是向三边作正三角形，然后再由三角形全等得到边长、角度之间的关系【例12】如图所示，在AABC中，AC = BC , ZC = 20。，又M在AC上，N在BC上，且满足ZBAN = 50。, ZABM = 60。，求 ZNMB.【解析】过M作AB的平行线交BC于K，连接KA交MB于P .连接PN，易知AAPB、AMKP均为正三角形.因为 ZBAN = 50。，AC = BC，ZC = 20。，所以 ZANB = 50。，BN = AB = BP，ZBPN = ZBNP = 80。，则 ZPKN = 40。，ZKPN = 180

18、。- 60。- 80。= 40。，故 PN = KN .从而 AMPN # AMKN.进而有 ZPMN = ZKMN，ZNMB =1ZKMP = 30。.2【另解】如图所示，在AC上取点D，使得ZABD = 20。由 ZC = 20。、AC = BC 可知 ABAC = 80。.而 ZABD = 20。，故 ZADB = 80。， BA = BD .在 AABN 中，ZBAN = 50。，ZABN = 80。，故ZANB = 50。，从而BA = BN，进而可得BN = BD .而 ADBN = ZABC - ZABD = 80。- 20。= 60。，所以ABDN为等边三角形.在 AABM 中

19、，ZAMB = 180-ZABM -ZBAM = 180。-80。-60。= 40。，ADBM = ZADB - ZAMB = 80。- 40。= 40。，故 ZDMB = ZDBM，从而 DM = DB.我们已经得到DM = DN = DB，故D是ABMN的外心， 从而 ANMB =1ANDB = 30。.2【例13】在四边形 ABCD 中，已知 AB = AC , ZABD = 60。，ZADB = 76。，ABDC = 28。，求 ZDBC 的度数.B【解析】如图所示，延长BD至E，使DE = DC，由已知可得：ZADE = 180。-ZADB = 180。-76。= 104。，ZADC

20、 = ZADB + ZBDC = 76。+ 28。= 104。， 故 ZADE = ZADC.又因为 AD = AD，DE = DC，故 AADE 至 AADC，因此 AE = AC，ZE = ZACD，ZEAD = ZCAD .又因为AB = AC，故 AE = AB，ZABC = ZACB .而已知ZABD = 60。，所以AABE为等边三角形.于是 ZACD = ZE = ZEAB = 60。，故ZCAD = 180。-ZADC-ZACD = 16。，则 ZCAB = ZEAB - ZCAD - ZEAD = 28。，从而 ZABC = 1(180P-ZCAB) = 76。，2所以 ZD

21、BC = ZABC -Z ABD = 16。.【例 14】如图所示，在四边形 ABCD 中，ZDAC = 12。，ZCAB = 36。，ZABD = 48。，ZDBC = 24。，求ZACD 的度数.PAB【解析】仔细观察，发现已知角的度数都是12。的倍数，这使我们想到构造60。角，从而利用正三角形.在四边形ABCD外取一点P，使ZPAD = 12。且AP = AC，连接PB、PD.在 ADP 和 AADC 中，ZPAD = ZCAD = 12。，AP = AC，AD = AD， 故 AADP 至 AADC.从而 ZAPD = ZACD.在 AABC 中，ZCAB = 36。，ZABC = 7

22、2。， 故 ZACB = 72。，AC = AB，从而AP = AB.而 ZPAB = ZPAD + ZDAC + ZCAB = 12。+12。+ 36。= 60。，故 APAB 是正三角形，ZAPB = 60。，PA = PB .在 ADAB 中，ZDAB = ZDAC + ZCAB = 12。+ 36。= 48。=ZDBA， 故 DA = DB .在 APDA 和 APDB 中，PA = PB，PD = PD，DA = DB，故 APDA 至 APDB，从而 ZAPD = ZBPD = 1 ZAPB = 30。，2则 ZACD = 30。.【例15】（河南省数学竞赛试题）在正AABC内取一

23、点D ,使DA = DB ,在AABC外取一点E ,使 ZDBE = ZDBC，且 BE = BA，求 ZBED.ABC【解析】如图所示，连接DC .因为AD = BD , AC = BC , CD = CD ,则 AADC 至 ABDC，故 ZBCD = 30.而 ZDBE = ZDBC，BE = AB = BC，BD = BD， 因此ABDE至通DC，故 ABED = /BCD = 30 .【例16】（北京市数学竞赛试题）如图所示，在AABC中，ABAC = ABCA = 44。, M为AABC内一点，使得 AMCA = 30。，AMAC = 16。，求 ABMC 的度数.【解析】在 AA

24、BC 中，由 ABAC = ABCA = 44。可得 AB = AC，AABC = 92。. 如图所示，作BD AC于D点，延长CM交BD于O点，连接OA， 则有 AOAC = AMCA = 30。，ABAO = ABAC - AOAC = 44。一 30。= 14。，AOAM = AOAC -AMAC = 30。-16。= 14。， 所以 ABAO = AMAO .又因为 AAOD = 90。- AOAD = 90。- 30。= 60。= ACOD， 所以 A AOM = 120 = A AOB - ABOM = 1200 而 AO = AO，因此 AABO 至 AAMO， 故 OB = O

25、M .由于 ABOM = 120，贝AOMB = AOBM = 180O-ABOM = 30。，2故 ABMC = 180- AOMB = 150.巩固】如图所示，在AABC中，已知ABAC = 80 , ZABC = 60 , D为三角形内一点，且/D43 = 10。, /DBA =20。，求 ZACQ 的度数.【解析】如图所示，延长位）交AC于E，则ZAEB = 80 = ZBAE , AB = BE.在8C上截取BF = BA，连接H4，则为等边三角形.在AC上截取AGAB，连接G8、GD、GF ,由边角边公理知AAFG ABAE .在 中，因 BE = BF , ZEBF = 40 ,则 ZBEF = 70。，易得 ZFEG = 30。= ZADE.由角边角公理知AFEG MDE ,于是EG = DE.注意到 ZEBC = 40 = ZECB ,故 EC = EB .又由边角边公理知AEQCMAEG8 ,从而 ZECD = ZEBG .在 AABG 中,因 ABAG , ZBAG = 80 ,则 ZABG = 50 ,从而 ZEBG = 30。,故 ZACD = 30。.