线性代数总复习.ppt

《线性代数总复习.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数总复习.ppt（52页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、行列式考试内容：行列式的概念和基本性质 行列式按行(列)展开定理考试要求1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质.2.会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式.矩阵考试要求1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质.2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵

2、的逆矩阵和秩的方法.5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则.,考研数学大纲,向量考试要求1.了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则.2.理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法.3.理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩.4.理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系.5.了解内积的概念.掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法.,线性方程组考试要求1.会用克莱姆法则解线性方程组.2.掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法.3.理解齐次线性方程

3、组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法.4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念.5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法.矩阵的特征值和特征向量考试要求1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法.2.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法.3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质,二次型考试要求1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念.2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用

4、正交变换和配方法化二次型为标准形.3.理解正定二次型.正定矩阵的概念，并掌握其判别法.,线性代数解题的八种思维定势第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E。第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。第三句话：若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。第四句话：若要证明一组向量1,2,s线性无关，先考虑用定义再说。第五句话：若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式

5、为零再说。第七句话：若已知A的特征向量a，则先用定义Aa=a处理一下再说。第八句话：若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。,解：首先观察,由此推测,一.初等变换和初等变换法1.矩阵初等变换的应用矩阵的初等变换应用在两个方面:(1)线性方程组的解的情况讨论和求解.对增广矩阵作初等行变换反映了方程组的同解变换.(2)计算矩阵和向量组的秩.,初等行变换和初等列变换都保持矩阵的秩.在(1)中,只可用行变换,决不可用列变换.在(2)中两类变换都可以用,表示可交替使用.每一种应用都要用到一种基本运算:用初等(行)变换把一个矩阵化为阶梯形矩阵或简单阶梯形矩阵.每个矩阵都可用初等行变换

6、化为阶梯形矩阵,每个阶梯形矩阵都可用初等行变换化为最简型.可逆矩阵可以用初等行变换化为单位矩阵.,2.秩的计算有关结论:(1)矩阵的秩等于它的行(列)向量组的秩.(2)初等(行,列)变换不改变矩阵的秩.(3)阶梯形矩阵的秩就是它的非零行的个数.,由此得到计算方法如下:矩阵A的秩r(A):用初等变换把A化为阶梯形矩阵,其非零行数就是r(A).向量组a1,a2,as的秩r(a1,a2,as):作矩阵A=(a1,a2,as),用初等变换把A化为阶梯形矩阵,其非零行数就是r(a1,a2,as).,例：已知,二.矩阵乘法1.两个规律,设A是mn矩阵B是ns矩阵.A的列向量组为a1,a2,an,B的列向量

7、组为b1,b2,bs,AB的列向量组为g1,g2,gs,则根据矩阵乘法的定义容易看出(也是分块法则的特殊情形):AB的每个列向量为:gi=Abi,i=1,2,s.即A(b1,b2,bs)=(Ab1,Ab2,Abs).若b=(b1,b2,bn)T,则Ab=b1a1+b2a2+bnan.,2.乘积矩阵的列向量 乘积矩阵AB的第i个列向量gi是A的列向量组a1,a2,an的线性组合,组合的系数就是B的第i个列向量bi的各分量.3.矩阵分解:当一个矩阵C的每个列向量都是另一个A的列向量组的线性组合时,可以构造一个矩阵B,使得C=AB.,4.乘积矩阵的行向量乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性

8、组合,组合系数就是A的第i个行向量的各分量.,对角矩阵在矩阵乘法中的作用:如果一个对角矩阵在矩阵乘法中处于右侧,等同于用它对角线上各数依次乘左边矩阵的各列向量;如果对角矩阵处于左侧,等同于用它对角线上各数依次乘右边矩阵的各行向量.初等矩阵在矩阵乘法中的作用:初等矩阵在右(左)边乘一个矩阵A,等同于对A作一次相应的初等列(行)变换.,三.可逆矩阵的充分必要条件n阶矩阵A可逆A的行列式|A|0 r(A)=n AX=0只有零解(AX=b有唯一解)0不是A的特征值.A-cE可逆c不是A的特征值.,例1：设,例2：设3阶矩阵,一向量组的线性关系,秩本部分的特点是概念性强,抽象,因此是最难的部分,但又是全

9、课程的理论基础,理论制高点,也是考试的重点之所在.基本概念有:线性表示,线性相关性,向量组的极大无关组和秩,矩阵的秩.秩是起到关键性作用的量,它既有用,又好算,应该充分注意它的应用.1.线性表示(1)向量b可用a1,a2,as 线性表示(记作ba1,a2,as),即n维向量b是a1,a2,as的一个线性组合.其重要性在于和线性方程组有没有解的关系:“b是否可以用a1,a2,as线性表示?表示方式是否唯一？”也就是“线性方程组AX=b是否有解？解是否唯一？”其中A=(a1,a2,as).(2)b1,b2,bt可以用a1,a2,as线性表示(记作b1,b2,bta1,a2,as),即每个bi 都可

10、以用a1,a2,as线性表示.(3)向量组a1,a2,as 和b1,b2,bt等价,即它们互相都可以表示,记作a1,a2,as b1,b2,bt.,线性表示的判断:(1)b可用a1,a2,as 线性表示r(a1,a2,as,b)=r(a1,a2,as).(事实上若b不可用a1,a2,as 线性表示,则r(a1,a2,as,b)=r(a1,a2,as)+1.)(2)b1,b2,bt可以用a1,a2,as 线性表示 r(a1,a2,as,b1,b2,bt)=r(a1,a2,as).从而有 r(b1,b2,bt)r(a1,a2,as).(3)a1,a2,as和b1,b2,bt等价 r(a1,a2,a

11、s)=r(a1,a2,as,b1,b2,bt)=r(b1,b2,bt).,2.向量组的线性相关性(1)定义和意义定义 设a1,a2,as 是n维向量组,如果存在不全为0的一组数c1,c2,cs使得 c1a1+c2a2+csas=0,则说a1,a2,as 线性相关,否则(即要使得c1a1+c2a2+csas=0,必须c1,c2,cs全为0)就说它们线性无关.和齐次线性方程组的关系“a1,a2,as 线性相关还是无关”也就是“向量方程x1a1+x2a2+xsas=0有没有非零解”,也就是齐次线性方程组AX=0有没有非零解.意义 在s1时,线性无关就是每个 aI都不能用其它向量线性表示;线性相关就是

12、有向量(不必每个)可以用其它向量线性表示.,(2)线性相关性的判别:当向量的个数s大于维数n时,a1,a2,as 一定线性相关.如果向量的个数s等于维数n,则 a1,a2,an线性相关|a1,a2,an|=0.线性无关向量组的每个部分组都无关.如果a1,a2,as 线性无关,则a1,a2,as,b线性无关b不能用a1,a2,as 线性表示.如果b1,b2,bt可以用a1,a2,as 线性表示，并且ts,则b1,b2,bt线性相关.a1,a2,as 线性无关 r(a1,a2,as)=s.有时还要用定义,例如要证明a1,a2,as 线性无关,就要说明从c1a1+c2a2+csas=0可推出c1,c

13、2,cs全为0.,3.向量组的极大无关组和秩秩是向量组内在线性性质的定量研究.它是刻画向量组相关“程度”的一个数量概念.它表明向量组可以有多大(指包含向量的个数)的线性无关的部分组.定义 设a1,a2,as 是n维向量组,(I)是它的一个部分组.如果(I)线性无关.(I)再扩大就线性相关.就称(I)为a1,a2,as 的一个极大无关组.极大无关组中所包含向量的个数称为a1,a2,as 的秩,记作r(a1,a2,as).如果a1,a2,as 全是零向量(此时极大无关组不存在),则规定r(a1,a2,as)=0.于是,0r(a1,a2,as)个数s,维数n.,二.线性方程组解 线性方程组是课程的最主要部分,是考试的最大重点,但是考点很集中(解的情况的判别和通解的计算),有关的结论又十分明确。1.线性方程组解的情况的判别,