空间向量的数乘运算.ppt

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1、复习,上一节课,我们借助“类比思想”把平面向量的有关概念及加减运算扩展到了空间.,认真回顾已学知识,(1)加法法则及减法法则 平行四边形法则或三角形法则.(2)运算律 加法交换律及结合律.,两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的.,因为：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量.因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.我们知道平面向量还有数乘运算及相应的运算律.借助类比思想,同样可以定义空间向量的数乘运算及相应的运算律,3.1.2空间向量的数乘运算,知识目标,正确理解共线、方向向量等基本概念；初步掌握数乘运算，理解运算律；熟练

2、掌握共线向量基本定理、推论及应用.,能力目标,经历知识形成探索过程，体验“类比”思想，并逐步学会“分析、归纳、抽象、概括等思维方法.,情感目标,1.通过自主探究与合作交流，不断体验“成功”，激发学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位；2.通过类比思想和方法的应用，感受和体会数学思想的魅力，培养学“做数学”的习惯和热情.,重点,难点,共线向量概念、基本定理及推论,共线概念的正确理解及较复杂的三点共线判定.,知识要点,1.空间向量数乘运算的定义 与平面向量一样，实数与空间向量a的乘积a 仍然是一个向量，称为向量的数乘（multiplication of vetor by salar）运算.,（1

3、）结果仍然是一个向量;（2）方向:当0时，a与a方向相同;当0时，a与a方向相反;当=0时，a是零向量0;（3）大小:a的长度是a长度的|倍.,2.数乘运算的运算律,显然，空间向量的数乘运算满足分配律及结合律,知识要点,（1）a与a之间是什么关系？（2）a与a所在直线之间的关系？,思考！,对于空间向量的数乘运算的运算律的证明，方法与证明平面向量数乘运算的运算律类似.,3.共线向量（或平行向量）的定义 表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则称这些向量叫共线向量（colliner vectors）或平行向量（parallel vectors）记作,知识要点,（1）向量平行与直线平行的比较

4、;（2）关注零向量;（3）对空间任意两个向量a与b,如果,那么a与b有什么相等关系?反过来呢?,思考！,零向量与任何向量平行,（1）当我们说a，b共线时，表示a，b的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行线;（2）当我们说 a/b时，也具有同样的意义.,知识要点,4.共线向量基本定理 对于空间任意两个向量a,b(b0)，a/b的充要条件是存在实数，使 a=b,（1）b0的理解.若b=0，则a任意，不唯一;（2）若a/b，b/c，则a一定平行于c吗？（不一定，考虑中间向量为零向量）,5.共线向量基本定理的推论 如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对于空间任意一点像O，

5、点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使,OP=OA+ta.(1),其中向量a叫做直线l的方向向量（direction vector）在l上取AB=a，则(1)式可化为,说明:(1),(2)都叫做空间直线的向量参数表示式.由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.,6.共面向量定义 平行于同一平面的向量，叫做共面向量（coplanar vectors）.空间任意两个向量总是共面的，但空间任意三个向量既可能是共面的，也可能是不共面的.,知识要点,7.共面向量的定理 如果两个向量a、b不共线，则向量 p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x、y），使 p=x a+y

6、b,8.共面向量的定理的推论 空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x、y，使 MP=xMA+yMB 或对空间任一定点O，有 OP=OM+xMA+yMB.,M,对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，试问满足向量关系式（其中x+y+z=1）的四点P、A、B、C是否共面？,探究,原式可以变形为,解答,所以，点P与点A，B，C共面.,如下图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD，在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使,例题,求证：四点E、F、G、H共面.,分析:欲证E，F，G，H四点共面，只需证明EH，EF，EG共面.下面我们利用AD，AB

7、，AC共面来证明.,证明:因为 所以 OE=kOA，OF=kOB，OG=kOC，OH=kOD.由于四边形ABCD是平行四边形，所以 AC=AB+AD.,解答,由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面.,因此,1.空间向量的数乘运算.2.空间向量的数乘运算的运算律.满足分配律及结合律.3.共线向量与共面向量,共面,B,解析:,点C在AB上，且AOC=30设A点坐标为(1，0)，B点的坐标为(0，)C点的坐标为(x，y)=(，),则,1.选择（1）若对任一点O和不共线的三A,B,C,且有 则x+y+z=1是四点P、A、B、C共面的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既

8、不充分也不必要条件,C,（2）对于空间任意一点O，下列命题正确的是（）.A.若，则P、A、B共线 B.若，则P是AB的中点 C.若，则P、A、B不共线 D.若，则P、A、B共线,A,（3）下列命题正确的是（）A.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 B.向量a，b，c共面就是它们所在的直线共面 C.零向量没有确定的方向 D.若a/b，则存在唯一的实数使得a=b,C,A.中向量b为零向量时要注意，B.中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，D.中需保证b不为零向量.答案C.点评：零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处.像零向量与任何向量共线等性质，要兼顾.,解答,2.解答题 已知：且m，n，p不共面.若ab,求x，y的值.,空间向量在运算时，注意到如何利用空间向量共线定理.,点评,解答,a/b,且a 0，b=a，即又m，n，p不共面，,1.（1）AD;（2）AG;（3）MG2.（2）x=1;（2）x=y=1/2;（3）x=y=1/2;3.,