离散数学7-1图概念7-2路与回路.ppt

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1、1,离 散 数 学Discrete Mathematics,山东科技大学信息科学与工程学院,第七章 图论,图论是近年来发展迅速而又应用广泛的一门学科。本章主要讲授图论的基本概念和定理。图论：数据结构、操作系统、编译原理、计算机网络原理的基础要求：熟练掌握图的基本概念和定理并能够进行简单应用。,7-1 图的基本概念,本节要熟悉下列概念（26个）：,图、,无向边、,有向边、,起始结点、,终止结点、,无向图、,有向图、,混合图、,邻接点、,邻接边、,孤立结点、,零图、,平凡图、,结点的度数、,图的最大度、最小度、,结点的入度、,结点的出度、,平行边、,简单图、,完全图、,补图、,子图、,生成子图、,

2、子图的相对于图的补图、,图的同构,多重图、,图的定义点的度数特殊的图图同构,7-1 图的基本概念,一、图的定义,定义7-1.1 图（graph）G由一个三元组表示，其中：非空集合V(G)=v1,v2,vr 称为图G的结点集，其成员vi(i=1,2,r)称为结点或顶点（nodes or vertices）；集合 E(G)=e1,e2,es 称为图G的边集，其成员ej(j=1,2,s)称为边(edges)。函数G：E(G)(V(G),V(G)，称为边与顶点的关联映射（associatve mapping）,例1：G=其中V(G)=a，b，c，d，E(G)=e1，e2，e3，e4，e5，e6，G(e

3、1)=(a，b)，G(e2)=(a，c)，G(e3)=(b，d)，G(e4)=(b，c)，G(e5)=(d，c)，G(e6)=(a，d),若把图中的边ej看作总是和两个结点关联，那么一个图亦简记为G=，其中非空集合V称为图G的结点集，集合 E称为图G的边集。若边ej与结点无序偶(vj,vk)关联，那么称该边为无向边。若边ej与结点序偶关联，那么称该边为有向边。,例2：G=其中V(G)=a，b，c，d，E(G)=e1，e2，e3，e4，e5，e6，G(e1)=(a，b)，G(e2)=(a，c)，G(e3)=(b，d)，G(e4)=(b，c)，G(e5)=(d，c)，G(e6)=(a，d),一个图

4、与结点、连接结点的边、边与结点的关联有关。,2、有向边&无向边无向边：如果E中边ei对应V中的结点对是无序的(u，v)称ei是无向边，记ei=(u，v)，称u，v是ei的两个端点。有向边：如果ei与结点有序对相对应，称ei是有向边，记ei=，称u为ei的始点，v为ei的终点。,3、图的分类：无向图：每条边均为无向边的图称为无向图。有向图：每条边均为有向边的图称为有向图。混合图：有些边是无向边，有些边是有向边的图称为混合图。,1、G1=是无向图，其中V1=V1，V2，V3，V4，V5，V6，E1=e1，e2，e3，e4，e5，e6，e1=(V1，V3)，e2=(V1，V4)，e2=(V2，V4)

5、，e3=(V3，V4)，e4=(V3，V6)，e5=(V4，V5)，e6=(V5，V6),3、G3=是混合图，V3=V1，V2，V3，V4，E3=，(V1，V3)，(V4，V2),2、G2=是有向图，其中V2=V1，V2，V3，V4，E=，,练习：画出下面的图。,4、点和边的关联：如ei=(u，v)或ei=称u，v与ei关联。,5、点与点的相邻：关联于同一条边的结点称为邻接点。,6、边与边的邻接：关联于同一结点的边称为邻接边。,7、孤立结点：不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点。,8、零图：仅有孤立结点的图。,9、平凡图：仅有一个孤立结点的图。,10、自回路(环)：关联于同一结点的边称为自回路

6、，或称为环。,11、平行边：在有向图中，始点和终点均相同的边称为平行边，无向图中若两点间有多条边，称这些边为平行边，两点间平行边的条数称为边的重数。,图的定义点的度数特殊的图图同构,7-1 图的基本概念,二、点的度数1、点的度数的定义定义7-1.2：在图G=，vV，与结点v关联的边数称为该点的度数，记为deg(v)。孤立结点的度数为0。,2、出度与入度定义7-1.3：在有向图中，vV，以v为始点的边数称为该结点的出度，记作deg+(v);以v为终点的边数称为该结点的入度，记作deg-(v)。显然有deg(v)=deg+(v)+deg-(v),如：G1是无向图，deg(v1)=3，deg(v2)

7、=1G2是有向图，deg+(v1)=3，deg-(v1)=2，deg(v1)=5，,3、最大度和最小度：图G最大度记为(G)=maxdeg(v)|vV(G)，最小度数记为(G)=mindeg(v)|vV(G)。,4、定理7-1.1：每个图中，结点度数总和等于边数的两倍。即 deg(v)=2|E|vV 该定理又称握手定理,证明 因为每条边必关联两个结点，而一条边给予关联的每个结点的度数为1。因此在每个图中，结点度数总和等于边数的两倍。,5、定理7-1.2 在任何图中,度数为奇数的结点必定是偶数个。,证明：设G中奇数度结点集合为V1,偶数度结点集合为V2，则有：deg(v)+deg(v)=deg(

8、v)=2|E|vV1 vV2 vV由于 deg(v)是偶数之和必为偶数，而2|E|是偶数，vV2故得 deg(v)是偶数，而各个deg(vi)(viV1)是奇数，vV1这就要求偶数个deg(vi)求和，即|V1|是偶数。,6、定理7-1.3：在任何有向图中，所有结点的入度之和等于所有结点的出度之和，且均等于边数。,证明 因为每一条有向边必对应一个入度和一个出度，若一个结点具有一个入度或出度，则必关联一条有向边，所以有向图中，各结点入度之和等于边数，各结点出度之和也等于边数。因此，在任何有向图中，所有结点的入度之和等于所有结点的出度之和。,图的定义点的度数特殊的图图同构,7-1 图的基本概念,三

9、、特殊的图1、多重图定义7-1.4：含有平行边的图称为多重图。,2、简单图：不含平行边和环的图称为简单图。,3、完全图定义7-1.5：简单图G=中，若每一对结点间均有边相连，则称该图为完全图。有n个结点的无向完全图记为Kn。,无向完全图：每一条边都是无向边 不含有平行边和环 每一对结点间都有边相连,如果在Kn中，对每一条边任意确定一个方向，则称该图为n个结点的有向完全图。显然它的边数为n(n-1)/2。,定理7-1.4 在任何图中,n个结点的无向完全图Kn的边数为n(n-1)/2。,证明：n个结点中任取两个结点的组合数为 Cn2=n(n-1)/2故的边数为|E|=n(n-1)/2,5、相对于完

10、全图的补图定义7-1.6：给定一个简单图G，由G中所有结点和所有能使G成为完全图的添加边组成的图，称为G的相对于完全图的补图，或简称为G的补图，记为G。即G=，G=，其中E2=(u，v)u，vV，(u，v)E1。,6、子图定义7-1.7：设图G=，如果有图G=，且EE，VV，则称G为G的子图。当V=V时，则称G为G的生成子图。,例如，下图，图(b)的G和图(c)的G 都是图(a)的K5的子图。,7、相对于图G的补图定义7-1.8：设G=是G=的子图，若给定另一个图G”=使得E”=E-E，且V”中仅包含E”的边所关联的结点，则称G”是子图G相对于图G的补图。,例如，上图(b)的G是图(c)的G

11、相对于图(a)的K5的补图。,图的定义点的度数特殊的图图同构,7-1 图的基本概念,四、同构定义7-1.9：设图G=及图G=，如果存在一一对应的映射g：VV且e=(vi，vj)(或)是G的一条边，当且仅当e=(g(vi)，g(vj)(或)是G的一条边，则称G与G同构，记作G G。,两图同构的一些必要条件：1.结点数目相同；2.边数相等；3.度数相同的结点数目相等。,以上几个条件不是两个图同构的充分条件。见279页图7-1.10同构必须是结点和边分别存在一一对应。,28,作业,279页:(5)（6）,7-2 路与回路,在现实世界中，常常要考虑这样的问题：如何从一个图中的给定结点出发，沿着一些边连

12、续移动而达到另一指定结点，这种依次由点和边组成的序列，就形成了路的概念。,学习本节要熟悉如下术语(22个)：,路、,路的长度、,迹、,回路、,通路、,圈、,连通、,连通分支、,点割集、,连通图、,割点、,点连通度、,边割集、,边连通度、,割边、,可达、,单侧连通、,强连通、,强分图、,弱连通、,弱分图、,单侧分图,掌握5个定理，一个推论。,路无向图的连通性有向图的连通性,7-2 路与回路,一、路,定义7-2.1 给定图G=,设 v0,v1,vnV，e1,enE,其中ei是关联于结点vi-1,vi的边，交替序列v0e1v1e2envn称为结点v0到vn的路（path）。v0和vn分别称为路的起点

13、和终点，边的数目n称作路的长度。当v0=vn时，这条路称作回路。若一条路中所有的边e1,en均不相同,称作迹。若一条路中所有的结点v0,v1,vn均不相同,称作通路。闭的通路,即除v0=vn之外,其余结点均不相同的路,称作圈。,例如路：v1e2v3e3v2e3v3e4v2e6v5e7v3迹：v5e8v4e5v2e6v5e7v3e4v2通路：v4e8v5e6v2e1v1e2v3圈：v2e1v1e2v3e7v5e6v2,在简单图中一条路v0e1v1e2envn，由它的结点序列v0，v1，vn确定，所以简单图的路，可由其结点序列表示。在有向图中，结点数大于1的一条路亦可由边序列e1e2en表示。,定

14、理7-2.1 在一个具有n个结点的图中，如果从结点vj到结点vk存在一条路，则从结点vj到结点vk必存在一条不多于n-1条边的路。,证明思路：多于n-1条边的路中必有重复出现的结点，反复删去夹在两个重复结点之间的边之后，剩余的边数不会超过n-1条边。,定理7-2.1的证明 如果从结点vj到vk存在一条路，该路上的结点序列是vjvivk，如果在这条中有l条边，则序列中必有 l+1个结点，若ln-1，则必有结点vs，它在序列中不止出现一次，即必有结点序列vjvsvsvk，在路中去掉从vs到vs的这些边，仍是vj到vk的一条路，但此路比原来的路边数要少，如此重复进行下去，必可得到一条从vj到vk的不

15、多于n-1条边的路。,定理7-2.1 在一个具有n个结点的图中，如果从结点vj到结点vk存在一条路，则从结点vj到结点vk必存在一条不多于n-1条边的路。,推论 在一个具有n个结点的图中，如果从结点vj到结点vk存在一条路，则从结点vj到结点vk必存在一条边数小于n的通路。,如在图7-2.1中有5个结点。v1到v3的一条路为：v1e2v3e3v2e3v3e4v2e6v5e7v3此路中有6条边，去掉e3有路v1e2v3e4v2e6v5e7v3有4条边。v1到v3最短的路为v1e2v3,路无向图的连通性有向图的连通性,7-2 路与回路,二、无向图的连通性：1、连通,定义7-2.2 在无向图G中，如

16、果从结点u和结点v之间若存在一条路，则称结点u和结点v是连通的（connected）。,结点之间的连通性是结点集V上的等价关系，对应该等价关系，必可将作出一个划分，把V分成非空子集V1,V2,Vm,使得两个结点vj和vk是连通的，当且仅当它们属于同一个Vi。把子图G(V1),G(V2),G(Vm)称为图G的连通分支（connected components）,图G的连通分支数记为W(G)。,41,2、连通图 定义7-2.3：若图G只有一个连通分支，则称G是连通图。显然在连通图中，任意两个结点之间必是连通的。,对于连通图，常常由于删除了图中的点或边，而影响了图的连通性。删除结点：所谓在图中删除结

17、点v，即是把v以及与v关联的边都删除。删除边：所谓在图中删除某条边，即是把该边删除。,3、割点定义7-2.4 设无向图G=是连通图,若有结点集V1V,使图G中删除了V1的所有结点后,所得到的子图是不连通图,而删除了V1的任何真子集后,所得到的子图仍是连通图,则称V1是G的一个点割集(cut-set of nodes)。若某一个点构成一个点割集，则称该点为割点。,点连通度：是为了产生一个不连通图需要删去的点的最少数目，也称为连通度，记为k(G)。即k(G)=min|V1|V1是G的点割集 称为图G的点连通度(1)若G是平凡图，则V1=，k(G)=0(2)k(Kn)=n-1(3)若图存在割点，则k

18、(G)=1(4)规定非连通图的连通度k(G)=0,4、割边 定义7-2.5 设无向图G=是连通图,若有边集E1E，使图 G中删除了E1的所有边后，所得到的子图是不连通图，而删除了E1的任何真子集后，所得到的子图仍是连通图，则称E1是G的一个边割集(cut-set of edges)。若某一条边就构成一个边割集，则称该边为割边或桥。割边e使图G满足W(G-e)W(G)。,边连通度(edge-connectivity)(G)定义：非平凡图的边连通度为(G)=min|E1|E1是G的边割集 边连通度(G)是为了产生一个不连通图需要删去的边的最少数目。(1)若G是平凡图则E1=，(G)=0(2)若G存

19、在割边，则(G)=1，(3)规定非连通图的边连通度为(G)=0,5、定理7-2.2 对于任何一个图G,有k(G)(G)(G)。,在7-2.2节定义了图的最小度：(G)=min(deg(v)，vV)下面的定理给出了点连通度k(G)、边连通度(G)和图的最小度(G)之间的关系。,282页图7-2.3(a)k(G)=1,(G)=1,(G)=2,282页图7-2.4k(G)=1,(G)=2,(G)=2,证明：若G不连通，则k(G)=(G)=0，故上式成立。若G连通，可分两步证明上式也成立：1)先证明(G)(G)：如果G是平凡图，则(G)=0(G)，若G是非平凡图，则因每一结点的所有关联边必含一个边割集

20、，(因(G)=mindeg(v)|vV，设uV使的deg(u)=(G)，与u相关联的条边必包含一个边割集，至少这条边删除使图不连通。)故(G)(G)。,5、定理7-2.2 对于任何一个图G,有k(G)(G)(G)。,2)再证k(G)(G)：(a)设(G)=1，即G有一割边，显然这时k(G)=l，上式成立。(b)设(G)2，则必可删去某(G)条边，使G不连通，而删去其中(G)-1条边，它仍是连通的，且有一条桥e=(u，v)。对(G)-1条边中的每一条边都选取一个不同于u，v的端点，把这些端点删去则必至少删去(G)-1条边。若这样产生的图是不连通的，则k(G)(G)-1(G)，若这样产生的图是连通

21、的，则e仍是桥，此时再删去u或v就必产生一个不连通图，故k(G)(G)。由1)和2)得k(G)(G)(G)。,6.定理7-2.3 一个连通无向图G的结点v是割点的充分必要条件是存在两个结点u和w,使得结点u和w的每一条路都通过v。,证明思路：1)先证:v是割点存在结点u和w的每条路都通过v 若v是连通图G=割点，设删去v得到的子图G,则G至少包含两个连通分支G1=和G2=。任取uV1，wV2，因为G是连通的，故在G中必有一条连结u和w的路C，但u和w在G中属于两个不同的连通分支，故u和w必不连通，因此C必须通过v，故u和w之间的任意一条路都通过v。2)再证:存在结点u和w的每条路都通过v v是

22、割点 若连通图G中的某两个结点的每一条路都通过v，则删去v得到子图G，在G中这两个结点必然不连通，故v是图G的割点。,路无向图的连通性有向图的连通性,7-2 路与回路,三、有向图的连通性：1、可达：在无向图G中，从结点u到v若存在一条路，则称结点u到结点v是可达的。,有向图的可达性：对于任何一个有向图G=,从结点u和到结点v有一条路,称为从u可达v。可达性(accesible),是结点集上的二元关系，它是自反的和传递的，但是一般来说不是对称的。故可达性不是等价关系。,如果u可达v，它们之间可能不止一条路，在所有这些路中，最短路的长度称为u和v之间的距离（或短程线），记作d，它满足下列性质：d0

23、d=0d+d d,有关距离的概念对无向图也适用，把 D=max d,u,vV称作图的直径。,如果从u到v是不可达的，则通常写成 d=注意：当u可达v，且v也可达u时，d 不一定等于d,2、定义7-2.6 在简单有向图G中，任何一对结点间，至少有一个 结点到另一个结点是可达的，则称这个图是单侧连通的。如果对于图G中的任何一对结点两者之间是相互可达的，则称这个图是强连通的。如果在图G中略去边的方向，将它看成无向图后，图是连通的，则称该图为弱连通的。,显然，强连通图单侧连通图弱连通图。而逆推均不成立。,证明：充分性：如G中有一条有向回路，经过每一点至少一次，则G中任意两点u，vV，u可以沿着该有向回

24、路的一部分的而到达v，则G是强连通图。,3、定理7-2.4：一个有向图是强连通的充分必要条件是G有一个回路，它至少包含每个结点一次。,必要性：任取u，vV，图G是强连通图，则uv有有向路，vu也有有向路，则uvu构成了一个有向回路，如果该有向回路没有包含w，而uw，wu均有有向路，则uvuwu又是一个有向回路，一直下去可以将图中所有的点均包含进去。,4、定义7-2.7：在简单有向图中，具有强连通性质的最大子图，称为强分图；具有单侧连通性质的最大子图，称为单侧分图；具有弱连通性质的最大子图，称为弱分图。,定理7-2.5 在有向图G=中，它的每一个结点位于且只位于一个强分图中。,证明思路：1)先证:每一个结点必位于一个强分图中。2)再证:每一个结点只位于一个强分图中。,60,作业,286287：(2)(3)(4),