概率论与数理统计ch基本概念.ppt

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1、05:02:10,概率论,概率论与数理统计,数学是科学的大门和钥匙.,培根,05:02:10,概率论,概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科，是重要的一个数学分支。,在生活当中，经常会接触到一些现象：确定性现象：,在大量重复实验中其结果又具有统计规律性的现象。,随机现象：,在一定条件下必然发生的现象。,在个别实验中其结果呈现出不确定性；,概率论与数理统计 在经济、科技、教育、管理和军事等方面已得到广泛应用。,课程简介,05:02:10,概率论,一 随 机 试 验二 事件间的关系与运算三 频 率 与 概 率,1 随 机 事 件 的 概率,05:02:10,概率论,E1：抛一枚硬

2、币，观察正面H、反面T出现的情况。,这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。其典型的例子有：,1)随机试验,一、随 机 试 验,E3：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。,E2：抛一颗骰子，观察出现的点数。,05:02:10,概率论,这些试验具有以下特点：,进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现；,每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果。,E4：观察某一电子元件的寿命。,E5：观察某地区一昼夜的最低温度和最高温度。,可以在相同的条件下重复进行；,称具备上面三个特点的试验为随机试验。,05:02:10,概率论,2)样本空间,定义 将

3、随机试验 E 的所有可能结果组成的集合 称为 E 的样本空间，记为 S。样本空间的 元素，即 E 的每个结果，称为样本点。,S1:H,T S2:1,2,3,4,5,6 S3:0,1,2,3S4:t|t 0 S5:(x,y)|T 0 x,y T1,要求：会写出随机试验的 样本空间。,05:02:10,概率论,随机事件:称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的 随机事件，记作 A,B,C 等等；基本事件：由一个样本点组成的单点集；必然事件:样本空间 S 本身；不可能事件：空集。,3)随 机 事 件,我们称一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个样本点在试验中出现。,05:02:10,概率论,例如

4、：S2 中,事件 A=2,4,6 表示“出现偶数点”;,事件 B=1,2,3,4 表示“出现的点数不超过4”.,05:02:10,概率论,1)包含关系,二、事件间的关系与运算,如果A发生必导致B发生，则,2）相等关系,05:02:10,概率论,3)和（并）事件,事件 发生当且仅当,A,B 至少发生一个.,4)积（交）事件,事件 发生当且仅当 A,B 同时发生.,05:02:10,概率论,5)差事件,发生当且仅当 A 发生 B 不发生.,05:02:10,概率论,6)互不相容（互斥）,7)对立事件（逆事件）,请注意互不相容与对立事件的区别！,05:02:10,概率论,例如，在S4 中,事件 A=

5、t|t1000,表示“产品是次品”,事件 B=t|t 1000,表示“产品是合格品”,事件 C=t|t1500,表示“产品是一级品”,则,表示“产品是合格品但不是一级品”;,表示“产品是是一级品”;,表示“产品是合格品”.,05:02:10,概率论,8)随机事件的运算规律,幂等律:,交换律:,结合律:,分配律:,De Morgan（德摩根）定律:,05:02:10,概率论,练习：设 A,B,C 为三个随机事件，用A,B,C 的运 算关系表示下列各事件.,（1）A 发生.,(2)A 发生，B 与 C 都不发生.,(3)A,B,C 都发生.,(4)A，B,C 至少有一个发生.,05:02:10,概

6、率论,(5)A，B,C 都不发生.,(6)A，B,C 不多于一个发生.,(7)A，B,C 不多于两个发生.,(8)A，B,C 至少有两个发生.,05:02:10,概率论,三、频 率 与 概 率,1）频率的定义和性质,定义:在相同的条件下，进行了n 次试验，在这 n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA 称为 事件 A 发生的频数。比值 n A/n 称为事件 A 发生的频率，并记成 fn(A)。,05:02:10,概率论,它具有下述性质:,05:02:10,概率论,2）频率的稳定性,实 验 者 德摩根 蒲 丰K 皮尔逊K 皮尔逊,n nH fn(H),2048 40401200024000,10

7、61 2048 601912012,0.51810.50960.50160.5005,05:02:10,概率论,3）概率的定义,定义 设 E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于 E 的每一个事件 A 赋予一个实数，记为 P(A),称为事件 A 的概率，要求集合函数 P(.)满足下列条件：,05:02:10,概率论,4）概率的性质与推广,05:02:10,概率论,05:02:10,概率论,05:02:10,概率论,性质 9,要求：熟练掌握概率的性质。,05:02:10,概率论,1）加法原理：完成某件事有两类方法，第一类有n种，第二类有m种，则完成这件事共有n+m种方法。,3）排列：(1)可重复

8、排列:在有放回选取中，从n个不同元素中取r个元素进行排列，称为有重复排列，其总数为。,四、排列组合公式,2）乘法原理：完成某件事有两个步骤，第一步有n种方法，第二步有m种方法，则完成这件事共有nm种方法。,05:02:10,概率论,4）组合：（1）从 n 个不同元素中取 r 个元素组成一组，不考虑其顺序，称为组合，其总数为,（2）选排列：在无放回选取中，从 n 个不同元素中取 r 个元素进行排列，称为选排列，其总数为,说明：如果把 n 个不同元素分成两组，一组r个，另一组n-r个，组内元素不考虑顺序，那么不同分法有 种。,05:02:10,概率论,（2）常用组合公式：,说明：熟练运用排列组合公

9、式对求概率问题是很重要的,05:02:10,概率论,等可能概型（古典概型）,2 等可能概型,05:02:10,概率论,生活中有这样一类试验，它们的共同特点是：样本空间的元素只有有限个；每个基本事件发生的可能性相同。,一、等可能概型（古典概型）,我们把这类实验称为等可能概型，又叫做古典概型。,退 出,前一页,后一页,目 录,05:02:10,概率论,设 S=e1,e2,en,由古典概型的等可能性，得,又由于基本事件两两互不相容；所以,若事件 A 包含 k 个基本事件，即 A=e1,e2,ek,则有：,05:02:10,概率论,例 1 把一套4卷本的书随机地摆放在书架上，问：恰好排成序（从左至右或

10、从右至左）的概率是多少？,解：,将书随机地摆放在书架上，每一种放法就是一个基本事件，共有放法4！种。,把书恰好排成序有两种放法。所以，所求概率为,05:02:10,概率论,例 2 将 n 只球随机的放入 N(N n)个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）。,解：将 n 只球放入 N 个盒子中去,共有,而每个盒子中至多放一只球,共有,思考：某指定的n 个盒子中各有一球的概率。,退 出,前一页,后一页,目 录,05:02:10,概率论,解：,例3 同时掷 5 颗骰子，试求下列事件的概率：A=5 颗骰子不同点；B=5 颗骰子恰有 2 颗同点；C=5 颗骰子中有 2 颗同点，另外

11、 3 颗 同是另一个点数,05:02:10,概率论,退 出,前一页,后一页,目 录,05:02:10,概率论,例4 设有 N 件产品，其中有 M 件次品，今从中任取 n 件，问其中恰有 k(k D)件次品的概率是多少?,又 在 M 件次品中取 k 件，所有可能的取法有,在 N-M 件正品中取 n-k 件,所有可能的取法有,解：在 N 件产品中抽取 n 件，取法共有,05:02:10,概率论,于是所求的概率为：,此式即为超几何分布的概率公式。,由乘法原理知：在 N 件产品 中取 n 件，其中恰有 k件次品的取法共有,05:02:10,概率论,2）有放回抽样,而在 N 件产品 中取 n 件，其中恰

12、有 k 件次品的取法共有,于是所求的概率为：,从 N 件产品中有放回地抽取n 件产品进行排列，可能的排列数为 个，将每一排列看作基本事件，总数为。,此式即为二项分布的概率公式。,05:02:10,概率论,例 5 某厂家称一批数量为1000件的产品的次品率为5%。现从该批产品中有放回地抽取了30件，经检验发现有次品5件，问该厂家是否谎报了次品率？,解：,假设这批产品的次品率为5%，那么1000件产品中有次品为50件。这时有放回地抽取30件，次品有5件的概率为,05:02:10,概率论,人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的”（称之为实际推断原理）。现在概率很小的事件

13、在一次实验中竟然发生了，从而推断该厂家谎报了次品率。,05:02:10,概率论,例 6 将 n个男生和m个女生(mn)随机地排成一列,问：任意两个女生都不相邻的概率是多少？,解：,任意两个女生都不相邻时，,首先n个男生的排法有n!种，,每两个相邻男生之间有一个位置可以站女生，还有队列两侧各有一个位置可以站女生，这样m个女生共有n+1个位置可以站，,所以，任意两个女生都不相邻这一事件的概率为,n+m个学生随机地排成一列共有排法(n+m)!种,总共排法有 种。,05:02:10,概率论,解：设 A=“第 k 次取出的球是黑球”,例 7 袋中有 a只白球，b 只黑球从中将球取出 依次排成一列，问第

14、k 次取出的球是黑球的 概率,05:02:10,概率论,例 8 从 19 这 9 个数中有放回地取出 n 个.试求取出的 n 个数的乘积能被 10 整除的概率解：A=取出的 n 个数的乘积能被 10 整除；B=取出的 n 个数至少有一个偶数；C=取出的 n 个数至少有一个 5 则 A=B C.,05:02:10,概率论,3 条 件 概 率,一 条 件 概 率,二 乘 法 定 理,三 全概率公式和贝叶斯公式,05:02:10,概率论,称为在事件B已发生的条件下事件A的条件概率，简称为A在B之下的条件概率。,设A、B是某随机试验中的两个事件，且,则,一、条 件 概 率,1）条件概率的定义：,05:

15、02:10,概率论,2）条件概率的性质：,05:02:10,概率论,而,所求概率为,解：设 A=3个小孩至少有一个女孩 B=3个小孩至少有一个男孩,例 1 已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女 孩，求该家庭至少有一个男孩的概率,05:02:10,概率论,我们得,这就是两个事件的乘法公式,1）两个事件的乘法公式：,二、乘法公式,由条件概率的定义,05:02:10,概率论,则有,这就是n个事件的乘法公式,2）多个事件的乘法公式,05:02:10,概率论,则,由乘法公式，我们有,例2 袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止求取了n

16、 次都未取出黑球的概率,解：,05:02:10,概率论,05:02:10,概率论,例 3 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为 1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为 7/10,若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为 9/10。求透镜落下三次而未打破的概率。解：以 Ai(i=1,2,3)表示事件“透镜第 i 次落下打破”，以 B 表示事件“透镜落下三次而未打破”，有：,05:02:10,概率论,三、全概率公式和贝叶斯公式,05:02:10,概率论,1）全 概 率 公 式：,设随机事件,05:02:10,概率论,由全概率公式，有,例5 某小组有20名射手，其中一、二

17、、三、四 级射手分别为2、6、9、3名又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标 的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机 选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目 标的概率 解：,05:02:10,概率论,设随机事件,则有：,2）贝叶斯（Bayes）公式,05:02:10,概率论,现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率,说明：全概率公式，Bayes公式中 可以是,例 6 用某种方法普查肝癌，设：A=用此方法判断被检查者患有肝癌，D=被检查者确实患有肝癌，已知,05:02:10,概率论,所以，由Bayes公式，得,解：由已知，得,05:02:10,概

18、率论,则由Bayes公式，得,设B=取出的球全是白球,例 7 袋中有10个黑球，5个白球现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球若已知取出的球全是白球，求掷出3点的概率解：,05:02:10,概率论,说明：乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式非常重要，在运用时关键是找到样本空间的划分。,05:02:10,概率论,则称 A 与 B 是相互独立的随机事件,二、事件独立性的性质：,1）如果事件A 与 B 相互独立，而且,定义：,设 A、B 是两个随机事件，如果,4 独 立 性,一、独立性的定义,05:02:10,概率论,2）必然事件S与任意随机事件A相互独立；不可能事件与任意随机事件A相互独立,3

19、)若随机事件 A 与 B 相互独立，则,也相互独立.,这个性质很重要！,注意：在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断的。,05:02:10,概率论,若事件 A 与 B 相互独立，则 AB；,若 AB=，则事件 A 与 B 不相互独立,证明：,例 1,设事件 A 与 B 满足：,05:02:10,概率论,但是，由题设,这表明，事件 A 与 B 不相互独立,此例说明：互不相容与相互 独立不能同时成立。,由于AB=，所以,05:02:10,概率论,1）三个事件的独立性：,则称A、B、C是相互独立的随机事件,注意：在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一

20、不可的即：前三个等式的成立推不出最后一个等式；反之，最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立,如果,三、多个事件的独立性,设A、B、C是三个随机事件，,05:02:10,概率论,2）n个事件的相互独立性：,05:02:10,概率论,3）独立随机事件的性质：,则：（1）其中任意 个随机事件也相互 独立；,05:02:10,概率论,若 是相互独立的事件，则,4）相互独立事件至少发生其一的概率的计算：,在独立的条件下有：,05:02:10,概率论,注 意,05:02:10,概率论,此例说明：小概率事件虽然在一次试验中几乎是不发生的，但是迟早要发生。,不论 p 多么小,05:02:10,概率论,例

21、2 设有电路如图，其中 1,2,3,4 为继电器接点。设各继电器接点闭合与否相互独立，且每一个继电器接点闭合的概率均为 p。求 L至 R 为通路的概率。,解：设事件 Ai(i=1,2,3,4)为“第 i 个继电器接点闭合”,L 至 R 为通路这一事件可表示为：,05:02:10,概率论,由和事件的概率公式及 A1,A2,A3,A4的相互独立性，得到,05:02:10,概率论,例 3 要验收一批(100 件)乐器。验收方案如下：自该批乐器中随机地抽取 3 件测试(设 3 件乐器的测试是相互独立的），如果至少有一件被测试为音色不纯，则拒绝接受这批乐器。,设一件音色不纯的乐器被测试出来的概率为 0.

22、95，而一件音色纯的乐器被误测为不纯的概率为 0.01。如果这批乐器中恰有 4 件是音色不纯的，问这批乐器被接受的概率是多少？,p=1-0.01=0.99,q=1-0.95=0.05,05:02:10,概率论,解：以 Hi(i=0,1,2,3)表示事件“随机取出的 3 件乐器中恰有 i 件音色不纯”，以 A 表示事件“这批乐器被接受”，即 3 件都被测试为音色纯的乐器。,由全概率公式有,05:02:10,概率论,由测试的相互独立性得：,另外，按照超几何分布的概率计算公式得：,代入公式有,05:02:10,概率论,1 阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关 系及运算。2 给出了随机事件的频率及概率的含义和基本性 质。3 给出了条件概率的定义及乘法公式、全概率公 式和贝叶斯公式。4 给出了随机事件独立性的概念，会利用事件 独立性进行概率计算。,第一章 小 结,