概率论与数理统计56学时.ppt

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1、概率论与数理统计（56学时）,开课系：数理系教师：lxtEmail:lane-,概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科，是重要的一个数学分支。,在生活当中，经常会接触到一些现象：确定性现象：,在大量重复实验中其结果又具有统计规律性的现象。,随机现象：,在一定条件下必然发生的现象。,在个别实验中其结果呈现出不确定性；,概率论与数理统计 在经济、科技、教育、管理和军事等方面已得到广泛应用。,课程简介,概率论与数理统计 已成为高等工科院校教学计划中一门重要的公共基础课。通过本课程的学习，使学生掌握处理随机现象的基本理论和方法，并且具备一定的分析问题和解决实际问题的能力。,退 出,目

2、 录,前一页,后一页,课程简介,课程主要内容：,概率论的基本概念随机变量及其分布多维随机变量及其分布随机变量的数字特征大数定律及中心极限定理样本及抽样分布参数估计假设检验（选学）,1 随机试验2 样本空间，随机事件3 频率与概率4 等可能概型（古典概率）5 条件概率6 独立性,第一章 概率论的基本概念,退 出,目 录,前一页,后一页,这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。,第一章 概率论的基本概念,1、随 机 试 验（Experiment）,1 随机试验,退 出,前一页,后一页,目 录,退 出,前一页,后一页,目 录,E1：抛一枚硬币两次，观察正面H（

3、Heads）、反面T（Tails）出现的情况。,E2：抛一颗骰子，观察出现的点数。,E3：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。,E4：观察某一电子元件（如灯泡的寿命。,其典型的例子有,E5：观察某城市居民（以户为单位烟酒年支出。,这些试验具有以下特点：,第一章 概率论的基本概念,3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。,2.每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确 试验的所有可能结果；,1.可以在相同的条件下重复进行；,我们把满足上述三个条件的试验称为随机试验。记为E,退 出,前一页,后一页,目 录,一 样本空间二 随机事件三 事件间的关系与运算,2 样本空间，随机事件,第一章 概率论

4、的基本概念,退 出,目 录,前一页,后一页,2 样本空间随机事件,一 样本空间(Space),定义 将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合 称为 E 的样本空间，记为 S。样本空间的 元素，即 E 的每个结果，称为样本点。（也叫基本事件,E1：S1 H H,HT，TH，TT E2：S2 1,2,3,4,5,6 E3：S3 0,1,2,3E4：S4 t|t 0 E5：S5(x,y)|M0 x,y M1,第一章 概率论的基本概念,要求：会写出随机试验的 样本空间。,退 出,前一页,后一页,目 录,2 样本空间随机事件,退 出,前一页,后一页,目 录,E4：如果试验是测试某灯泡的寿命：,则样本点是

5、一非负数，由于不能确知寿命的上界，所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，,S 4：=t：t 0,故样本空间,2 样本空间随机事件,退 出,前一页,后一页,目 录,E5：调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出，结果可以用（x，y）表示，x，y分别是烟、酒年支出的元数.,也可以按某种标准把支出分为高、中、低三档.这时，样本点有（高,高）,（高,中），(低,低）等9种，样本空间就由这9个样本点构成.,这时，样本空间由坐标平面第一象限内一定区域内一切点构成.,随机事件:称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的 随机事件，记作 A,B,C 等等；基本事件:有一个样本点组成的单点集；必然事件:样

6、本空间 S 本身；不可能事件:空集。,二 随 机 事 件,我们称一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个样本点在试验中出现。,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,2 样本空间随机事件,退 出,前一页,后一页,目 录,两个特殊的事件：,必,件,然,事,例如，在掷骰子试验中，“掷出点数小于7”是必然事件;,即在试验中必定发生的事件，即样本空间 常用S或表示;,不,件,可,事,能,即在一次试验中不可能发生的事件，常用表示.,而“掷出点数8”则是不可能事件.,退 出,前一页,后一页,目 录,事件,基本事件,复合事件,（相对于观察目的不 可再分解的事件）,（两个或一些基本事件并在一起

7、，就 构成一个复合事件）,事件 B=掷出奇数点,如在掷骰子试验中，观察掷出的点数.,事件 Ai=掷出i点 i=1,2,3,4,5,6,例如：S2 中,第一章 概率论的基本概念,事件 A=2,4,6 表示“出现偶数点”;,事件 B=1,2,3,4 表示“出现的点数不超过4”.显然它们都是样本空间的子集,退 出,前一页,后一页,目 录,2 样本空间随机事件,1)包含关系,三、事件间的关系与运算,第一章 概率论的基本概念,如果A发生必导致B发生，则,2）相等关系,退 出,前一页,后一页,目 录,2 样本空间随机事件,3)和（并）事件,第一章 概率论的基本概念,事件 发生当且仅当 A,B 至少发生一个

8、.,退 出,前一页,后一页,目 录,2 样本空间随机事件,第一章 概率论的基本概念,4)积（交）事件,事件 发生当且仅当 A,B 同时发生.,退 出,前一页,后一页,目 录,2 样本空间随机事件,第一章 概率论的基本概念,考察下列事件间的包含关系：,退 出,前一页,后一页,目 录,2 样本空间随机事件,5)差事件,第一章 概率论的基本概念,发生当且仅当 A 发生 B 不发生.,退 出,前一页,后一页,目 录,2 样本空间随机事件,6)互不相容（互斥）,7)对立事件（逆事件）,第一章 概率论的基本概念,请注意互不相容与对立事件的区别！,退 出,前一页,后一页,目 录,2 样本空间随机事件,退 出

9、,前一页,后一页,目 录,互斥与互逆的区别：,两事件A、B互斥：,两事件A、B互逆或互为对立事件,即A与B不可能同时发生.,除要求A、B互斥()外，还要求,A+B=S,退 出,前一页,后一页,目 录,n个事件互斥与 两两互斥：,若n个事件A1，A2，An中任意两个事件都互斥,则称这n个事件互斥.,所以，若n个事件互斥，则其中任意两个事件都互斥.,退 出,前一页,后一页,目 录,对于一个具体事件，要学会用数学符号表示；反之，对于用数学符号表示的事件，要清楚其具体含义是什么.,也就是说，要正确无误地“互译”出来.,退 出,前一页,后一页,目 录,例1：从一批产品中任取两件，观察合格品的情况.记 A

10、=两件产品都是合格品，,若记 Bi=取出的第 i 件是合格品，i=1,2,=两件产品中至少有一个是不合格品,A=B1B2,问如何用 Bi 表示A和？,A3 A4 A3 A4 如图(1)、(2)两个系统中令Ai表示第i个元件工作正常”,Bi表示“第i个系统工作正常”.试用A1,A2,A3,A4表示B1,B2.解:(1)B1=A1A2A3 A4(2)B2=(A1A3)(A2A4),EX2(1)A1 A2(2)A1 A2,第一章 概率论的基本概念,例2，在S4 中,事件 A=t|t1000,表示“产品是次品”,事件 B=t|t 1000,表示“产品是合格品”,事件 C=t|t1500,表示“产品是一

11、级品”,则,表示“产品是合格品但不是一级品”;,表示“产品是是一级品”;,表示“产品是合格品”.,退 出,前一页,后一页,目 录,2 样本空间随机事件,8)随机事件的运算规律,幂等律:,交换律:,第一章 概率论的基本概念,结合律:,分配律:,De Morgan（德摩根）定律:,退 出,前一页,后一页,目 录,退 出,前一页,后一页,目 录,补充常用的关系及习题1.甲，乙两人同时向一目标射击一次观察中靶情况。设A甲中，B乙中，问 各表示什么事件?是否是相等事件？2.一射手向目标射击3发子弹，Ai表示第次射击打中目标（i1，2，3。试用A1，A2，A3及其运算表示下列事件（1 三发子弹都打中目标B

12、（2第一发子弹打中目标而第二，第三发 子弹都未打中C（3三发子弹恰有一发打中目标D（4三发子弹至少一发打中目标E（5三发子弹至多一发打中目标F,解:BA1A2A3C=A1A2A3A1(A2A3)A123DA1A2A3=S-123=A11A212A3E=A1231A2312A3G=A1A2A31A2A3A12A3A1A23=A1A2A2A3A1A3,F=1 21 32 3,=A1 2 31A2 31 2 A31 2 3,第一章 概率论的基本概念,练习P29：设 A,B,C 为三个随机事件，用A,B,C 的运 算关系表示下列各事件.,（1）A 发生.,(2)A 发生，B 与 C 都不发生.,(3)

13、A,B,C 都发生.,(4)A，B,C 至少有一个发生.,退 出,前一页,后一页,目 录,2 样本空间随机事件,第一章 概率论的基本概念,(5)A，B,C 都不发生.,(6)A，B,C 不多于一个发生.,(7)A，B,C 不多于两个发生.,(8)A，B,C 至少有两个发生.,退 出,前一页,后一页,目 录,2 样本空间随机事件,3 频 率 与 概 率,一 频率的定义和性质,定义:在相同的条件下，进行了n 次试验，在这 n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA 称为 事件 A 发生的频数。比值 n A/n 称为事件 A 发生的频率，并记成 fn(A)。,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,

14、后一页,目 录,第一章 概率论的基本概念,它具有下述性质:,3 频 率 与 概 率,退 出,前一页,后一页,目 录,退 出,前一页,后一页,第一章 概率论的基本概念,目 录,在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般来说摆动越小.这个性质叫做频率的稳定性.,请看下面的试验,（二）频率的稳定性,3 频 率 与 概 率,实 验 者 德摩根 蒲 丰K 皮尔逊K 皮尔逊,n nH fn(H),2048 40401200024000,1061 2048 601912012,0.51810.50960.50160.5005,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,

15、目 录,3 频 率 与 概 率,退 出,前一页,后一页,第一章 概率论的基本概念,目 录,3 频 率 与 概 率,退 出,前一页,后一页,第一章 概率论的基本概念,目 录,频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小.尽管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要 n相当大，频率与概率是会非常接近的.,因此，概率是可以通过频率来“测量”的,频率是概率的一个近似.,频率,概率,3 频 率 与 概 率,频 率 稳 定 值 概率,事件发生的频繁程度,事件发生的可能性的大小,频率的性质,概率的公理化定义,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,3 频 率 与 概 率,退

16、 出,前一页,后一页,第一章 概率论的基本概念,目 录,即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率.,下面介绍用公理给出的概率定义.,1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义.,柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦.,3 频 率 与 概 率,（三）概率的定义,定义 设 E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于 E 的每一个事件 A 赋予一个实数，记为 P(A),称为事件 A 的概率，要求集合函数 P(.)满足下列条件：,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,退 出,前一页,后一页,第一章 概率论的基本概念,目 录,由

17、概率的三条公理，我们可以推导出概率的若干性质.下面我们就来给出概率的一些简单性质.,在说明这些性质时，为了便于理解，我们常常借助于文氏图.,3 频 率 与 概 率,4）概率的性质与推广,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,3 频 率 与 概 率,退 出,前一页,后一页,第一章 概率论的基本概念,2等可能概型,目 录,移项得(6),便得(7).,再由,由可加性,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,因为,1=P(S)=P(A)+P(),3 频 率 与 概 率,性质5在概率的计算上很有用，如果正面计算事件A的概率不容易，而计算其对立事件 的概率较易时，可以

18、先计算，再计算P(A).,退 出,前一页,后一页,第一章 概率论的基本概念,目 录,3 频 率 与 概 率,退 出,前一页,后一页,目 录,于是=0.518,因此=0.482,由于将一颗骰子抛掷4次,共有=1296种等可能结果,而导致事件=4次抛掷中都未出“6”点的结果数有=625种,退 出,前一页,后一页,第一章 概率论的基本概念,目 录,又因再由性质 3便得(8).,3 频 率 与 概 率,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,3 频 率 与 概 率,性质 9,第一章 概率论的基本概念,要求：熟练掌握概率的性质。,退 出,前一页,后一页,目 录,3 频 率 与 概 率,

19、第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,例1：设P(A)=1/3,P(B)=1/21)若事件A与B互不相容，求P()2)若,求P()3若P(AB)=1/8,求P(),例2：A，B是E中两个事件，已知P(A)=0.3,P(A+B)=0.6,求 P(),3 频 率 与 概 率,第一章 概率论的基本概念,1）加法原理：完成某件事有两类方法，第一类有n种，第二类有m种，则完成这件事共有n+m种方法。,3）排列：(1)有重复排列:在有放回选取中，从n个不同元素中取r个元素进行排列，称为有重复排列，其总数为。,四、排列组合公式,2）乘法原理：完成某件事有两个步骤，第一步有n种方法，第二步

20、有m种方法，则完成这件事共有nm种方法。,退 出,前一页,后一页,目 录,3 频 率 与 概 率,第一章 概率论的基本概念,4）组合：（1）从 n 个不同元素中取 r 个元素组成一组，不考虑其顺序，称为组合，其总数为,（2）选排列：在无放回选取中，从 n 个不同元素中取 r 个元素进行排列，称为选排列，其总数为,说明：如果把 n 个不同元素分成两组，一组r个，另一组n-r个，组内元素不考虑顺序，那么不同分法有 种。,退 出,前一页,后一页,目 录,第一章 概率论的基本概念,（2）多组组合：把n个不同元素分成k组,使第 组有 个元素，若组内元素不考虑顺序，那么不同分法有 种。,（3）常用组合公式

21、：,说明：熟练运用排列组合公式对求概率问题是很重要的,退 出,前一页,后一页,目 录,4 等可能概型,等可能概型（古典概型）,第一章 概率论的基本概念,生活中有这样一类试验，它们的共同特点是：样本空间的元素只有有限个；每个基本事件发生的可能性相同。即“有限等可能”。,一、等可能概型（古典概型）,我们把这类实验称为等可能概型，考虑到它在概 率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型。,第一章 概率论的基本概念,4等可能概型,退 出,前一页,后一页,目 录,设 S=e1,e2,en,由古典概型的等可能性，得,又由于基本事件两两互不相容；所以,第一章 概率论的基本概念,4等可能概型,退 出,前一页

22、,后一页,目 录,若事件 A 包含 k 个基本事件，即 A=e1,e2,ek,则有：,第一章 概率论的基本概念,4等可能概型,退 出,前一页,后一页,目 录,例 1 把一套4卷本的书随机地摆放在书架上，问：恰好排成序（从左至右或从右至左）的概率是多少？,解：,第一章 概率论的基本概念,4等可能概型,将书随机地摆放在书架上，每一种放法就是一个基本事件，共有放法4！种。,把书恰好排成序有两种放法。所以，所求概率为,退 出,前一页,后一页,目 录,例 2（分球入盒）将 n 只球随机的放入 N(N n)个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）。,解：将 n 只球放入 N 个盒子中去

23、,共有,而每个盒子中至多放一只球,共有,第一章 概率论的基本概念,思考：某指定的n 个盒子中各有一球的概率。,4等可能概型,退 出,前一页,后一页,目 录,退 出,前一页,后一页,4等可能概型,目 录,例3（生日问题）有r 个人，设每个人的生日是365天的任何一天是等可能的，试求事件“至少有两人同生日”的概率.,r,r,P,A,P,),365,(,),(,365,=,r,r,P,A,P,A,P,),365,(,1,),(,1,),(,365,-,=,-,=,为求P(A),先求P(),退 出,前一页,后一页,第一章 概率论的基本概念,2等可能概型,目 录,用上面的公式可以计算此事出现的概率为=1

24、-0.524=0.476,美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验，在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上，他随机地在某号看台上召唤了22个球迷，请他们分别写下自己的生日，结果竟发现其中有两人同生日.,即22个球迷中至少有两人同生日的概率为0.476.,退 出,前一页,后一页,4等可能概型,目 录,表 3.1 人数 至少有两人同 生日的概率 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994,所有这些概率都是在假定一个人的生日在 365天的任何一天是等可能的前提下计算出来的.

25、实际上,这个假定并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大.当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有利的.,（分组问题）例4：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。解:设A为“每组有一名运动员”这一事件;B为“3名运动员集中在一组”这一事件。,例*同时掷 5 颗骰子，试求下列事件的概率：A=5 颗骰子不同点；B=5 颗骰子恰有 2 颗同点；C=5 颗骰子中有 2 颗同点，另外 3 颗 同是另一个点数,第一章 概率论的基本概念,4等可能概型,解：,退 出,前一页,后一页,目 录,第一章 概率论的基本概念

26、,等可能概型,4等可能概型,退 出,前一页,后一页,目 录,古典概率的常用的几种类型：1 抽球问题2 分球入盒问题3 分组问题4 随机取数问题等,退 出,前一页,后一页,目 录,例 5（抽球问题）设有10件产品，其中有4件次品，从中任取3件，每次取一件不放回，连取三次；求下列事件的概率：A:所取3件均为正品；B:3件均为次品；C:3件中恰有一件为次品；D:直到第3次才取到正品。,解:.不考虑所取3件的次序，可能结果为组合问题得样本空间样本点数:n=C103 所取3均为正品的样本点数：m A=C63 所取3件均为次品的样本点数:m B=C43 m C=C31C62C41 m D=436=72则P

27、(A)=1/6,P(B)=1/30，P(C)=3/5，P(D)=1/10,例6 设有 N 件产品，其中有 M 件次品，今从中任取 n 件，问其中恰有 k(k D)件次品的概率是多少?,又 在 M 件次品中取 k 件，所有可能的取法有,在 N-M 件正品中取 n-k 件,所有可能的取法有,解：在 N 件产品中抽取 n 件，取法共有,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,4等可能概型,退 出,前一页,后一页,目 录,于是所求的概率为：,此式即为超几何分布的概率公式。,由乘法原理知：在 N 件产品 中取 n 件，其中恰有 k件次品的取法共有,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,4等可能概型,退 出

28、,前一页,后一页,目 录,2）有放回抽样,而在 N 件产品 中取 n 件，其中恰有 k 件次品的取法共有,于是所求的概率为：,从 N 件产品中有放回地抽取n 件产品进行排列，可能的排列数为 个，将每一排列看作基本事件，总数为。,此式即为二项分布的概率公式。,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,4等可能概型,退 出,前一页,后一页,目 录,例 7 某厂家称一批数量为1000件的产品的次品率为5%。现从该批产品中有放回地抽取了30件，经检验发现有次品5件，问该厂家是否谎报了次品率？,解：,第一章 概率论的基本概念,4等可能概型,假设这批产品的次品率为5%，那么1000件产品中有次品为50件。这时

29、有放回地抽取30件，次品有5件的概率为,退 出,前一页,后一页,目 录,人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的”（称之为实际推断原理）。现在概率很小的事件在一次实验中竟然发生了，从而推断该厂家谎报了次品率。,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,4等可能概型,退 出,前一页,后一页,目 录,例 将 n个男生和m个女生(mn)随机地排成一列,问：任意两个女生都不相邻的概率是多少？,解：,第一章 概率论的基本概念,4等可能概型,任意两个女生都不相邻时，,首先n个男生的排法有n!种，,每两个相邻男生之间有一个位置可以站女生，还有队列两侧各有一个位置可以站女生，这样m个女

30、生共有n+1个位置可以站，,所以，任意两个女生都不相邻这一事件的概率为,n+m个学生随机地排成一列共有排法(n+m)!种,总共排法有 种。,退 出,前一页,后一页,目 录,思考题：如果这n+m个学生不是排成一列，而是排成一个圆状，首尾相接，这时，任意两个女生都不相邻的概率是多少？,第一章 概率论的基本概念,4等可能概型,退 出,前一页,后一页,目 录,例 8 袋中有 a只白球，b 只黑球从中将球取出 依次排成一列，问第 k 次取出的球是黑球的 概率,解：设 A=“第 k 次取出的球是黑球”,第一章 概率论的基本概念,4等可能概型,退 出,前一页,后一页,目 录,退 出,前一页,后一页,4等可能概型,目 录,例9 将一颗骰子抛掷4次，问至少出一次“6”点的概率是多少？,令 事件A=至少出一次“6”点,A发生,出1次 6点,出2次“6”点,出3次“6”点,出4次“6”点,直接计算A的概率较麻烦,我们先来计算A的对立事件,=4次抛掷中都未出“6”点,的概率.,例 10 从 19 这 9 个数中有放回地取出 n 个.试求取出的 n 个数的乘积能被 10 整除的概率解：A=取出的 n 个数的乘积能被 10 整除；B=取出的 n 个数至少有一个偶数；C=取出的 n 个数至少有一个 5 则 A=B C.,第一章 概率论的基本概念,4等可能概型,退 出,前一页,后一页,目 录,