第三章集合.ppt

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1、第三章 集 合,3.1 集合论基础3.2 集合运算及其性质3.3 集合的笛卡儿积与无序积,退出,3.1 集合论基础,1.集合与元素所谓集合，是指某些可辨别的不同对象的全体，将用大写字母A，B，X，Y，表示之。组成集合的对象称为集合的元素或成员，将用小写字母a，b，x，y表示之。a是A的元素或a属于A，记作aA；a不属于A或a不是A的元素，记作aA，或者(aA)。,集合的元素一旦给定，这一集合便完全确立。这一事实被形式地叙述为外延公理。外延公理：两集合A和B相等，当且仅当它们有相同的元素。若A与B相等，记为A=B；否则，记为AB。,外延公理可形式表为：A=B(x)(xAxB)或者A=B(x)(x

2、AxB)(x)(xBxB)顺便指出，在应用外延公理证明集合A与B相等时，只需考察：对于任意元素x，应有下式xBxB成立即可。这就是说，证明两集合相等时可按此法行事。,表示一个特定集合，基本上有两种方法：一是枚举法，在可能时列出它的元素，元素之间用逗号分开，再用花括号括起。如A=a,e,i,o,u(1)表明集合A是由字母a,e,I,o和u为元素构成的。,二是谓词法，用谓词公式来确定集合。即个体域中能使谓词公式为真的那些元素，确定了一个集合，因为这些元素都具有某种特殊性质。若P(x)含有一个自由变元的谓词公式，则x|P(x)定义了集合S，并可表为S=x|P(x)由此可见，P(c)为真当且仅当cS。

3、从而有xSxP(x),例如，(1)可表为A=x|x是英文字母表中元音字母在用性质来描述集合时，可表述为概括原理或子集合公理。子集公理：对于任给集合A和性质P，存在集合B，使得B中元素恰为A中满足P的那些元素。,子集公理可形式地表为(B)(x)(xBxA(x)其中(x)为不含B自由出现。子集公理的提出，避免了悖论，使集合论得以存在和发展。,应该指出的是：集合并不决定于它的元素展示方法。集合的元素被重复或重新排列，集合并不改变，即a,a,e,i,o,u=a,u,e,o,i。但有时对重复出现的元素都认为是集合的元素，这种集合称为多重集。即a,a,e,i,o,u,ua,e,i,o,u。本书中集合在不特

4、别指明时，都指前者，即中的集合。,集合的元素可以是具体事物，可以是抽象概念，也可以是集体，不是集合的元素称为本元。如，一本书，一支笔，集合1,2,3可以组成集合B=一本书，一支笔，1,2,3。特别地，以集合为元素的集合称为集合族或集合类如A=1,2,3,8,9,6。集合中元素之间可以有某种关联，也可以彼此毫无关系。,2.子集、全集与空集子集是描述一个集合与另一个集合之间的关系，其定义如下。定义3.1.1 设A和B是任意两个集合，如果集合A的每个元素，都是集合B中的一个元素，则称A是B的子集，或称A被包含于B中，或者说B包含A，并记为AB。,本定义也可表成AB(x)(xAxB)这表明，要证明AB

5、，只需对任意元素x，有下式xAxB成立即可。此外，若集合B不包含集合A，记为AB。,/,定义3.1.2 设A和B是两个集合，若AB且AB，则称A是B的真子集，记为AB，也称B真包含A。该定义也可表为AB(ABAB),定义3.1.3 如果一个集合包含了所要讨论的每一个集合，则称该集合为全集，记为U或E。它可形式地表为U=x|P(x)P(x)其中P(x)为任何谓词公式。,显然，全集U即是第二章中的全总论域。于是，每个元素x都属于全集U，即命题(x)(xU)为真。由定义易知，对任意集合A，都有AU。在实际应用中，常常把某个适当大的集合看成全集U。,定义3.1.4 没有任何元素的集合，称为空集，记为，

6、它可形式地表为：=x|P(x)P(x)其中P(x)为任何谓词公式。由定义可知，对任何集合A，有A。这是因为任意元素x，公式xxA总是为真。,注意，与是不同的。是以为元素的集合，而没有任何元素，能用构成集合的无限序列：(1)，该序列除第一项外，每项均以前一项为元素的集合。,(2)，该序列除第一项外，每项均以前面各项为元素的集合。它即是冯诺依曼在1924年使用空集给出自然数的集合表示：0:=，1:=，2:=,，定理3.1.1 空集是唯一的定理3.1.2()对任一集合A，有AA。()若AB且BC，则AC。,3集合的基数表示集合中元素多少或度量集合大小的数，称作集合的基数或势。一个集合A的基数，记为|

7、A|。如果一个集合恰有m个不同的元素，且m是某个非负整数，称该集合是有限的或有穷的，否则称这个集合为无限的或无穷的。例如，在本书中常用有穷集有：Nm=0,1,2,m-1,本书中常见的无穷集合有：N=0,1,2,3,，即自然数集合。Z=,-2,-1,0,1,2,3,，即整数集合。Z+=1,2,3,，即正整数集合。Q=有理数集合。R=实数集合。C=复数集合。,4集合的幂集一个集合的幂集是指该集合所有子集的集合，即是由这些子集所组成的集合族。定义3.1.5 设A为一集合，A的幂集是一集合族，记为P(A)，P(A)=B|BA由定义可知，P(A)，AP(A)。,5文氏图文氏(Venn)图是一种利用平面上

8、的点构成的图形来形象展示集合的一种方法。全集U用一个矩形的内部表示，其他集合用矩形内的园面或一封闭曲线圈成的面积来表示。,如果AB，则表示A的圆面一般将完全落在表示B的圆面内，如图1中(a)。如果A与B没有公共元素，那么表示A的圆面将同表示B的圆面分开，如图3-1中(b)。当A和B是两个任意的集合时，可能会是：有些元素在A中但不在B中，有些元素在B中却不在A中，有些元素同时在A和B中，有些元素则既不在A中也不在B中，因此用图1中(c)表示任意两个集合A和B。,图 3-1,最后给出集合的形式定义结束本节。定义3.1.6 A为集合=(x)(xAA=)。这里等号“=”表示定义为的意义，是表示“定义为

9、”还是表示“一般相等”的意义，由上下文来区分。,3.2 集合运算及其性质,集合运算是指用已知的集合去生成新的集合。假设所有集合都是全集U的子集，即这些集合是利用子集公理得到的。下面依次介绍常见的集合运算。,1并、交和差运算定义3.2.1 设A和B是任意两个集合，A和B的并是集合，记为AB，AB=x|xAxB A和B的交是集合，记为AB，AB=x|xAxB A和B的差，或B关于A的相对补是集合，记为A-B，A-B=x|xAxB,定义3.2.2 若A和B是集合，且AB=，则称A和B是不相交的。如果C是个集合族，且C中任意两个不同元素都不相交，则称C中集合是两个不相交的，或称C是两两不相交的集合族。

10、,定理3.2.1 任给集合A，B和C，则：AB=BA AB=BA(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)该定理表明，集合并和交运算满足交换律和结合律。,定理3.2.2 任给集合A、B和C，则 A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)该定理表明，集合运算并对交、交对并都是可分配的。,定理3.2.3 任给集合A，B，C和D，则 若AB，则AB=B，AB=A 若AB和CD，则ACBD，ACBD,推论3.2.3 AU=U，AU=A定理3.2.4 任给集合A，B和C，则 A-(BC)=(A-B)(A-C)A-(BC)=(A-B)(A-C),定义3.2.3 设A是含有元素为集合的集合，

11、或者集合族。A的并是集合，记为A，A=x|(B)(BAxB)=B A的交是集合，记为A，A=x|(B)(BAxB)=B,B A,B A,定义3.2.4 集合A的补是集合，记为A，A=U-A=x|xUxA=x|xA定理3.2.5 任给集合A，则 AA=U，AA=。,定理3.2.6 任给集合A和B，则B=A iff AB=U 且 AB=该定理表明了若A的补是B，则B的补是A，即A和B互补。补的唯一性。推论3.2.5 U=，=U定理3.2.7 任给集合A，则A”=A。该定理表明了，A的补的补是A。,定理3.2.8 任给集合A和B，则(AB)=AB，(AB)=AB。定义3.2.5 任给集合A和B，A和

12、B的对称差是集合，记为AB，AB=(A-B)(B-A)=x|(xAxB)(xBxA),定理3.2.9 任给集合A和B，则AB=(AB)(AB)=(AB)-(AB)推论3.2.9 AB=AB AB=BA AA=,2集合代数与对偶原理本小节将形式地讨论由集合、集合变元、集合运算和圆括号所构成的集合代数以及集合代数中的对偶原理。与命题逻辑相似，对于给定集合实行集合运算，可以生成新的集合。同用大写英文字母表示确定集合一样，也用大写字母表示不确定的集合，前者称为集合常元，后者称为集合变元。集合变元用以集合常元代替后，才表示确定的集合。下面将给出集合的合式公式定义。,定义3.2.6 可按下列规则生成集合合

13、式公式：单个集合变元是集合合式公式。若A是集合合式公式，则A也是集合合式公式。若A和B是集合合式公式，则(AB)，(AB)，(A-B)和(AB)也都是集合合式公式。只有有限次使用、和构成的符号串才是集合合式公式。为方便计，简称集合合式公式为公式。,定义3.2.7 用任意集合常元取代两个集合公式中的各个集合变元，若所得集合是相等的，则称该二集合公式是相等的，简称等式。因为集合公式相等，不依赖于取代集合变元的集合，故常称这些等式为集合恒等式，或集合定律。它们刻划了集合运算的某些性质，这些性质描述一个代数，称为集合代数。下面列出常用集合定律：,（1）等幂律AA=A AA=A（2）结合律(AB)C=A

14、(BC)(AB)C=A(BC)（3）交换律 AB=BA AB=BA（4）分配律 A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)（5）幺律 A=A AU=A,（6）零律AU=U A=（7）补律 AA=U AA=（8）吸收律 A(AB)=A A(AB)=A（9）德摩根律(AB)=AB(AB)=AB（10）对合律(A)=A,下面介绍集合代数中的对偶原理，它与命题逻辑中对偶原理也很相似。对偶原理 设E是集合代数中等式，将E中的，U和的每一个出现分别代以，和U后得到一等式E*，称E*为E的对偶式。,显然，E也是E*的对偶式，即E与E*互为对偶。如果E是一集合恒等式，则E*也是一集合恒等式。可见

15、，上述的集合定律中，凡成对的定律都是为对偶的。,3.3 集合的笛卡尔积与无序积,笛卡尔积与无序积在后面讨论关系和图论时，都有重要应用。首先引入有序对和无序对的概念。定义3.3.1 两个元素a,b组成二元组，若它们有次序之别，称为二元有序组，或有序对，记为，称a为第一分量，b为第一分量；若它们无次序区分，称为二元无序组，或无序对,记为(a,b)。若ab时，。但(a,b)=(b,a)。,定义3.3.2 给定两个有序对和。当且仅当x=u和y=v时，有序对和相等，亦即=iff(x=u)(y=v),可将有序对推广到n元有序组，它的第一分量是(n-1)元有序组，并记为,xn，或记为。类似地定义两个n元有序

16、组相等：=iff(x1=y1)(x2=y2)(xn-1=yn-1)(xn=yn)下面将使用有序对和无序对分别定义笛卡儿积和无序积。,定义3.3.3 给定集合A和B，若有序对的第一分量是A的元素，第二分量是B的元素，所有这些有序对的集合，称为A和B的笛卡尔积，记为AB，AB=|xAyB,定义3.3.4 给定集合A和B，若无序对是由A中元素和B中元素组成，所有这些无序对的集合，称为A和B的无序积，记为A&B。A&B=(x,y)|xAyB,定理3.3.1 任给集合A，B和C，则 A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)(AB)C=(AC)(BC)(AB)C=(AC)(BC),笛卡尔积的概念可以推广到n个集合A1,A2,An的笛卡尔积，它可表成：Ai=(A1A2An-1)An，n2。用归纳法不难证明，若Ai(1in)是有穷集合，则|A1A2An|=|A1|A2|An|。,