第三章随机向量.ppt
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1、第三章 随机向量,3.1 随机向量的分布,一、随机向量及其分布函数,n维随机向量:书P72定义3.1,联合分布函数:书P72定义3.2,我们主要讨论二维情形,1、二维随机变量 设X和Y是定义在(,P)上的两个随机变量,则称(X,Y)为二维随机变量或二维随机向量。,二维随机变量的例子,2、联合分布函数 定义:设(X,Y)是二维随机变量,x、y是任意实数,函数F(x,y)=PXx,Yy称为(X,Y)的分布函数,或称随机变量X与Y的联合分布函数,x,y,(x,y),y,Xx,(x,y),X,Y,x,y,Yy,二元分布函数的几何意义,边缘分布函数,FX(x)=PXx,Y+,FY(y)=PX+,Yy,x
2、,x,y,x,y,y,联合分布函数的性质,(1)0F(x,y)1;,(2)F(-,-)=0 F(+,+)=1;,对于任意固定的 Y,对于任意固定的 X,(4)F(x,y)关于x右连续,关于y右连续,即 F(x+0,y)=F(x,y)F(x,y+0)=F(x,y),(3)F(x,y)对x和y分别是不减函数.,对于任意固定的 y,当 x1 x2时,对于任意固定的 x,当 y1 y2时,x,y,说 明,上述五条性质是二维随机变量分布函数的最基本的性质,即任何二维随机变量的分布函数都具有这五条性质;更进一步地,我们还可以证明:如果某一二元函数具有这五条性质,那么,它一定是某一二维随机变量的分布函数(证
3、明略),例1已知二元函数,判断它是否为某二维随机变量的分布函数,故它不是某二维随机变量的分布函数,二、二维离散型随机变量及分布,定义:如果二维随机变量(X,Y)所有可能取的数对为有限个或可数个,则称(X,Y)为二维离散型随机变量并且称,为(,)的概率分布,或称做与的联合概率分布简称联合分布,联合分布也可用表格列出,联合分布的性质:,例2袋内有四张卡片,分别写有、,每次从中任取两张,记,分别表示取到的两张卡片中的最小数字与最大数字,求与的联合分布。,例3.X表示随机的在14的4个整数中取出的一个数,Y表示在1X个整数中随机地取出的一个数,求与的联合分布,解:,由题意知,X=i,Y=j的取值情况是
4、:i=1,2,3,4,且是等可能的;然后 j 取不大于 i 的正整数。由乘法公式求得(X,Y)的分布律。,X,1 2 3 4,Y,1234,例4 二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:,求:(1)常数a的取值;(2)P(X0,Y1);(3)P(X1,Y1),解(1)由pij=1得:a=0.1,(2)由P(X,Y)D=,(2)P(X0,Y1)=,P(X=0,Y=0)+,P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1),=0.1+0.2+0.1+0.2,=0.6,(3)P(X1,Y1),=P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0),+P(X=0,Y=1)
5、+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1),=0.75,例5.将一枚均匀的硬币抛掷4次,X表示正面向上次数,Y表示反面朝上次数,求(X,Y)的联合概率分布.,解 X的所有可能取值为0,1,2,3,4,Y的所有可能取值为0,1,2,3,4,因为X+Y=4,所以(X,Y)概率非零的数值对为:,X Y0 41 3 2 23 14 0,P(X=0,Y=4)=,0.54=1/16,P(X=1,Y=3)=,=1/4,P(X=2,Y=2)=,=6/16,P(X=3,Y=1)=,=1/4,P(X=4,Y=0)=0.54=1/16,联合概率分布表为:,Y 0 1 2 3 4,X01234,0 0 0 0 1/
6、160 0 0 1/4 00 0 6/16 0 00 1/4 0 0 01/16 0 0 0 0,例6.设随机变量YN(0,1),令,求(X1,X2)的联合概率分布。,解:(X1,X2)的取值数对为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),P(X1=0,X2=0)=P(|Y|1,|Y|2),=P(|Y|2),=1-P(|Y|2),P(X1=0,X2=1)=P(|Y|1,|Y|2),=P(1|Y|2),=P(-2Y-1)+P(1Y2),=2P(1Y2),P(X1=1,X2=0)=P(|Y|1,|Y|2),=0,P(X1=1,X2=1)=P(|Y|1,|Y|2),=P(|Y|1),联合概率分
7、布表为:,X2 0 1,X101,0.0455 0.2719 0 0.6826,二维离散型随机变量的边缘分布,例7.书P75 例3.1,例8.书P75 例3.2,边缘分布具有一元随机变量分布列的性质,联合分布唯一决定边缘分布,例9.设(X,Y)的联合概率分布为:,求:(1)X,Y的边缘分布;(2)X+Y的概率分布.,X-1 0 1P 0.25 0.4 0.35,Y 0 1 2P 0.25 0.5 0.25,解(1)得,(2)X+Y的取值为-1,0,1,2,3,P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05,P(X+Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=-1,Y=1)=0.2,P(X+Y
8、=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=-1,Y=2)=0.4,同理,P(X+Y=2)=0.3,P(X+Y=3)=0.05,所以,X+Y-1 0 1 2 3 P 0.05 0.2 0.4 0.3 0.05,例10.已知随机变量X和Y的分布列分别为,且已知PXY=0=1,求X与Y的联合分布,解:,由于PXY=0=1,所以PXY0=0,X-101,Y 0 1,0.250.50.25,0.5 0.5,三.连 续型随机向量的联合概率密度,边缘概率密度,1、书P76定义3.5,2、性质(1)f(x,y)0,(x,y)R2,在几何上 z=f(x,y)表示空间的一个曲面,上式即表示 P(
9、X,Y)G的值等于以 G 为底,以曲面 z=f(x,y)为顶的柱体体积,3边缘概率密度函数及边缘分布函数,边缘分布函数,边缘密度具有一元随机变量密度函数的性质,联合密度函数唯一决定边缘密度函数,4、二维连续型常见分布,二维均匀分布,对于G中任意可度量子区域D有,二维均匀分布几何意义,二维正态分布,(书P79),可以证明 若,则X,Y的边缘概率密度分别为 XN(1,12),Y N(2,22);,即 二维正态分布(X,Y)的边缘概率密度是一维正态分布.由此可知随机向量的联合概率密度完全决定了它的边缘概率密度,反之不一定成立.,例11.设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为,求(X,Y)关于X,Y
10、的边缘概率密度.,X,Y的边缘概率密度为一维正态分布.,所以,边缘概率密度为一维正态分布的二维随机向量不一定是二维正态分布.,例1.书例.先求待定参数,1,y=x,1,x=y,o,y=x,y,1,x,y,o,1,y=x2,x,y,o,x,y,0,y=x,1,y,x,0,1,x=y,3.2随机变量的独立性,说 明,例1.书P113习题7,二、离散型随机变量的独立性,例2.(X,Y)的联合概率分布为:,(1)求X,Y的边缘分布;(2)判断X,Y是否独立.(3)求F(0,2).,解:(1)X,Y的概率分布分别为:,X 0 1P 0.7 0.3,Y 0 1P 0.5 0.5,(2)P(X=0,Y=0)
11、=0.3,P(X=0)P(Y=0),=0.70.5,=0.35,X,Y不独立,注意:X,Y独立时,需对所有的(xi,yj)一一验证.,(3)F(0,2)=P(X0,Y2)=0.3+0.4=0.7,例4 设随机变量X和Y相互独立,试将下表补充完整.,1/24,1/4,1/12,3/4,1/2,3/8,1/4,1/3,三.连续型随机变量的独立性,说 明,例5.设(X,Y)服从区域D上的均匀分布,判断X,Y的独立性,其中(1)D=(x,y),|x|1,|y|1;(2)D=(x,y),x2+y21,解(1),fX(x)=,|x|1,0,|x|1,同理,fY(y)=,所以,X,Y独立.,(2),X,Y不
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