矩阵运算和行列式.ppt

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1、第二章 矩阵运算和行列式,2.1 矩阵及其运算,一.矩阵与向量,1.mn矩阵,元素:aij(i=1,m,j=1,n),2.2 2.3 2.4 2.5,注:元素都是实(复)数的矩阵称为实(复)矩阵.今后除非特别说明,我们所考虑的矩阵都 是实矩阵.,例1.某厂家向三个代理商发送四种产品.,第二章 矩阵运算和行列式,2.1 矩阵及其运算,第二章 矩阵运算和行列式,2.1 矩阵及其运算,例2.四个城市间的单向航线如图所示.若aij表示从i市 到j市航线的条数,则右图可用矩阵表示为,例3.直线的一般方程,第二章 矩阵运算和行列式,2.1 矩阵及其运算,3.向量,n维行向量:1n矩阵a1,a2,an,n维

2、列向量:n1矩阵,第i分量:ai(i=1,n),n阶方阵:nn矩阵,2.方阵,第二章 矩阵运算和行列式,2.1 矩阵及其运算,4.两个矩阵的行数相等,列数也相等时,称 它们是同型矩阵.,5.若两个同型矩阵A=aijmn与B=bijmn 满足:对于任意的1 i m,1 j n,aij=bij都成立,则称这两个矩阵相等,记 为A=B.,二.矩阵的线性运算,1.加法,两个同型矩阵A=aijmn与B=bijmn的和C定义为:C=cijmn=aij+bijmn.,第二章 矩阵运算和行列式,2.1 矩阵及其运算,注:若矩阵A=(aij)mn的元素都是零,则称之 为零矩阵,记为Omn.在不引起混淆的情况下,

3、简记为O.,设矩阵A=(aij)mn,记A=(aij)mn,称 之为A的负矩阵.,设A,B是同型矩阵,则它们的差定义为 A+(B).记为A B.即A B=A+(B).,第二章 矩阵运算和行列式,2.1 矩阵及其运算,2.数乘,设矩阵A=(aij)mn,数k与A的乘积定义为(kaij)mn,记为kA或Ak.,注:矩阵加法和数乘运算统称为矩阵的线性运 算.,第二章 矩阵运算和行列式,2.1 矩阵及其运算,3.性质,定理2.1 设A,B,C,O是同型矩阵,k,l是数,则,(1)A+B=B+A,(2)(A+B)+C=A+(B+C),(3)A+O=A,(4)A+(A)=O,(5)1A=A,(6)k(lA

4、)=(kl)A,(7)(k+l)A=kA+lA,(8)k(A+B)=kA+kB.,第二章 矩阵运算和行列式,2.1 矩阵及其运算,三.矩阵与矩阵相乘,例4.某厂家向三个代理商发送四种产品.,第二章 矩阵运算和行列式,2.1 矩阵及其运算,例5.四个城市间的单向航线如图所示.若aij表示从i市直达j市航线的条数,则右图可用矩阵表示为,若bij表示从i市经另外一个城市到j市航线的条数,则由右图可得矩阵,其中bij=ai1a1j+ai2a2j+ai3a3j+ai4a4j.,第二章 矩阵运算和行列式,2.1 矩阵及其运算,1.设A=(aij)ms,B=(bij)sn,则A与B的乘积是 一个mn矩阵C=

5、(cij)mn,其中,记为C=AB.称AB为“以A左乘B”或“以B 右乘A”.,第二章 矩阵运算和行列式,2.1 矩阵及其运算,2.矩阵乘积的特殊性(1)只有当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时,乘积AB才有意义.(2)若A是一个mn矩阵,与B是一个nm矩阵,则AB和BA都有意义.但AB是一个m阶方 阵,BA是一个n阶方阵.当m n时,AB 与 BA谈不上相等不相等.即使m=n,AB与BA是同阶方阵也未必相.例如:,第二章 矩阵运算和行列式,2.1 矩阵及其运算,第二章 矩阵运算和行列式,2.1 矩阵及其运算,定理2.2 设k是数,矩阵A,B,C 使以下各式中 一端有意义,则另一端也有意义并且 等

6、式成立,(1)(AB)C=A(BC),(2)A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC,(3)(kA)B=k(AB).,对于(1)的证明,我们先来看一个具体的例子:,第二章 矩阵运算和行列式,2.1 矩阵及其运算,a11 a12 a13a21 a22 a23,A=,b11 b12 b21 b22b31 b32,B=,c11 c12 c21 c22,C=,.,我们比较(AB)C和A(BC)的“规格”以及它们的 第一行第一列处的元素.,第二章 矩阵运算和行列式,2.1 矩阵及其运算,一般地,设A=aijmk,B=bijks,C=cijsn,AB=U=uijms,BC=V=vijkn,则(A

7、B)C=UC与A(BC)=AV 都是mn矩阵,且(AB)C=UC的(i,j)元素是,它恰好是A(BC)=AV的(i,j)元素.,可见(AB)C=A(BC).,第二章 矩阵运算和行列式,2.1 矩阵及其运算,结合律的妙用之一,设A=BC,我们可以定义A的正整数幂,(还有“妙用之二”喔!),A1=A,A2=AA,Ak+1=AkA,对于这里的A,A2005=,?,当然,对于任意方阵A,都可以像上面这样去 定义A的正整数幂.而且有如下结论,第二章 矩阵运算和行列式,2.1 矩阵及其运算,AkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl,(AB)k=AkBk,注:不能说,“因为AB=BA未必成立,所以(AB)k=

8、AkBk 未必成立”.,AB BA,但(AB)k=AkBk成立.,第二章 矩阵运算和行列式,2.1 矩阵及其运算,(AB)k=AkBk,要说明即使A与B是同阶方阵,也未必成立,只要举出一个反例即可.,当然这里AB BA,第二章 矩阵运算和行列式,2.1 矩阵及其运算,补充.数学归纳法,1.第一数学归纳法原理:,设P是一个关于自然数n的命题,若 P对于n=n0成立.当nn0时,由“n=k时P成立”可推出“n=k+1时P成立”,则P对于任意的自然数nn0成立.,第二章 矩阵运算和行列式,2.1 矩阵及其运算,2.第二数学归纳法原理:,设P为一个关于自然数n的命题,若 P对于n=n0成立,由“n0

9、n k时P成立”可推出“n=k+1时P成立”,则P对于任意的自然数nn0成立.,第二章 矩阵运算和行列式,2.1 矩阵及其运算,证明:当n=1时,结论显然成立.,假设结论对于n=k成立,即,则Ak+1=AkA,第二章 矩阵运算和行列式,2.1 矩阵及其运算,cos sin sin cos,Ak+1=AkA,cosk sink sink cosk,=,因此对于任意正整数n,成立.,第二章 矩阵运算和行列式,2.1 矩阵及其运算,四.矩阵的转置,为A的转置.,则称矩阵,第二章 矩阵运算和行列式,2.1 矩阵及其运算,定理2.3 矩阵的转置运算满足如下性质,(1)(AT)T=A,(2)(A+B)T=

10、AT+BT,(3)(kA)T=kAT,(4)(AB)T=BTAT.,五.几种特殊的矩阵,1.对称矩阵,若矩阵A满足AT=A,则称A为对称矩阵.,矩阵A=aijmn为对称矩阵的充分必要条件是:m=n且aij=aji(i,j=1,2,n).,第二章 矩阵运算和行列式,2.1 矩阵及其运算,2.对角矩阵,方阵A=aijnn的a11,a22,ann称为对角线 元素.,若方阵A=aijnn除了对角线元素(可能不是 0)以外,其它元素都是0,则称A为对角矩阵.,对角线元素依次为1,2,n的对角矩阵 有时也记为=diag1,2,n,即,第二章 矩阵运算和行列式,2.1 矩阵及其运算,3.数量矩阵,若对角矩阵

11、A=aijnn的对角线元素为同一 个数,则称A为数量矩阵(纯量矩阵).,可以证明方阵A=aijnn为数量矩阵的充分 必要条件是对于任意n阶矩阵B,AB=BA.,4.单位矩阵,称为n阶单位矩阵.,第二章 矩阵运算和行列式,2.1 矩阵及其运算,注:对于n阶方阵A 可以证明下列条件等价:(i)A为单位矩阵;(ii)对于任意nm矩阵B,AB=B.(iii)对于任意mn矩阵C,CA=C.,有时我们也把n阶单位矩阵In简记为I.有的书上用En表示n阶单位矩阵,简记 为E.,利用克罗内克(Kronecker)记号,n阶单位矩阵In也可以表示为ijnn.,第二章 矩阵运算和行列式,2.1 矩阵及其运算,六.

12、方阵的多项式,设A为一个方阵,f(x)为一个多项式,称之为方阵A的一个多项式.,f(x)=asxs+as1xs1+a1x+a0,规定,f(A)=asAs+as1As1+a1A+a0I,5.反对称矩阵,若矩阵A满足AT=A,则称A为反对称矩阵.,可以证明任何一个方阵都可以写成一个对 称矩阵与一个反对称矩阵的和.,第二章 矩阵运算和行列式,2.2 方阵的行列式,2.2 方阵的行列式,一.二元线性方程组与二阶行列式,(a11a22a12a21)x1=b1a22a12b2(a11a22a12a21)x2=a11b2b1a21,当a11a22a12a21 0时,第二章 矩阵运算和行列式,则当D=a11a

13、22a12a21 0时,2.2 方阵的行列式,x1=,b1a22a12b2,a11a22a12a21,有唯一确定的解,x2=,a11a22a12a21,a11b2b1a21,问题:能用对角线法则定义四阶行列式吗?用对角线法则定义的“四阶行列式”有 用吗?,第二章 矩阵运算和行列式,2.2 方阵的行列式,仿照三阶行列式的对角线法则可得,=1212 11(1)1=4+1=5.,=3212 15(1)1=12+5=17.,但方程组,有唯一解,第二章 矩阵运算和行列式,2.2 方阵的行列式,二.排列的逆序数与奇偶性,全排列 把n个不同的元素排成一列全排列,叫做 这n个元素的全排列(简称排列).,n个不

14、同元素的所有排列的种数通常用 Pn表示.,例如,用1,2,3三个数字可以组成如下6个 没有重复的三位数:123,132,213,231,312,321一般地,Pn=n!=n(n1)21.,第二章 矩阵运算和行列式,2.2 方阵的行列式,2.逆序数,对于n个不同的元素,先规定各元素之间的 一个标准次序(如 n个不同的自然数,可规定由小到大的次序为标准次序),一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列 的逆序数.,逆序数为奇(偶)数的排列称为奇(偶)排列.,于是在这n个元素的任意一个排列中,当某 两个元素的先后次序与标准次序不同时,就说有一个逆序.,第二章 矩阵运算和行列式,2.2 方阵的行列式,例1.

15、求下列排列的逆序数(1)32514,(2)(2n)(2n2)4213(2n3)(2n1).,3.对换,在排列中,将任意两个元素对调,其余的元素不动,称为对换.将相邻的两个元素对调,称为邻对换.,注:任一邻对换都改变排列的奇偶性.,任一对换都可通过奇数次邻对换来实现.,第二章 矩阵运算和行列式,2.2 方阵的行列式,定理2.4.每一个对换都改变排列的奇偶性.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,推论.n2时,n个元素的所有排列中,奇、偶 排列各占一半,即各有n!/2个.,第二章 矩阵运算和行列式,2.2 方阵的行列式,三.n阶行列式的定义,三阶行列式的特点,每一项都是

16、三个元素的乘积.,=a11 a22 a33+a12 a23 a31+a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31.,每一项的三个元素都位于不同的行和列.,行列式的6项恰好对应于1,2,3的6种排列.,各项系数与对应的列指标的排列的奇偶性 有关.,第二章 矩阵运算和行列式,2.2 方阵的行列式,a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33,j1 j2 j3的逆序数,对所有不同的三级排列 j1 j2 j3求和,第二章 矩阵运算和行列式,2.n阶行列式的定义,注:当n=1时,一阶行列式|a11|=a11,这与绝 对值符号的意义

17、是不一样的.,设A=aij为n阶方阵,A的行列式记为|A|,或detA.,2.2 方阵的行列式,第二章 矩阵运算和行列式,3.几个特殊的行列式,=12n,12n.,(1)对角行列式,2.2 方阵的行列式,第二章 矩阵运算和行列式,(2)上(下)三角形行列式,=a11 a22ann.,=a11 a22ann.,事实上,只有pi i(i=1,2,n)时,才有可能不为0.,若有某个pk k,则必然有若有某个pl l,否则1+2+n=p1+p2+pn 1+2+n,矛盾!,2.2 方阵的行列式,第二章 矩阵运算和行列式,例2.设A=aijnn,证明f()=|IA|是的n次 多项式,并求n,n1的系数及常

18、数项.,f()=|IA|=,d1=(a11)(a22)(ann),f(0)=|A|=(1)n|A|.,A的迹,记为trA,2.2 方阵的行列式,第二章 矩阵运算和行列式,4.n阶行列式的另外一种定义,2.2 方阵的行列式,第二章 矩阵运算和行列式,2.3 行列式的性质及计算,2.3 行列式的性质及计算,一.行列式的性质,性质1.DT=D.,记D=,行列式DT称为D的转置.记bij=aji,则 DT,DT=,第二章 矩阵运算和行列式,2.3 行列式的性质及计算,性质2.互换行列式中的两行(列),行列式变号.,证明:记互换行列式D中的第k,l行得到的行列式为D1.,=D.,第二章 矩阵运算和行列式

19、,2.3 行列式的性质及计算,注:互换第k,l行记为rkrl,互换第k,l列记为ckcl.,推论.如果行列式D中有两行(列)完全相同,那么D=0.,性质3.行列式的某一行(列)的公因子可以 提到行列式记号外.,事实上,若行列式D中有两行完全相同,交换 这两行,得D=D.,因此D=0.,对于有两列完全相同的情形,可类似地证明.,第二章 矩阵运算和行列式,2.3 行列式的性质及计算,第二章 矩阵运算和行列式,2.3 行列式的性质及计算,性质4.若行列式D中有两行(列)元素成比例,则D=0.,=0.,性质5.行列式可按某一行(列)拆成两个行列式 之和.如|A1,As+Bs,An|=|A1,As,An

20、|+|A1,Bs,An|.,第二章 矩阵运算和行列式,2.3 行列式的性质及计算,例1.,=,=,+,第二章 矩阵运算和行列式,2.3 行列式的性质及计算,性质6.把行列式的某一行(列)元素乘以同一 个数,再加到另一行(列)对应的元素上 去,行列式的值不变.,第二章 矩阵运算和行列式,2.3 行列式的性质及计算,注:用常数k乘行列式D中的第j行(列)再加到第 i行(列)上,记为ri+krj(ci+kcj).,例2.,=14.,第二章 矩阵运算和行列式,2.3 行列式的性质及计算,第二章 矩阵运算和行列式,2.3 行列式的性质及计算,=40.,=5,1 1 0 0 0 2 1 10 6 3 4

21、0 2 1 2,2,第二章 矩阵运算和行列式,2.3 行列式的性质及计算,=48.,第二章 矩阵运算和行列式,2.3 行列式的性质及计算,=a4.,第二章 矩阵运算和行列式,2.3 行列式的性质及计算,注:有些书上将上述转化过程用 rkrj,ckcj,ri+krj,ci+kcj 等记号表示,并写在等号的上方或下方.但这样不够直观.为了不引起混淆,每步最好只进行一个 操作.例如:,第二章 矩阵运算和行列式,2.3 行列式的性质及计算,例3.设D=,证明:D=D1D2.,证明:对D1施行ri+krj 这类运算,把D1化为下三 角形行列式:,=p11 pmm,应用,第二章 矩阵运算和行列式,2.3

22、行列式的性质及计算,对D2施行ci+kcj 这类运算,把D2化为下三角形行列式:,于是对D的前m行施行上述ri+krj 运算,再对D的后n列 施行上述施行ci+kcj 运算,可得:,=p11 pmm q11 qnn=D1D2.,第二章 矩阵运算和行列式,2.3 行列式的性质及计算,性质7.方阵乘积的行列式等于方阵行列式的 乘积,即对于同阶方阵A,B,有如下乘 法公式|AB|=|A|B|.,二.行列式按行(列)展开,=a11a22 a12a21,=a11(1)1+1a22+a12(1)1+2a21,第二章 矩阵运算和行列式,2.3 行列式的性质及计算,=a21a12+a11a22,=a21(1)

23、2+1a12+a22(1)2+2a11,第二章 矩阵运算和行列式,2.3 行列式的性质及计算,第二章 矩阵运算和行列式,应用本节的例3,2.3 行列式的性质及计算,第二章 矩阵运算和行列式,拆,移,降,按第三行展开,2.3 行列式的性质及计算,第二章 矩阵运算和行列式,一般地,在n阶行列式中,把元素aij所在的第i行 和第j列划去,留下来的n1阶行列式叫做元素aij的余子式,记作Mij,令Aij=(1)i+jMij,并称之为aij的代数余子式.例如,四阶阶行列式,中a32的余子式为,代数余子式A32=(1)3+2M32=M32.,2.3 行列式的性质及计算,第二章 矩阵运算和行列式,定理2.5

24、.n阶行列式D等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积 之和.即,D=a11A11+a12A12+a1nA1n=a21A21+a22A22+a2nA2n=an1An1+an2An2+annAnn=a11A11+a21A21+an1An1=a12A12+a22A22+an2An2=a1nA1n+a2nA2n+annAnn.,2.3 行列式的性质及计算,第二章 矩阵运算和行列式,例4.计算D2n=,.,2.3 行列式的性质及计算,D2n=adD2(n1)bcD2(n1).,依次类推可得D2n=(ad bc)n.,第二章 矩阵运算和行列式,2.3 行列式的性质及计算,例5.证明n阶级(

25、n2)范德蒙(Vandermonde)行列式,证明:当n=2时,D2=(a2 a1).现设等式对于(n1)阶范德蒙行列式成立,则,第二章 矩阵运算和行列式,2.3 行列式的性质及计算,Dn=,1 1 1a1 a2 ana12 a22 an2 a1n-1 a2n-1 an n-1,(a1),(a1),(a1),第二章 矩阵运算和行列式,=(a2a1)(a3a1)(ana1),2.3 行列式的性质及计算,第二章 矩阵运算和行列式,2.3 行列式的性质及计算,前面我们得到,=a31A31+a32A32+a33A33.,下面来看a11A31+a12A32+a13A33=?,a11A31+a12A32+

26、a13A33=,推广到一般情形,我们有如下结论:,由定理2.5容易看出,第二章 矩阵运算和行列式,2.3 行列式的性质及计算,命题2.1.n阶行列式的某一行(列)元素与另一行(列)的对应的代数余子式乘积之和为零.即 ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0(i j)a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0(i j).,定理2.6.设n阶行列式D=|aij|,则,第二章 矩阵运算和行列式,2.4 逆矩阵,2.4 逆矩阵,一.可逆矩阵,1.定义:设A为方阵,若存在方阵B,使得 AB=BA=I.则称A可逆,并称B为A的逆矩阵.2.逆矩阵的唯一性,事实上,若AB=BA=I,AC=CA=I,则B

27、=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C.今后我们把可逆矩阵A的逆矩阵记为A1.,命题2.2.设方阵A可逆,则其逆矩阵是唯一的.,第二章 矩阵运算和行列式,2.4 逆矩阵,3.设A=aijnn为方阵,元素aij的代数余子式 为Aij,则称如下矩阵,为方阵A的伴随矩阵.,命题2.3.设A为方阵,A*为其伴随矩阵.则AA*=A*A=|A|I.,由定理2.6可得,第二章 矩阵运算和行列式,2.4 逆矩阵,事实上,由AB=BA=I得 1=|I|=|AB|=|A|B|.,命题2.4.设A为方阵,若A可逆,则|A|0.,4.逆矩阵的存在性,定理2.7.方阵A可逆的充分必要条件是|A|0.,当|A|0时,有

28、,注.设A为方阵,若|A|=0,则称之为奇异(或退化)矩阵.若|A|0,则称之为非奇异(或非退化)矩阵.可见,A可逆|A|0 A非奇异(非退化).,第二章 矩阵运算和行列式,2.4 逆矩阵,推论.设A,B为方阵,若AB=I(或BA=I),则B=A1.,=(BA)A1=IA1=A1.,事实上,AB=I,|A|0,A可逆,B=IB=(A1A)B,=A1(AB)=A1I=A1.,BA=I,|A|0,B=BI=B(AA1),A可逆,例6.设方阵A满足A32A2+3AI=0.证明:A及A 2I可逆,并求它们的逆矩阵.,第二章 矩阵运算和行列式,2.4 逆矩阵,例7.求下列方阵的逆矩阵.,解:(1),(2

29、)|B|=2 0,B21=6,B31=4,B12=3,B22=6,B32=5,B13=2,B23=2,B33=2.,第二章 矩阵运算和行列式,2.4 逆矩阵,求矩阵X使AXB=C.,解:由例7可知A,B都可逆.故AXB=C A1AXB=A1C XB=A1C XBB1=A1CB1 X=A1CB1.,第二章 矩阵运算和行列式,2.4 逆矩阵,二.逆矩阵的运算性质,定理2.8.设A,B为同阶可逆方阵,数k 0.则,(1)(A1)1=A,|A1|=|A|1.,(2)(AT)1=(A1)T.,(3)(kA)1=k1A1.,(4)(AB)1=B1A1.,例9.设A与IA都可逆,G=(IA)1I,求证G也

30、可逆,并求G1.,证明:G=(IA)1(IA)1(IA),=(IA)1(I(IA)=(IA)1A,G1=A1(IA)=A1 I.,第二章 矩阵运算和行列式,2.4 逆矩阵,可以表示为Ax=b.,则线性方程组,三.克拉默法则,下面讨论A为n阶方阵的情形.,第二章 矩阵运算和行列式,2.4 逆矩阵,对于n元线性方程组,第二章 矩阵运算和行列式,2.4 逆矩阵,按第一行展开得,bi D ai1D1 ai2D2 ainDn=0(i=1,2,n).当D 0时,移项整理可得,这就是说,第二章 矩阵运算和行列式,2.4 逆矩阵,又因为D 0时,A可逆,因而由Ax=b可得,x=A1b,即D 0时,Ax=b有唯

31、一的解.于是可得,定理2.9(Cramer法则).若系数行列式D=|A|0,其中 Dj 是用b替换D的第j列所得的行 列式(j=1,2,n).,则线性方程组Ax=b有唯一的解,第二章 矩阵运算和行列式,2.4 逆矩阵,若线性方程组Ax=b中b=,则称之为齐次线性方程组,否则称之为非齐次线性方程组.对于Ax=来说,它必然有一组零解 x1=x2=xn=0,若有一组不全为零的数构成Ax=的解,则称之为Ax=的非零解.,定理5.若齐次线性方程组Ax=的系数行列 式D=|A|0,则它只有零解.,2.齐次线性方程组与非齐次线性方程组,第二章 矩阵运算和行列式,2.5 矩阵的分块运算,一.分块矩阵的运算规则

32、,分块加法,其中Aij与Bij是同型的“小”矩阵.,2.5 矩阵的分块运算,则A+B可看成是分块矩阵的和,设矩阵A与B是同型的,采用相同的分块 法分块将A与B分块如下,第二章 矩阵运算和行列式,2.5 矩阵的分块运算,2.分块数乘,第二章 矩阵运算和行列式,2.5 矩阵的分块运算,3.分块乘法,设A为ml矩阵,B为l n矩阵,将它们分块如下,其中Ai1,Ai2,Ait的列数分别与B1j,B2j,Btj的 行数相等.,(i=1,2,s;j=1,2,r.),第二章 矩阵运算和行列式,2.5 矩阵的分块运算,求AB.,解:,于是AB=,第二章 矩阵运算和行列式,2.5 矩阵的分块运算,第二章 矩阵运

33、算和行列式,2.5 矩阵的分块运算,例11.设A,B为n阶可逆矩阵,I为n阶单位矩阵,求,解得X1=B-1A-1,X2=B-1,X3=A-1,X4=0.,第二章 矩阵运算和行列式,2.5 矩阵的分块运算,4.分块转置,第二章 矩阵运算和行列式,2.5 矩阵的分块运算,二.两种特殊的分块法,设A为mn矩阵,记Aj为A的第j列,i为A的 第i行(j=1,n,i=1,m),则有如下两种重要的分块方法,A=A1,A2,An,=1T,2T,nTT.,第二章 矩阵运算和行列式,2.5 矩阵的分块运算,设A为n阶矩阵,若A的分块矩阵只有主对角线上有非零子块,其余子块都为零矩阵,且非零子块都是方阵,即,其中A

34、1,A2,As都是方阵,则称A为分块对角矩阵(或准对角矩阵).,三.分块对角矩阵,1.定义,第二章 矩阵运算和行列式,2.5 矩阵的分块运算,则|A|=|A1|A2|As|.,2.分块对角矩阵的行列式,第二章 矩阵运算和行列式,2.5 矩阵的分块运算,则A可逆的充分必要条件是A1,A2,As都 可逆.且当A1,As都可逆时,有,3.分块对角矩阵的逆矩阵,理解矩阵的n维向量的概念；理解矩阵和向量的加法、数乘、乘法运算及矩阵 的转置及相关的运算性质，熟练掌握上述运算；理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三 角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义及其运算性质；理解二阶、三阶行列式的定义，熟练掌握它们的

35、计算；知道全排列及全排列的逆序数的定义，会计算排列的逆序数，知道对换及对换对于排列的奇偶性的影响；了解n阶行列式的定义，会用行列式的定义计算简单的n阶行列式；,第二章 矩阵运算和行列式,教学内容和基本要求,7.掌握行列式的性质，熟练掌握行列式按行、列展 开公式，了解行列式的乘法定理；8.掌握不很复杂的低阶行列式及简单的高阶行列式 的计算；9.理解矩阵的可逆性的概念，掌握矩阵可逆的判别 方法，掌握逆矩阵的性质；10.了解伴随矩阵的概念，熟练掌握伴随矩阵的性 质，掌握利用伴随矩阵计算矩阵的逆矩阵；11.理解Cramer法则，掌握用Cramer法则求方程组 的解的方法；12.了解分块矩阵的运算性质，掌握简单的分块矩阵 的运算规则。,第二章 矩阵运算和行列式,教学内容和基本要求,