矩阵的转置、乘法(初等变换)、逆.ppt
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1、矩阵的转置、乘法(初等变换)、逆,欧阳顺湘北京师范大学珠海分校,内容提要,矩阵的下列运算的性质与应用乘法转置初等变换逆,定义,由定义,一个行矩阵与一个 列矩阵的乘积是一个一阶方阵,也就是一个数:,乘法,定义中矩阵(=AB)的元素cij是矩阵A 的 第i 行元素与矩阵B的第j 列对应元素乘积之和.,注意 只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等 于第二个矩阵(右矩阵)的行数时,两个矩阵才 能相乘.,矩阵的乘法满足下述运算规律,矩阵的幂 A 是一个n 阶矩阵,k 是一个正整数,规定,矩阵的幂满足规律,其中 k,l 为正整数.,对于两个 n 阶矩阵 A与 B,一般说,例 8,矩阵的转置定义 把矩阵A的行列
2、(按原顺序互换)互换所得到的矩阵称为原矩阵的转置矩阵,以AT表示。即 A(aij)mn,AT(aji)nm,矩阵的转置满足下述运算规律,(ABC)TCTBTAT,对于多个矩阵相乘,有,证明:设,记,由矩阵的乘法定义,有,而BT的第i行为,AT的第j列为,因此,所以,即D=CT,亦即BTAT=(AB)T.,方阵的行列式运算满足下述规律:,定义 由 n 阶矩阵 A 的元素(按原来的位置),称为方阵 A 的行列式,构成的行列式,,方阵的行列式,那么,于是,2.设 A 为 3 阶矩阵,那么,于是,初等矩阵&初等变换,Recall 练习,三种初等变换,1 设,A=,计算并总结规律。,(),A,(),A,
3、A,A,A,A,(3),(5),(4),(6),A,A,A,A,A,A,定义 由单位 矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.,三种初等变换对应着三种初等方阵.,初等矩阵的概念,第i列,第j列,i列,j列,第i 列,Inverse Matrix,按照矩阵的乘法,线性方程组,可表示为矩阵的乘积 Ax=b 的形式,其中,如果 m=n,可考虑 x=b/A,一、概念的引入,在数的运算中,,当数 时,,有,其中 为 的倒数,,(或称 的逆);,在矩阵的运算中,,单位阵 相当于数的乘法运算中,的1。,因此在矩阵的运算中可以相应的引入逆矩阵的概念。,二、逆矩阵的概念和性质,例 设,说明 若 是可逆矩阵,
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- 矩阵 乘法 初等 变换
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