矩阵的相似对角化.ppt

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1、第2节 相似矩阵与矩阵的相似对角化,一、相似矩阵及其性质,二、n 阶矩阵与对角矩阵相似的条件,下页,2.1 相似矩阵及其性质,定义2 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得 P-1AP=B成立，则称矩阵A与B相似，记为AB.,例如，,因为,P-1AP,所以AB.,相似关系是矩阵间的一种等价关系，满足 自反性：A A 对称性：若AB，则BA 传递性：若AB，BC，则 AC,下页,定理1 如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.证明：因为P-1AP=B，,A与B有相同的特征多项式，,|lE-B|,=|P-1(lE)P-P-1AP|,=|lE-P-1AP|,=|P-1

2、(lE-A)P|,=|P-1|lE-A|P|,=|lE-A|，,所以它们有相同的特征值.,下页,定义2 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得 P-1AP=B成立，则称矩阵A与B相似，记为AB.,2.1 相似矩阵及其性质,相似矩阵还具有下述性质：(1)相似矩阵有相同的秩；(r(A)=r(B)(2)相似矩阵的行列式相等；(|A|=|B|)(3)相似矩阵的迹相等；(tr(A)=tr(B),(4)相似矩阵或都可逆或都不可逆.当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似.,下页,定理1 如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.,易见，,|A|=|B|，,且B-1=(P-1AP)-1

3、,=P-1A-1(P-1)-1,=P-1A-1P.,注意：有相同特征值的同阶矩阵未必相似,反例,注意：单位矩阵只能和它自己相似,解：由于A和B相似，所以Tr(A)=Tr(B),|A|=|B|,即,解：由于矩阵A和D相似，所以|A|=|D|,即|A|=|D|12.,下页,例1.若矩阵,相似，求x,y.,解得,例2.设3阶方阵A相似于,求|A|.,定理2 n阶矩阵A与n阶对角矩阵 L=diag(l1,l2,ln)相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.,必要性.设存在可逆矩阵P=(x1,x2,xn)使 P-1AP=L，,则有,可得 Axi=lixi(i=1,2,n).,因为P可逆，所以

4、x1,x2,xn 都是非零向量，因而都是A的特征向量，并且这n个特征向量线性无关.,证明：,=(l1 x1,l2 x2,lnxn),2.2 n阶矩阵与对角矩阵相似的条件,下页,(Ax1,Ax2,Axn),引理：n阶方阵Adiag(l1,l2,ln）则l1,l2,ln是A的特征值,充分性.设x1，x2，xn为A的n个线性无关的特征向量，它们所对应的特征值依次为l1，l2，ln，则有 Axi=lixi(i=1,2,n).,令 P=(x1,x2,xn)，则,=(l1x1,l2x2,ln xn),=A(x1,x2,xn),=(Ax1,Ax2,Axn),AP,=PL.,因为x1,x2,xn线性无关,所以

5、P可逆.用P-1左乘上式两端得 P-1AP=L，即矩阵A与对角矩阵L相似.,下页,定理2 n阶矩阵A与n阶对角矩阵 L=diag(l1,l2,ln)相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.,讨论：根据定理证明，怎样取可逆矩阵 P及对角矩阵L？,提示：,设 1，2，n为A 的 n个线性无关特征向量，它们所对应的特征值依次为l1，l2，ln，则取 P=(1,2,n)，L=diag(l1,l2,ln)。,下页,所以A与对角矩阵相似.,P-1AP,问题：若取P=(x2,x1)，问L=？,下页,推论 若n阶矩阵A有n个相异的特征值l1，l2，ln，则A与对角矩阵 L=diag(l1,l2,l

6、n)相似.,注意 A有n个相异特征值只是A可化为对角矩阵的充分条件,而不是必要条件.,且有Ax1=-2x1，Ax2=-2x2，Ax3=4x3，向量组是A的线性无关的特征向量.所以当P=(x1,x2,x3)时，有,P-1AP=diag(-2,-2,4).,下页,(1),解：(1)矩阵A的特征方程为,|lE-A|,矩阵A的特征值为 l1l2=1,l3-1，,对于特征值l3=-1，解线性方程组(-E-A)Xo，,对于特征值l1l2=1,解线性方程组(E-A)Xo，,=(l-1)2(l+1)=0，,(2),下页,例3.判断下列矩阵是否相似于对角阵,若相似求可逆矩阵P，使P-1 A P=L.,由于A有3

7、个线性无关的特征 向量x1，x，x，所以A相似于对角阵L.,所求的可逆矩阵为 P=(x1，x，x),对角阵为,满足 P-1 A P=L.,下页,(2),例3.判断下列矩阵是否相似于对角阵,若相似求可逆矩阵P，使P-1 A P=L.,(1),|lE-B|,=(l-2)(l-1)2=0，,矩阵B的特征值为 l1l2=1,l32.,对于特征值l1l2=1,解线性方程组(E-B)Xo，,对于特征值l3=2，解线性方程组(2E-B)Xo，,显然，B不能相似于对角阵.,下页,(2),例3.判断下列矩阵是否相似于对角阵,若相似求可逆矩阵P，使P-1 A P=L.,解：(2)矩阵B的特征方程为,(1),(1)

8、,(2),例3.判断下列矩阵是否相似于对角阵,若相似求可逆矩阵P，使P-1 A P=L.,由于B只有2个线性无关的特征向量1，所以不相似于对角阵。,思考：矩阵和都有重特征值为何相似于对角阵，而不相似于对角阵？,下页,解：由A和B相似可知，它们的迹、行列式都相等，即,l1l2=2,l36.,对于特征值l1l2=,解线性方程组(2E-A)Xo，,对于特征值l3=6，解线性方程组(6E-A)Xo，,由于A和B相似，且B是一个,所以,下页,例4.设矩阵A,B相似，其中,求x,y的值；求可逆矩阵P，使P-1AP=B.,解得,对角阵，可得A的特征值为,解：由所给条件知矩阵A的特征值为l11,l20,l3-1,a1,a2,a3是A对应于上述特征值的特征向量.,容易验证a1,a2,a3是3阶方阵A的3个线性无关的特征向量，,所以A相似于对角阵 Ldiag(1,0,-1).,取P(a1,a2,a3)，则有P-1 A P=L，所以 A=P L P-1,A 5=PL 5P-1=PL P-1=A.,下页,例5.设3阶方阵A满足Aa1=a1，Aa2=o，Aa3=-a3，其中a1=(1,2,2)T,a2=(0,-1,1)T,a3=(0,0,1)T,求A和A5.,作业,P128 5.（2）（3）P130 4,5,