牛顿-柯特斯求积公式.ppt

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1、第七章 数值积分与数值微分,第一节 等距节点的Newton-Cotes求积公式第二节 复化求积公式第三节（*）外推算法第四节 Gauss型求积公式,引 言,由于被积函数的原函数F(x)不可能找到，牛顿-莱布尼兹公式也就无能为力了。,下面推导插值型求积公式,设 x0,x1,xna,b,pn(x)是f(x)的n次Lagrange插值多项式,则有,插值型求积公式,其中,截断误差或余项为,li(x)为Lagrange插值基函数。,Ai(i=0,1,n)称为求积系数，xi(i=0,1,n)称为求积节点。,一、牛顿柯特斯求积公式的导出,将积分区间a,b n等分，节点xi为 xi=a+ih,i=0,1,2,

2、n其中h=(ba)/n。有,第一节 等距节点的牛顿柯特斯求积公式,当求积节点等距分布时，插值型求积公式称为牛顿柯特斯(Newton-Cotes)求积公式。,其中,Ci(n)称为柯特斯系数。,于是牛顿柯特斯求积公式为,引进变换 x=a+th,0tn,xj=a+jh,j=0,1,2,n,二、两种特殊的数值求积公式:,（1）梯形公式(n=1)x0=a,x1=b,h=b-a,c0(1)=c1(1)=1/2,梯形公式的几何意义是用四边梯形x0 ABx1的面积代替曲边梯形的面积。,（2）辛卜生公式(n=2),辛卜生公式又称为抛物线公式。,x0=a,x1=a+h,x2=b,h=(b-a)/2 C0(2)=1

3、/6,C1(2)=4/6,C2(2)=1/6,辛卜生公式的几何意义是用抛物线y=P2(x)围成的曲边梯形面积代替由y=f(x)围成的曲边梯形面积图2。,例：用梯形公式与辛卜生公式,求,的近似值。,解：,辛卜生公式,I=0.7668010,梯形公式,三、牛顿柯特斯系数,例 n=3 为3/8 辛卜生公式,x0=a,x1=a+h,x2=a+2h,x3=b,h=(b-a)/3,n=4为 Cotes 公式,x0=a,x1=a+h,x2=a+2h,x3=a+3h,x4=b,h=(b-a)/4,例：用Newton-Cotes公式计算 解：当n取不同值时，计算结果如下所示。I准=0.9460831,四、代数精

4、度,定义1：若求积公式 对一切不高于m次的多项式p(x)都等号成立，即R(p(x)=0;而对于某个m+1次多项式等号不成立，则称此公式的代数精度为m.,代数精度求法 从(x)=1,x,x2,x3依次验证求积公式是否成立，若第一个不成立的等式是xm,则其代数精度是m-1.,代数精度越高，数值求积公式越精确,定义2：若求积公式 对(x)=1,x,x2,x3xm,都等号成立，即R(xi)=0;而对于xm+1 等号不成立，则称此公式 的代数精度为m.,例1：证明下面数值求积公式具有1次代数精度.,所以求积公式具有1次代数精度。,例2：设有 成立，确定 A0、A1、A2，使上述数值求积公式的代数精度尽可

5、能高，并求代数精度。,解：分别取(x)=1，x，x2，则有 A0+A1+A2=2-A0+A2=0 A0+A2=2/3,解得 A0=1/3，A1=4/3，A2=1/3；,取(x)=x3，左=右=0；(x)=x4，左=-11x4dx=2/5 右=2/3,所以具有3次代数精度。,Newton-Cotes公式的代数精度,其中 n+1(x)=(x-x0)(x-x1).(x-xn-1)(x-xn)即求积公式 至少具有n次代数精度。,定理1：由n+1个互异节点x0、x1、x n构造的插值型求积公式的代数精度至少为n。,这里系数Aj只依赖于求积节点与积分区间,与f(x)无关。显然当f(x)是任何一个不超过n次

6、的多项式时,余项,由于Newton-Cotes公式是其特殊情形(等距节点),它的代数精度至少是n,还可以证明当n 为偶数时Newton-Cotes公式的代数精度至少是n+1.,定理2：当n为偶数时，由n+1个等距节点x0、x1、x n构造的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度至少为n+1。,五、Newton-Cotes公式的截断误差,带误差项的梯形公式是,证：已知辛卜生求积公式的代数精度为3，因此考虑构造一个三次插值多项式p3(x)满足下列条件,根据插值余项定理得：,得到截断误差,两边求定积分得,因此辛卜生求积公式的截断误差为,六、Newton-Cotes公式的数值稳定性,初步看来似乎n值越大，代数精度越高。是不是 n 越大越好呢？答案是否定的。考察Newton-Cotes公式的数值稳定性，即讨论舍入误差对计算结果的影响。,但是,Newton-Cotes公式的系数在当n=8 时,出现负数，说明当n8时，稳定性将得不到保证,另一方面误差项中有高阶导数，一般地说，难以进行误差估计。因此，在实际计算中，不用高阶的牛顿柯特斯求积公式,一般我们只取n=1,2,4。,二版习题P276-2,7(1),三版习题P250-2,4,8(1),