清华微积分(高等数学)课件第二讲函数极限.ppt

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1、2023/6/22,1,作业,P34习题2.1 3(2)(3).P39习题2.2 1(2)(3).2(2)(6)(9)(13).3(1),预习：P4049,2023/6/22,2,第二讲 函数极限,一、函数极限,二、函数极限的性质,三、函数极限的运算法则,四、两个重要极限,五、无穷小量与无穷大量,2023/6/22,3,极限的重要性,（1）极限是一种思想方法,（2）极限是一种概念,（3）极限是一种计算方法,从认识有限到把握无限,从了解离散到理解连续,微积分中许多概念是用极限定义的,许多物理、几何量需要用极限来求,2023/6/22,4,函数极限问题是研究当自变量,一、函数的极限,趋向于,的变化

2、趋势,或趋向于无穷大时，函数,（两种基本变化趋势）,趋向于一点,(一)自变量的变化,趋向于无穷,2023/6/22,5,定义1：,（二）函数极限的定义,1.函数在一点的极限,2023/6/22,6,注意,考虑空心邻域，是什麽意思？,考虑函数在一点的极限时，不考虑函数在该点处是否有定义，定义的值是什麽，但是，在附近必须要有定义。,例1,2023/6/22,7,例2,2023/6/22,8,定义2：,（左、右极限）,2023/6/22,9,一点极限与单侧极限有什麽关系？,例,观察图形,问题：,2023/6/22,10,2.函数在无穷远的极限,定义3：,类似的可定义,或,2023/6/22,11,例

3、如,2023/6/22,12,定义4：,3.函数极限的精确定义,2023/6/22,13,二、函数极限的性质,性质2:（有界性）,函数极限如果存在，则函数一定有界.,性质1:（唯一性）,函数极限如果存在，则一定是唯一的.,2023/6/22,14,性质3:（保号性）,性质4,2023/6/22,15,（一）四则运算定理,三、极限的运算法则,2023/6/22,16,（二）复合函数的极限定理,注意,例如：,2023/6/22,17,（三）夹逼定理:,（四）初等函数的极限,2023/6/22,18,四、两个重要极限,1.,2.,2023/6/22,19,利用夹逼定理,考虑不等式,即,证明,亦即,2

4、023/6/22,20,将（1）式与（2）式结合起来，得到,有,2023/6/22,21,即,2023/6/22,22,定义1：在某个变化过程中,极限为零 的函数,称为在此变化过程中的 无穷小量（无穷小）。,五、无穷小量与无穷大量,（一）定义,例如：,注意：无穷小量是极限 为零的函数！无穷小量不是绝对值很小的数！,2023/6/22,23,定义2：在某个变化过程中,绝对值无限 变大的函数,称为在此变化过程中的 无穷大量（无穷大）。,2023/6/22,24,例,2023/6/22,25,（二）无穷小与无穷大的性质,性质1：,注意：,性质1只可以推广到有限个函数,例,2023/6/22,26,性质3：,性质2：,2023/6/22,27,例,例,2023/6/22,28,1.（无穷小与无穷大）,2.（极限与无穷小）,（三）三个重要关系,2023/6/22,29,3.无穷大与无界函数,问题：,两个无穷小量的商是否为无穷小量？,