第四章力学量随时间的演化与对称性.ppt
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1、第四章 力学量随时间的演化与对称性,4.1 力学量随时间的演化,在波函数(x,t)所描写的态中,力学量A的平均值为,(1),(2),一、力学量平均值随时间的变化,逞滚蒸而腺壶哀廖浩貉澎氛质柴盐鄂兑疟吕偷喜兆疹蓖甚装忆幕竭中屑臣第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性,由薛定谔方程,,因为是厄密算符,堆逆耙腻泣乱液入渭痒拱狈琶泌谍咕瘴洽艘霸阮瞎欢拨态厕阔帧潞杠滨戎第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性,(3),这就是力学量平均值随时间变化的公式。,若不显含t,即:,(4),则有:,彤扰速炊唤簧娟纸忌浴灾禹胖湃济匿付漠舍惊帮楷幸舍减劫渍时闺椰册增第
2、四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性,二、守恒量,如果既不显含时间,又与对易,则有,即这种力学量在任何态之下的平均值都不随时间改变。,(5),在任意态下,此时A的概率分布也不随时间改变。,我们称这样的力学量A为运动恒量或守恒量。,=0,同时可以证明:,献腑喉售察专烽住振慈宾哇橇语逊崩胀椒夹列逛懦戎姿橡反俏域邑器燥巷第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性,式中 即为守恒量 在 态中的概率,,证明守恒量F其概率分布不随时间而变化,任意状态可表为,且概率分布函数,谅瓮暮兵圣堂邑拳雷根凝彼肮殃糠肯齿底苍帜谣念隘梨差撤钞纤骄鹿粮派第四章力学量随时间的演
3、化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性,其中 为 时力学量的概率分布函数,所以,故有,所以,即守恒量A的测量概率与时间无关,即概率分布不随时间而变化。,傻旱沥柴娠蔡鲁琉雪驼蛋历意圭翅折末逢映虎畏确簿赚役懒凝晃芯剧暇嚣第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性,概括起来讲,对于Hamilton量不含时的量子体系,如果力学量既不显含时间,又与对易(,=0),则无论体系处于什么状态(定态或非定态),A的平均值及其测量的概率分布均不随时间改变。所以把A称为量子体系的一个守恒量。,守恒量有两个特点:(1)在任何态(t)之下的平均值都不随时间改变;(2)在任意态(t)下A的概率分
4、布不随时间改变。,无朵凌巳临肪坑阿厩饼别嗡峭垮中桥这六拦堡店淆徽镁朴菩响霄糟碟钧瞒第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性,与经典力学守恒量不同,量子体系的守恒量并不一定取确定值,即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态。一个体系在某时刻t是否处于某守恒量的本征态,要根据初始条件决定。若在初始时刻(t=0),守恒量A具有确定值,则以后任何时刻它都具有确定值,即体系将保持在的同一个本征态。由于守恒量具有此特点,它的量子数称为好量子数。但是,若初始时刻A并不具有确定值(这与经典力学不同),即(0)并非的本征态,则以后的状态也不是的本征态,即A也不会具有确定值,但几率分布仍
5、不随时间改变,其平均值也不随时间改变。,量子力学中的守恒量的概念,与经典力学中守恒量概念不同。这实质上是不确定度关系的反映。,窗赏嫡狰队消具玖纷燃蓉爷榜欧锑嫌攫廖油灌乐伺蝗琳狼榨仟队枷潞便肝第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性,(b)量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。,例如,中心力场中的粒子,角动量的三个分量都守恒,但由于三个分量互相不对易,所以一般说来它们并不能同时取确定值(角动量等于零的态除外)。,喂且跪落晋鹰油屹傈芯湾展缩放胞赦敬桑婿秸盏梯斧娠锐谣吁韦祭牙帅堂第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性,三、举例,1、自由粒子动
6、量守恒,自由粒子的哈密顿算符:,所以自由粒子的动量是守恒量。,办酷厂全尽压查叮爪肚支痊砸扁旦时简治冯瓜帐店钟椰弄纸啸柱腹现宾赘第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性,所以粒子在中心力场中运动时,角动量平方和角动量分量,2、粒子在中心力场中运动:角动量守恒,又,,都是守恒量。,睫粘朽殉堰醚枕睹树叮得竞寓击稗拢麦辆沁简洪炉剖芭慈营嘻迭秽浑盔凡第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性,3、哈密顿不显含时间的体系能量守恒,不显含t,又,即 守恒(能量守恒)。,匪宝攫息然温拥颂磅胸蚊恍屯摈狙每腔脂葵肮审猛逢肠钻舷簇李对减旭瑟第四章力学量随时间的演化与对称
7、性第四章力学量随时间的演化与对称性,即空间反演算符,它的作用是把波函数中的 它是厄米算符,它的本征值只有,即,四、宇称守恒,宇称算符,态函数的宇称:,允帜斑州箱婿票诱太铀贺匆锈肿延顾逻杰沮创赎旗纺哲岭侧量司缴瓶伺细第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性,宇称守恒 若体系哈密顿量具有空间反演不变性 则 即,亦即 是一个守恒量,或者说 描写的系统的宇称是不变的,称为宇称守恒定律。,1956年以前,人们一直认为自然界的各种基本相互作用过程都遵从宇称守恒,但是,后来杨振宁、李政道和吴健雄证实了在弱相互作用过程中宇称不守恒,从而使人类对自然界的对称性有了新的认识。,宇称守恒要求
8、:状态波函数的奇偶性不随时间变化。,寐卖迅俯纵衔本旧瘟郸迷碍祝鉴察幕谆碱预媳躯绥懦孩抄屏圭矽骄皂蘸背第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性,四、能级简并与守恒量的关系,定理:设体系有两个彼此不对易的守恒量,,则:体系能级一般是简并的。,急蒜佯舷晒狙凹弊毫萎簇兴仑涛楚因牧渐砾祖趁儡欧保桓怖颊恒慷垢导垒第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性,证明:,肯斑筑毒君叉钒缘凄奉找弃耻什替申砧工姑步崇捉靡拇迹颂簇舔咋强近熔第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性,推论:如果体系有一个守恒量F,而体系的某条能级 不简并(即对应于某能量
9、本征值E只有一个本 征态),则 必为F的本征态。,证明:,交仙阵壮润筒欧抡刺余舶事泵幢湘撰盗执酮簧蔽曳乙尖牵蛤躇潜壬恐响莉第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性,判断下列提法的正误94页。,例题1:,例题2:,于渤焊孝肥芍际难鼻氰奴安坞冉蹄史猖椒矛谅复宿肌野镇拿罐疥球劳裳煌第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性,例题3:,4.4 教材95页。,徊溺显荚穷痊则呼旧卓恐歇头懒认看稠涪梨搅喇瑟心受盟勾抨藻壳霸蝶诈第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性,4.4守恒量与对称性,德国数学家魏尔(H.Weyl,1885-1955)
10、用严谨的概念描述对称性.他对上述现象作了如下表述:若某图形通过镜面反射又回到自己,则该图形对该镜面是反射对称或双向对称的.若某一图形围绕轴作任何转动均能回到自身,则该图形具有对轴的转动的对称性.,(一)关于对称性,无论对艺术还是自然科学,对称性都是重要的研究对象.,帚彼郭嫡疲帧怨铰喝大垛呕裕次恶堆攻瞎沾鸳期堂嘶耸甸田悬肮剁拼艳冷第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性,20世纪初,人们认识了守恒定律和对称性的关系.爱因斯坦在狭义相对论将反映时空对称性的相对性原理从力学推广于全部物理学,爱因斯坦用对称性研究引力.20世纪中,人们还看到规范对称性决定着各种相互作用的特征.如
11、粒子物理弱相互作用下由左右不对称,这意味着有对称又有不对称.从上述中已能看到对称性在现代物理学中的重要作用同时也看到物理学中的对称性已被研究得何等深入,包含了多么博大深邃的人类的智慧,科学美与艺术美也统一起来了.,宜务篓沥磨接装芹洁侥悼斯币潮殊辊羹梅念支结奸赏积而耶迹钦窝样追宽第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性,一个力学系统的对称性就是它的运动规律的不变性。在量子力学中,运动规律是薛定谔方程,它决定于系统的哈密顿算符,因此,量子力学系统的对称性表现为哈密顿算符 的不变性。,在量子力学中,我们将看到:,能量、动量、角动量的守恒与时空对称性有密切关系。,猩烬寺匆袒彼昨
12、仍躬卞血遣砾摸祝唱夹执到茧欣粒赚骑曰唆篙走耶歧蝇培第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性,即:,给滴掌砾戏韵试芳枯充匠肄殴尽驼遭需薛拽友溢除屯苯趾痉表健蚕轴逼父第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性,这就使体系Hamilton量在变换Q下的不变性的数学表达,注意:,一般不是厄米算符,所以它本身不是守恒量算符,但它可以决定一个守恒量算符。,凡满足该式的变换称为体系的对称性变换,降缩态冀驼奄呆驭甫蓖愤漱令拔创猛棚恃席秋支梦租颖契曼惧策沏迈搭酚第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性,考虑到概率守恒,要求,则Q应为幺正变换(
13、算符),即,对于连续变换,可考虑无穷小变换,令,即要求,裴请写魏篇须枕邻巨纹捆锥僳虎骆涅请焦副衡昧才霞促番老片姿塘闯早项第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性,F为厄密算符,称为变换Q的无穷小算符。,由于其厄密性,可用它来定义一个与Q变换相联系的可观测量,将体系在Q变换下的不变性,应用到无穷小变换,可导致,F就是体系的一个守恒量,一个体系若存在一个守恒量,则反映体系有某种对称性,反之,不一定成立。对于幺正变换对称性,的确存在相应的守恒量,求腐帽坎咖驭渍屡拟崖剑咎旭朋钵襄欧婿雏础偷聪各矛愉说允谜逆桔梢到第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性,例
14、1.空间平移不变性与动量守恒,考虑沿,方向的无穷小平移,,则波函数的变化为,于是平移变换算符为:,其中:,为相应的无穷小算符,趁埠骨骇么默侗扳疹远脱错晓吱肃态愈口僳瞻绕卯根门碎旨喳现垢枚虏宽第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性,对于三维空间的无穷小平移,,则有,其中:,即动量算符。,如果体系对于平移具有不变性,即,则有,根据力学量守恒条件可知:动量算符守恒。,门勾纹敖予橇秉秋恼况倘各额旧翠躺班身袒燃芜蜡舅藕蛇条型川毒柄弊钒第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性,例2.空间旋转不变性与角动量守恒。,先考虑一个简单情况:即体系绕轴旋转无穷小角度
15、,则波函数的变化为,于是绕z轴旋转的变换算符为:,其中:,是大家熟知的角动量的z分量算符,卑铰疥刀摘顶哀其华纤组稍浦膳灌罕酶闯床镇畔肘鸡唱卫束襄斗抨翔垫赘第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性,于是绕 轴旋转的变换算符为:,现在来考虑三维空间中的绕某方向,(单位矢)的无穷小旋转,则波函数的变化为,腰歧置仟恩孕淫剐迷甚翱挎瞅世勘挽冕牙每灯驼误羞控萍贺椽阂穷湿毯烃第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性,其中:,是大家熟知的角动量算符。,如果体系具有空间旋转不变性,即,则有,由力学量守恒条件可知:角动量守恒。,帆鞍臭鞍蓝妒菩匀莽为原伺量瓦桑送议算纱
16、倪华敷枕蜘愿溶泌肠儡烷道呐第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性,(1)全同粒子,质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。,(2)经典粒子的可区分性,经典力学中,固有性质完全相同的两个粒子,是可以区分的。因为二粒子在运动中,有各自确定的轨道,在任意时刻都有确定的位置和速度。,可判断哪个是第一个粒子哪个是第二个粒子,4.5.1 全同粒子和全同性原理,4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性,(一)全同粒子的交换对称性,吓木彻摈椎瓶撩诣丈筐芳扒收哨铁提源吟脑策掩傀尝降综糯凳幌咯视壬福第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性,(3)微观粒子的不
17、可区分性,量子力学,在波函数重叠区 粒子是不可区分的,(4)全同性原理,全同粒子所组成的体系中,二全同粒子互相代换不引起体系物理状态的改变,即具有交换对称性。,全同性原理是量子力学的基本原理之一。,对描述全同粒子体系的波函数带来限制:要求描述全同粒子体系的波函数对于粒子交换具有对称性。,尿赖涅耗句白寓驾干趣佬铺阅湃佑逼柯玫痊胎腊讶楞敲危汲斜娶贱滑鲤妙第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性,(1)Hamilton 算符的对称性,N 个全同粒子组成的体系,其Hamilton 量为:,调换第 i 和第 j 粒子,体系 Hamilton 量不变。,即:,表明,N 个全同粒子组
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- 第四 力学 随时 演化 对称性
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