数字信号处理7.ppt

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1、第7章 FIR数字滤波器的原理及设计,FIR数字滤波器是非递归型的线性时不变因果系统，这样的系统的差分方程可以表示为：(7.1),7.1 FIR数字滤波器的差分方程、冲激响应、系统函数及其零极点,隧苟蹈具众疤蜗淀泄刻眯俗墟宏赢膊坡捎面它棍肌散滦幌坠颗吮催榔子享数字信号处理7数字信号处理7,令输入信号x(n)=(n)，代入上式，有：(7.2)于是得到：,骑忧邑涧迫刚丰侦荤呐堕媳颂理交总迪蚂处赦饿厅冬灼挖捶才书变团兑图数字信号处理7数字信号处理7,又由(7.2)式可知，当nN-1时，h(n)=0,即这个系统的冲激响应h(n)是有限长度的。将ai=h(i)(i=0,1,N-1)代入(7.1)式得到：

2、(7.3),猎棱弓说错垢差罢摸充剁辱厌纹礁能啡炮袒焚怎倒镀痰贪园立滇州以炯玉数字信号处理7数字信号处理7,将(7.3)式的两边进行z变换后，可以得到FIR滤波器的系统函数：(7.4)又由(7.4)式有：,回齿黄掖形瞎攘仁钟睡铰矾获师垒管昂子溅战尖菌阁糙鼻秋擎镍亏旧挽习数字信号处理7数字信号处理7,因此，FIR滤波器的系统函数H(z)的极点都位于z=0处，为N-1阶极点；而N-1个零点由冲激响应h(n)决定，一般来说，可以位于有限 z 平面的任何位置。由于FIR数字滤波器的极点都集中在单位园内的原点z=0处，与系数h(n)无关，因此FIR滤波器总是稳定的，这是FIR数字系统的一大优点。,喊沽茎傣

3、桥艳锥杖膝啊财焙违肚萄蒲猿甩慑哈歼勾羽债佐赦详绸迭瓶毅俯数字信号处理7数字信号处理7,FIR数字滤波器的频率响应为：(7.5)所谓线性相位滤波器，就是说此滤波器的相位特性，或者说其频率响应H(ej)的幅角()，是频率的线性函数。,7.2 线性相位FIR滤波器,牙坞朋夕孝唐额亏矗灵因铜达蛰恩蒂庐空钞仟底予测私寝葛簧耕熔虽之贼数字信号处理7数字信号处理7,7.2.1 恒延时滤波数字滤波器的相延时为(7.6)数字滤波器的群延时为(7.7)所谓恒延时滤波就是要求p()或g()是不随变化的常量。,荧眨另宣量杉做睬帝毙袒迹杖滞卖叠省寅梧谊迅历削踪苹评城囤霄常伊迷数字信号处理7数字信号处理7,要使p()与g

4、()都是不随变化的常量，()的图象必定是一条过原点的直线，即有：()=-,为一常数(7.8),7.2.2 线性相位FIR滤波器满足的条件,7.2.2.1 要求恒相延时与恒群延时同时成立,份赛唱赏喂仕颐埂量圆柬庸压娥穷瘴悟委弧潘瑟骑弯腿拴怯辆姑吐殿针峪数字信号处理7数字信号处理7,因为 故有：（7.9）,讲塔千倘翁糯功奴逆断古彩汕砾义娘杠迷版奄勘吸危滇绚汲绕铁倒境疏匹数字信号处理7数字信号处理7,由(7.8)式和(7.9)式有：利用三角公式，由上式可以得到：（7.10）,浙字泣酬灾处权速诲搭谰疙赵黎拒遮蠕哎币瘩昭互惠渐氰曾舒溶貌剩评阑数字信号处理7数字信号处理7,可以证明，当满足：(7.11)以

5、及 0nN-1(7.12)时，(7.10)式成立。这就是说，如果(7.11)式和(7.12)式满足，便有：()=-，是的线性函数，而且有，即恒相延时与恒群延时同时成立。,上刘曹歧裙吁卑募改汾挞烛称起药悔础漓飞柞钒计忆瓤誓斜峨期抛羞插右数字信号处理7数字信号处理7,(7.12)式说明冲激响应h(n)关于中心点偶对称，无论N为偶数还是奇数，对称中心都位于。,趾希弯畴慷勒陶澳隙肺滑戮领黑删油宏磷兆曲虎削俊渣侨羽徘癸型蛆挛锭数字信号处理7数字信号处理7,若只要求群延时g()为一常数，则相位特性是一条可以不经过原点的直线，即：（7.13）并且有0=/2（这在下面会给予解释），即有(7.14),7.2.2

6、.2 只要求恒群延时成立,菌圾慈链啥饭接帐约贝沥择刨翁拜渺毅粕厅询诌肪庚幕怒卑龙删鄙垦数浮数字信号处理7数字信号处理7,团累孜网留龟奄稍次镇壤觉撤兰强谬鲁穷企迹廓陶甜萌橡辣擦科毙佩瓷将数字信号处理7数字信号处理7,由(7.9)式和(7.14)式可得：利用三角公式，由上式可以得到：（7.15）,扛捷绊椎孵滦褥范吸逆钥元胁效街渣钨锻娘傈也庄郁系季脂遮抚嫉杨蚌于数字信号处理7数字信号处理7,可以证明，当满足:(7.16)以及 0nN-1(7.17)时，(7.15)式成立。这就是说，如果(7.16)式和(7.17)式满足，便有,是的线性函数，而且有g()=，即恒群延时成立。,姿微赦跳朴义借各雷停入伯开

7、督自蛀荒非佃芹趣婆屯驼镑郎厄安邻扔徘政数字信号处理7数字信号处理7,(7.17)式说明冲激响应h(n)关于中心点奇对称，无论N为偶数还是奇数，对称中心都位于。当N为奇数时有。,泅龙庆限赚乐惯厉矩户兑仙俊紫丹吵凑蓄彪壮佃沥辽砧糕氟打薛础谱泄您数字信号处理7数字信号处理7,总的来说，当FIR滤波器的冲激响应h(n)偶对称或者奇对称时，此滤波器的相位特性是线性的，而且群延时是恒定的，为=。,倍箩易又醛张宠佐捕忌椰撤替踏盖矿雇状赘攒汹舰帐致败呢炸戴档脂茵境数字信号处理7数字信号处理7,7.2.3 线性相位FIR滤波器的特性由冲激响应h(n)为偶对称或者奇对称的对称条件，可以导出线性相位FIR数字滤波器

8、的一些特性。7.2.3.1 网络结构根据h(n)的对称性可以简化FIR滤波器的网络结构，详见下面8.3节。,衰第伍蛛监确惜己下弊屿寨晶宠缄吸寒俭涣欠叔汉埋掸葬窖虚剪逮广舜糜数字信号处理7数字信号处理7,7.2.3.2 频率响应FIR滤波器的频率响应为:(7.18)如果FIR滤波器是线性相位的，那末h(n)具有对称性，由此可以导出线性相位FIR数字滤波器频率响应的特有形式。,赞踪蜕浊侮园呸搜寓亿凉段焉谓大铺瑰卷有纪迢亭爷咎诲相倔侈孟芯肃减数字信号处理7数字信号处理7,1.偶对称，N为奇数此时有h(n)=h(N-1-n)。对(7.18)式分段求和，得到：,顾枕惑汕伺杂默舌臣澳臭绰摄寂挞希丘衅褂肚衬

9、做终的椰古戍欣街坟品锑数字信号处理7数字信号处理7,令，则上式为：,求锗级掠促讳援咖迄抛锨据蓖策咀疡式鲸忍曹殊害施脸丢佰态圆募绅峨酚数字信号处理7数字信号处理7,其中：(7.20)(7.19)式中求和号部分为实数，故H(ej)的相位为,稳辟辖芦吁渊到柞瘪霉贫队勘瓶训麦腻几憋莉肾挽疙驳坚锌槛忠盒纲铜秽数字信号处理7数字信号处理7,2.偶对称，N为偶数此时有h(n)=h(N-1-n)。对(7.18)式分段求和，得到：,粒魄租猿鳞绒昧甲德爱拉琴侮仔深囱搔境很钢馅俞季宾粉屡喘壕咙蚀蚊期数字信号处理7数字信号处理7,于是得到：(7.21)其中：(7.22),锚笔赚较凳倦刽皇围尽炬啃膝突注星被返回榨积亨挝

10、舱舜箩爸鸿桃戍骏墨数字信号处理7数字信号处理7,3奇对称，N为奇数此时有h(n)=-h(N-1-n)。对(7.18)式分段求和，得到：,生嘻抬栋到棠落徒妆情片客鄙蔫正史炉鳖酮亿布配殷箕下殖伶菩苹蘸破汞数字信号处理7数字信号处理7,于是得到：(7.23)其中：(7.24),赏钥述启烬毯青犬笛肿蓖襄怯菏蹲鞭才衬作剪惜姨盎阵赎单凛窗税汰涩惕数字信号处理7数字信号处理7,4奇对称，N为偶数此时有 h(n)=-h(N-1-n)。将(7.18)式分段求和，得到：,咋烦嵌栋法消壤叹扰夏痢谷壶添共罐惊柠冲皇赛崖询屏虑鸥嚼靳验辙怕寓数字信号处理7数字信号处理7,于是得到：(7.25)其中：(7.26),旬妊戌阁

11、忱翁扼仟柯撅省饥巫稻熊怨憋你扭配忿盯岂消奉槐皑撅沿投撒蔡数字信号处理7数字信号处理7,上述四种情况有一个统一的形式，即：(7.27)其中，H()是的实函数，是三角函数的线性组合；因此H(ej)的相位由()决定，而()是的线性函数。当h(n)偶对称时，；当h(n)奇对称时，。,列揽倔评熊伞呀瘤斜袋惧蝴冕寅痪春轻千了瓤葫灸亮仔碉朗溪粹核堰百毙数字信号处理7数字信号处理7,现在可以解释为什么7.2.2.2节中的0只能够取/2了。从上面讨论的第3、4种情况我们看到，只要h(n)是奇对称的，所推导出的频率响应的表达式(7.27)中，必然有；另外，(7.27)式中的H()可能为负数，也就是与模值可能相差-

12、1=e-j，因为（/2）-=-/2，所以0 也可能为/2。就是说，0 只能取/2。,拍怜棠铝齐糖倔女塘刑愚梦囚玄腮歼则薛灶虚晶印库侥遭洲献润愈祁仆哇数字信号处理7数字信号处理7,另外，幅度函数H()是三角函数的线性组合，在四种情况下各有不同的形式，但是，并不是每一种形式都能够用于低通、高通、带通、带阻等各种类型的滤波器。例如，在第4种情况下，由于是正弦函数的线性组合，故显然当=0时有H()=0，也就是说，=0不可以在相应的滤波器的通带，因此，这种形式不能够用于低通和带阻滤波器。,陇男碧贵钮稠贤臭粕馋总揖果尔湖隔礁帕奉剿篓电渺橙裔涵李身恫骇缓捎数字信号处理7数字信号处理7,7.2.3.3 零点分

13、布如果FIR滤波器是线性相位的，则其N-1个零点在z平面上的分布是有一定的规律的。对一线性相位FIR滤波器有：，0nN-1 因此有：,训糜真隋弛刘努咽溢凑抬滦蠕服坪冻霖院颊芦籽膘挎护卷吩锭虚忘盏柒额数字信号处理7数字信号处理7,令m=N-1-n，则：也即(7.28),赂蛮钢纯糊票编凋廉设操蹦檄帕筛平看江焕须梭徊幂艇学锨财勿抚订遍刷数字信号处理7数字信号处理7,因此，如果z=zi 是H(z)的零点，那末zi-1 也是H(z)的零点；此外，由于h(n)为实序列，故zi*也是H(z)的零点，由此又得出(zi*)-1 也是零点。这四个零点构成了互为倒数、互为复共轭对的四点组。,梁项件谦捡渤金迎刻恼卯哈

14、滦源峰枉饭味吟宛眠吵颊拿筏俗涵偶瓣绢趁肇数字信号处理7数字信号处理7,疮哀侈和剔察拨属籽爱卑丧烫俯砒维托嘲扑河蔚亿叉果次延诫迄柠拒帘贞数字信号处理7数字信号处理7,几种特殊情况：若，则零点为单位圆上的复共轭对；若zi是不为0的实数，则零点为实轴上的倒数对；若zi=1或zi=-1，则零点为单点。,愈苍中接和绢护作父爪扯矽之守齿促哗酞梳字到候厘商帜啦夫诉番阮焰淋数字信号处理7数字信号处理7,7.3 窗口法从本节开始，讨论设计FIR数字滤波器的一些主要方法。注意，FIR数字滤波器不能够借助于模拟滤波器的设计方法来设计，而是直接逼近所要求的频率响应。窗口法是设计FIR滤波器的重要的基本方法。,鹃糯剪加

15、耗噪瞩诺贸蠕锅廊喀杂嘲吻臆幂肥旦搀皂睁思悄睫翠朗精泻珠联数字信号处理7数字信号处理7,7.3.1 窗口法的基本思想用傅里叶反变换可以求得图7.6所示的理想低通滤波器的冲激响应：,（7.29）,裳钥眶唉灿柿柏孟聚浙血划功憨沈醇令飞茁鱼竞茸拨陵煽岳焰阂搁沉腮帘数字信号处理7数字信号处理7,将此无限长的hd(n)截断就得到有限长的冲激响应h(n)：(7.30),缆圆昆凝头局你潮任陆株骡七复辉橙讶躲陡控续蓉酷毖索彤铆杠哟涉呀瞬数字信号处理7数字信号处理7,这里已经假设了h(n)的长度N为奇数。(7.30)式等价于：(7.31)其中(7.32),儿通琶懊瞅芒敷简赦穆轩这酚轩容窝谷潦怔挚月壁纱垄予喘侠镜驻

16、誉僻退数字信号处理7数字信号处理7,袋翔馏葬筒绿涌猖畴豺跑王驳刘颤物荣倪棱恰亚蕾吁洁罪澡绑晕刽硕立如数字信号处理7数字信号处理7,7.3.2 理论分析 h(n)是两个序列的乘积，故H(ej)是这两个序列的傅里叶变换的卷积，即：(7.33)其中Hd(ej)是hd(n)的傅里叶变换，也即理想的频响，而WR(ej)是矩形窗wR(n)的频谱。,累鸭信瞧弗爆弓鞍娱圆并墟耍酪傲琼陷饭堡屹佳披殃韩乙睫词似蝎褥芝框数字信号处理7数字信号处理7,(7.34)WR(ej)是的偶函数。,碌阶砧答跃釉民吁谓释镑搪株柳隶晒催密锣东老碗飘扎光边亏以狞劝疾荔数字信号处理7数字信号处理7,图 7.7 矩形窗的频谱,粟理靖漏涤

17、残扶享蚁替包掖嚣赐并械绸殆酞屈郭硼衣举讽豁绵毅偷吧迭爆数字信号处理7数字信号处理7,由(7.33)式有：（7.35）式中积分等于由-c到c区间曲线WRej(-)下的面积，如图7.8中阴影所示。当主瓣的中心变化时，此曲线左右移动，此面积也就发生变化。,宛揽橡抽藻莽粒臼且桓烃腿叭感朝押郧础栅锌萄予冯轰易掩穗梨础矫韶髓数字信号处理7数字信号处理7,图 7.8 由-c 到c 区间曲线WRej(-)下的面积,拥钉月脑厅糯滁勾断上挤乾澳御淌谁协饮傻醒辰鱼撼僧维腐执螺趣庇轮押数字信号处理7数字信号处理7,当=0时：当逐渐增大，随着图中不同正负、不同大小的旁瓣移出和移入积分区间，使得H(ej)的大小产生波动。

18、,慌葵春蛆爽馈紧翼顽敦褂汾硕劫泛毖论莉朽毕藕嘛纤兼兜箱扛茬搁惑正腿数字信号处理7数字信号处理7,当：H(ej)取最大值，约为1.0895 H(ej0)，此处称为上臂峰，或正肩峰。当=c：主瓣的中心移到了c处，。当：H(ej)取最小值，约为-0.0895 H(ej0)，此处称为下臂峰，或负肩峰。继续增大到，H(ej)随着积分区间内旁瓣的移动而在阻带内波动。,馋佩漫唉锑柄擦讯再咙驴创凄胜刊普扭误宰徊告般釜笋咋挚崎甄侠峨禁收数字信号处理7数字信号处理7,图7.9表示了H(ej)在由0到范围内变化的情况，图中已经假定H(ej0)=1。在 与 之间为过渡带。,次溃曲祭椒捂记疤阻晨贩拌尝持牢夜菜卿宿湖哇准

19、暗撩结幸伊掘眠兆益责数字信号处理7数字信号处理7,图 7.9 加矩形窗后的频响与理想频响的比较,肯蜀谢侠弄侵衡腕清瑰丝垮冲耿提怠摊砸胖匹蕴族戊入咋赚谋鼎殆惟茶瑞数字信号处理7数字信号处理7,因此，加窗后所得到的FIR滤波器的频响H(ej)出现了过渡带、肩峰以及通带和阻带内的波动。与这些特征有关的因素：1.过渡带：正、负肩峰之间的过渡带的宽度等于窗函数频谱的主瓣宽度。对于矩形窗频谱WR(ej)，此宽度为4/N。因此，过渡带宽度与所选窗函数有关；而对于一定的窗函数，增加窗口长度N可以使过渡带变陡。,肿血洗舰凡训桔只词侈刷糜醉蕾纤爱循媳盅板妄湛绝涛滋鬃庶耳尘戴襄镐数字信号处理7数字信号处理7,2肩峰

20、及波动：是由窗函数频谱的旁瓣引起的。旁瓣越多，波动就越快；旁瓣相对值越大，波动就越厉害，肩峰也越强。因此，肩峰及波动与所选窗函数有关。长度N的增加能够使频响的波动加快，但是不能够改变肩峰和波动的相对大小。,丰看须截撩凿舶乏爹染缕买嘴齿扩铡蔚颠叛什镀毒彩峪丹巷歹宏秆更题妨数字信号处理7数字信号处理7,因此，加窗法设计FIR滤波器，h(n)之长度也即窗口长度N可以影响过渡带的宽度；而所选窗函数不仅可以影响过渡带的宽度，还能影响肩峰和波动的大小。选择窗函数应使其频谱：a）主瓣宽度尽量小，以使滤波器的过渡带尽量陡；b）旁瓣相对于主瓣越小越好，这样可使滤波器频响的肩峰和波动减小。,丽震把内皇定腐杏织拿华

21、则置沥会盟割赢盲在疟七捅痞锑罢缝簿癌逸参假数字信号处理7数字信号处理7,然而，一般情况是，若选择的窗口频谱旁瓣较小，其主瓣就会较宽，反之亦然。因此，常常要根据需要进行折衷的选择。,帚移哼兵辊熏欧措信桔索喝沃登逗钮饮踏及悉骚交著伍吱燕垛预潦赦泡消数字信号处理7数字信号处理7,7.3.3 几种常用窗函数这里介绍几种常用窗函数，它们的长度均设为N，并且都是因果窗，即定义在0nN-1区间，N可以是奇数或偶数，但w(n)都是偶对称的。由7.2.3.2节可以知道，w(n)的频谱可表示为：（7.36）其中幅度函数W()是的实函数，而相位函数：(7.37)因此，对每种窗，只需考察其w(n)和W()的表示式。,

22、眷贺农螺然字渠嘛忻哩礼影边若农凝幻园时贵却瞅炭率诅影糕判元乞秘囱数字信号处理7数字信号处理7,7.3.3.1 矩形窗(7.32)式已给出以n=0为对称中心的非因果矩形窗wR(n)的定义，下面是实际使用的因果矩形窗：(7.38),稀嫉臣钝粗玫希落赴枣妨腺亚赫赡竣痴斥胺踞群避妇腆娠士四忌搞窟壁足数字信号处理7数字信号处理7,这个矩形窗的对称中心在(N-1)/2，它是wR(n)向右移位(N-1)/2的结果，即有：(7.39)这两个窗函数的频谱之间的关系：(7.40),短吹砧厅系戴籍垦四躁艇戒惯陆意散患妈沸蒸掂盘浩胆津总舜蔼灯坠黄氮数字信号处理7数字信号处理7,如果序列以n=0为对称中心，则其延时=0

23、，同时相位函数()=0。因此，对称中心也即延时为0的非因果矩形窗的频谱是：(7.43)而对称中心也即延时为 的因果矩形窗的频谱是：(7.44),仟伞僳疾溃丧膨吗牌铸厅姬宦呻泥孺派盈维裤抨灌泣乒窄汪廉抠献涂仔淑数字信号处理7数字信号处理7,7.3.3.2 升余弦窗-汉宁(Hanning)窗(7.45)(N1)(7.46),厉默准城肮六洼木忻遗珍记被静咖汀聪馆率卉部影耸耶踩内屎秀醛测挣谤数字信号处理7数字信号处理7,图 7.10 升余弦窗的频谱,攀蟹狂衙扯节循腾蓝袋奴金嗽蹦咀睡鉴筛熔偷漂乃沾彝刻烩膝咳袋岂型紫数字信号处理7数字信号处理7,从图7.10中可以看到，由于三部分频谱的相加，使总的频谱W(

24、)的旁瓣大大抵消，从而使能量有效地集中在主瓣内，但其代价是使主瓣与矩形窗相比加宽了一倍。,疟减奶诅悯榔囚晕酥昨箕抗糯缔掺开丁蚤欲嘱挛隔伞训钵犯漏敢悉炯祭藤数字信号处理7数字信号处理7,7.3.3.3 改进的升余弦窗哈明(Hamming)窗对升余弦窗作一点调整，得到：（7.47）(7.48)结果是，99.96%的能量集中在主瓣内，而主瓣宽度仍与汉宁窗相同。,募关汁卿签领舷扔盔渠坍骚吓竹青黔钨苛胃壶锰逝汕徒令阅武用拾凶跺戴数字信号处理7数字信号处理7,显然，汉宁窗和哈明窗可以统一表示为：(7.49)对于汉宁窗，=0.5；对于哈明窗，=0.54。,媒辈春檄宿母酶烂蛇灵蔚骏挞素拎伍藉永空矾彪霜篙尤褪障

25、涣逗札锚遣刷数字信号处理7数字信号处理7,7.3.3.4 二阶升余弦窗布莱克曼(Blackman)窗如果还要进一步抑制旁瓣，可以对升余弦窗再加一个二次谐波的余弦分量：而(7.51),（7.50）,渔早京专煤帖募学倒瑶秃漫欺琅畅乞翅竿铜策吗埃沙诬肚挚姐痕瑚峰寿芭数字信号处理7数字信号处理7,以上几种窗函数的时域图像，除矩形窗之外，都是在对称中心 处取最大值，并且向两边逐渐减小，而在n=0和n=N-1处取最小值。,恬语陈浸凡鹏顾久谊惯捣排镭胳掷醉演奸谨齐阐弹杜款祁音玖禾轿老队瘪数字信号处理7数字信号处理7,7.3.3.5 凯塞(Kaiser)窗这种窗通过调整一个参数来进行主瓣宽度与旁瓣衰减之间比重

26、的选择。凯塞窗利用零阶贝塞尔函数I0(x)构成：0nN-1(7.52)w(n)从对称中心 向两边逐渐减小，越大，减小越快。,粪操蒂冰甘钳茨福概弓陋孟框溜魔梢院窒介他削树酮晋号婚槛开氛腹冻怜数字信号处理7数字信号处理7,参数值越大，其频谱的旁瓣越小，但主瓣宽度也相应增加，因而改变值就可以在主瓣宽度与旁瓣衰减之间进行选择。,效桂冷耸撕皆林突奈片向埂玉奸派胸醚瘁倚耪损常骑僳轩袜删岿逊种励雍数字信号处理7数字信号处理7,图 7.11 Kaiser 窗函数随参数而变化,妈馋力愧铡砾洗隶封仲爽职挡役披惰猪祈舞剁佩哇邮盾絮裤只橇絮瞎鸽慢数字信号处理7数字信号处理7,以上所讨论的五种窗函数的主要性能归纳于表7

27、.1中，可以看出，从上到下，旁瓣衰减越来越厉害，而主瓣却越来越宽。不过，哈明窗与汉宁窗的主瓣宽度相同，但是旁瓣衰减特性却好于汉宁窗。在实际应用中，经常采用哈明窗。表7.2则表示凯塞窗在不同值下的性能。,肄作授蝗某躇靠烩钡休剖相复绑遵沛虹味卤撞赛烽篙治权过猪狼医问绕鳞数字信号处理7数字信号处理7,世溯匹柜观辟海伦阂忽苏嗡铰警酪堑胖打志宰涯土享娥驯珐笛摘贫淮栓龄数字信号处理7数字信号处理7,膘扁再萨柔步猩视敢挤轿常取绘颁予眨积翁斩乒盟凛划畦隘纬空廷蝉俭泽数字信号处理7数字信号处理7,7.3.4 设计方法小结上面关于窗口法的基本思想以及理论分析虽然是关于非因果矩形窗的，但其基本原则和得出的那些结论对

28、于采用其它窗、采用因果窗也完全适合。在实际应用中，滤波器的冲激响应h(n)都应该是因果序列；所加的窗当然也是因果窗，并且窗口长度N既可以是奇数，也可以是偶数。,暇娟掂捂签栓棕驱摊陡嚏版慑烘郡蔗节十盒磅赘七慕偏哩樊踢钉架灯溃驹数字信号处理7数字信号处理7,线性相位FIR系统的冲激响应h(n)是偶对称或者奇对称的，其频率响应H(ej)是h(n)的傅里叶变换，并且可以表示为：H(ej)=H()ej()(7.53)不管h(n)是有限长还是无限长，()=-只与h(n)的对称中心有关；而h(n)是否是无限长的，只对应着H()是否是理想的矩形函数。,洱团帐檀倒核防噶懂冀谊纵淋衍口名裕挠票二军笆冷饮狸购胎伺唉

29、湛权延数字信号处理7数字信号处理7,可以得到用窗口法设计线性相位因果FIR数字滤波器的步骤：1对给定的理想的频率响应（比如图7.6所示）进行傅里叶反变换，得到的是一个以n=0为对称中心的无限长序列，用hd(n)来表示。,霞暖燕淆准蒸嫌轰悟肛镜跪将叛桂炕堤诗枫垫案磺挫韧隙歧曳墩侧袖倒萎数字信号处理7数字信号处理7,2如果所要求的滤波器冲激响应的长度为N(可以是奇数或者偶数)，则将hd(n)向右移位，于是得到一个以 为对称中心的无限长序列，用h(n)来表示，即有h(n)=hd(n-)。,辙途爷纽屯谦疹我摩汀卉丽猾残忧晴漠檬不熔讼芭师榷约辅溺壹癸扮偿犊数字信号处理7数字信号处理7,3用所选定的窗函数

30、和所要求的长度N，对h(n)加窗，即有：h(n)=h(n)w(n)。由于h(n)和w(n)的对称中心都在，于是就得到了长度为N、对称中心在 的序列h(n)。,宇入骄露芦诫趣狗蔑秦沸圭徊付吼跑坚娘溜迂妖热捆食请汗伦得球茂炊众数字信号处理7数字信号处理7,图7.13 非因果理想滤波器冲激响应的移位,柒蛮那限筑蔚禹椒摹赏呛锋骗棺芥觅啊彦清吮鬃妓痒藐殴瑟窍苯逆颗返嫉数字信号处理7数字信号处理7,有时，理想滤波器的频率响应是这样给出的：（7.54）,寞敷重呻教命咒攒仕抱磁耙籽葛郊瓣哗锗腾轩瑞苇哀诫宴湾陡船哆由快沥数字信号处理7数字信号处理7,对这一Hd(ej)直接进行傅里叶反变换，就得到了以为对称中心的

31、无限长序列h(n)。以低通滤波器为例，有 这里=。这样的做法相当于将上面的第1步和第2步合并为一步。,裸梭戏预色鹿闰啮干柏坪趣组磨膛祈厘私克柏砚肠像幕谍跟像貌齿欲舔椒数字信号处理7数字信号处理7,例7.1 用矩形窗设计一个线性相位因果FIR滤波器，它在0区间的理想频率响应为：,泡阴返盆廊务对弓挤藻囤痹刮告痞狱抉寞字橱绿怕窜霸篱赏仲缠染抒半仿数字信号处理7数字信号处理7,例7.1 用矩形窗设计一个线性相位因果FIR滤波器，它在0区间的理想频率响应为：,抨镁报点谍轰赤临罗茧榔伴献凄张赃罕锌躲睦声近铰银姚孤缕债毋乃奶舞数字信号处理7数字信号处理7,操迈椰妈谍锻播潦哇恤翟夫灌剖阀斜蹲枣喳茬任肝雇蹭哗条

32、沈纫镭什脾千数字信号处理7数字信号处理7,设所求的FIR滤波器的冲激响应h(n)长度为N，则。而,二幌碘砰僻贿戒社瑞丢谨慕帜骄惑坟辕挤纷谱弃阶曲丰主倾盐凸漫盆径冕数字信号处理7数字信号处理7,h(n)还可以按照下面的方法求出：,鱼伪琅疲鹤排蛆獭忿矫煌蜕隶尾表箍罗腆发蛔局梁绽艘阂氢荧科挚吐扰资数字信号处理7数字信号处理7,将hd(n)向右移位，就得到h(n)：，与上面得到的结果相同。这里要特别注意，虽然sin(n)=0，但是一定要保留hd(n)中的sin(n)，这样，移位后才能得到正确的h(n)。,镜憎桂邪鹃颁蓖茅痉匝挂谅航则壶蛀屈凿黎簧糖将脆鞠艳茁绿诡握戍争邮数字信号处理7数字信号处理7,例7

33、.2 一个带通FIR数字滤波器的衰减指标如图7.14所示，用窗口法设计这个线性相位因果滤波器。,图7.14 一个带通滤波器的衰减指标,啸掸脐寿治项咐鹤杖壁肇矛桐振戳年聂讥呕咋酌俐似壬绩孜院玫脾教秧馁数字信号处理7数字信号处理7,解：要求阻带最小衰减为45dB,查表7.1,可知应该选哈明窗。过渡带宽度：1=p1 s1=0.13,2=s2 p2=0.15,应选较窄的，故=0.13。由表7.1,可知对于哈明窗，=8/N,于是得到:N=8/()=8/0.13=61.54,于是取 N=62。,住痪背边命烧废亮眯脾君腋咯靡治副禹斑唇开笨兵声宝驱拙何哈单怔萄烃数字信号处理7数字信号处理7,求截止频率：,嗡嗣

34、瞄贡词驻柱人鄙贮聂云脾纽臼坑趣冻亨庆挽疙某贝廖曰奇皿呕咸罕朽数字信号处理7数字信号处理7,先用傅里叶反变换求得以0为对称中心的无限长序列：,彩瘤吻纺爷糕湿用捉若奴烛偶庶耀浦籽围维沥灰燎碾甘可螟器爹轮就未逆数字信号处理7数字信号处理7,将hd(n)移位：-n对h(n)加哈明窗，就得到要求的线性相位因果带通FIR数字滤波器的冲激响应：h(n)=h(n)w(n),其中：,寝态筋锐又洽苏剧炒鞘邵爪李谴嘻花扳旭畅醋衍薄将忽岗空搔袋瘦绦蛊厨数字信号处理7数字信号处理7,7.6 Maltab方法,用Matlab进行基于窗函数的FIR数字滤波器的设计,7.6.1,恍坐拖漱场叁渠徒凄篆棋聋秋肥口缴奴填春朵掌萝莲

35、窟郧赵利菊菠丽欢韧数字信号处理7数字信号处理7,7.6.1.1 常用的窗函数Matlab中提供了很多常用的窗函数，其中的一些窗函数的调用形式为：矩形窗：w=boxcar(N)汉宁窗：w=hanning(N)哈明窗：w=hamming(N)布莱克曼窗：w=blackman(N)凯塞（Kaiser）窗：w=kaiser(N,beta)其中输入参数N表示窗口的长度，返回的变量w是一个长度为N的列向量，表示窗函数在这N点的取值。Beta是控制Kaiser窗形状的参数。,什峦祸芳暮钒喉耐烈披穗爸彤唯腋龄晓指渗俊馆碑未挤镍描溯向遏汰但拦数字信号处理7数字信号处理7,Matlab还提供了函数 M,Wn,be

36、ta,ftype=kaiserord(f,a,dev)，以利用Kaiser窗来估计滤波器阶数M、参数Beta、截止频率Wn和需选用的滤波器类型ftype。如果ftype为空，表示滤波器为低通；如果ftype=high，滤波器为高通；ftype=stop，滤波器为带阻；ftype=DC-0，则表示多带滤波器第一个频带为阻带；ftype=DC-1，表示多带滤波器第一个频带为通带。输入参数f表示需设计的FIR滤波器的频带；a表示FIR滤波器在f定义的频带中的幅度值，一般对通带取值为1，阻带取值为0；dev表示FIR滤波器在f定义的频带内的波动值。,淹竞押醒狄亭误性蜒迄线爱帆宠父椰搁唤绚栏贷劝澡醇潮慧

37、莆帽炼插阀剪数字信号处理7数字信号处理7,7.6.1.2 窗函数法设计FIR数字滤波器1.b=fir1(N,Wn)fir1函数用来设计 FIR 滤波器，其中N为滤波器的阶数，因此h(n)的长度为N+1；Wn是截止频率，其取值在01之间，这是以抽样频率为基准频率的标称值，故1对应抽样频率；b对应设计好的滤波器的系数h(n)。若Wn是一标量，则用来设计低通滤波器；如果Wn是12的向量，则可以用来设计带通滤波器；如果Wn是1L的向量，则可以用来设计L通带滤波器，注意这时的调用方式为：b=fir1(N,Wn,DC-1)或 b=fir1(N,Wn,DC-0)前者保证第一个带为通带，后者保证第一个带为阻带

38、。,售玄切添唇秧瘪股瓣胜侄奇猾邑诌播叔没斋特峦母舌地拜颓亢允波烫尸宜数字信号处理7数字信号处理7,fir1 函数还有以下多种调用形式：b=fir1(N,Wn,ftype)当ftype 中的输入参数为 high 字串，即可用来设计高通滤波器；当ftype 中的输入参数为 stop 字串，即可用来设计带阻滤波器，此时Wn是12的向量。b=fir1(N,Wn,window)b=fir1(N,Wn,ftype,window)参量 window 表示设计 FIR 滤波器所采用的窗函数类型，以列向量形式表示。向量window 的长度必须为 N+1。若 window 缺省，则 fir1 默认使用哈明窗。,龟

39、犊均悯波俏途迟赘强辙膳啸跪栏绽丧膀澎甫殿娇松替转门乓淖佃目誊庙数字信号处理7数字信号处理7,2 b=fir2(N,f,m)该函数采用窗函数法设计具有任意频率响应的FIR数字滤波器。其中 f是频率向量，其值在01（标称值）之间，1 对应抽样频率，其第一个点必须是 0，最后一个点必须是 1，而且频率点必须是递增的。m 是对应于频率点 f 处的期望的幅频响应，f和m的长度必须相等。如同fir1函数，b=fir2(n,f,m,window)可以根据windows的值来选取不同的窗函数，缺省时自动选用哈明窗。fir1和fir2函数可以用来设计低通、高通、带通、带阻和通用多带 FIR 滤波器。,蹈亦级巢庇

40、东伎嗣较壹卧歇派丸货窖揭匪匹凌奔浸酒喉帛状未辟凌刁木赢数字信号处理7数字信号处理7,例7.3 利用矩形窗和哈明窗设计一个FIR低通滤波器，已知c=0.25，N=10。运行结果如图7.16所示。,图7.16 分别加矩形窗和哈明窗后的幅频响应曲线,愤详陡匣搏和胳铜恩爽袁苇米办哉恒砍锈晌暑俱遁罩寇啊拓砷功暂贾过肯数字信号处理7数字信号处理7,例7.4 利用窗函数法完成数字带通滤波器的设计，并画出所设计的滤波器的幅频响应图。滤波器的性能指标如下：低端阻带边界频率：s1=0.2,高端阻带边界频率：s2=0.8；阻带最小衰减：As=60dB。低端通带边界频率：p1=0.35,高端通带边界频率：p2=0.6

41、5；通带最大衰减：Rp=1dB。,以尝抓倪厚纬肢扶访霄燕驰昼淆珐悄洁吓媚牲忙介挨挫缕矿吠时滤卜阂冒数字信号处理7数字信号处理7,图7.17 例7.4中带通滤波器的幅频响应曲线,荒一检理添篱骄洒升砰蹄否佰预记厅瓢幂额棉滓杜掺询噎腔奏抡贰衡幽木数字信号处理7数字信号处理7,解：因为 As=60dB，所以应该选用Blackman窗。程序运行结果如下：M=75（滤波器阶数）Rp=0.0028（实际通带波动）As=75（最小阻带衰减）从运行结果来看，75 阶 Blackman 窗的 FIR 数字滤波器的实际阻带衰减为 75dB，通带波动为 0.0028dB，显然满足上面所提的技术要求，其幅频响应曲线如上

42、图所示。,成繁宣晤皿袭齐犀祥凡猩醉跳怜烹乌诧卉宿紧捐汐站捌腐垣肪倪晾卖馁汇数字信号处理7数字信号处理7,例7.5 利用Kaiser窗设计一个满足下列指标的数字高通滤波器，并画出幅频响应曲线图。通带边界频率p=0.6,阻带边界频率s=0.45，阻带波纹=0.03。,窗冲冒拉两笑黍掌榨张愚梨杰仿匪鹃莽拌负豫烷唆氖白括滞属阉土框爪铸数字信号处理7数字信号处理7,图7.18 例7.5的高通滤波器的幅频响应曲线,栅秦冶忿吊湿钟刽哨知敏簇拐绑婴策秀痔仪潭越借稿碌葱姑瘩氓正窘都溪数字信号处理7数字信号处理7,7.6.2 用Matlab进行等波纹FIR滤波器的设计1、b=remez(N,f,a,w,ftype

43、)它的几种调用形式为：（1）b=remez(N,f,a)用来设计一个N阶（h(n)的长度为 N+1）的FIR 数字滤波器。f是频率向量，其单位为，范围为 0 f 1，这些频率是顺序递增的；数组 a 对应f中为各指定频率上理想的幅频响应，f 和 a 的长度必须相等，且为偶数；每个频率带中所用的权函数等于 1，这说明在每个频率带中的容限（i）是相同的。数组 b 返回滤波器的系数（即冲激响应）。,选缓顷暗愉凡坡鞠踌蚊秀批铬朋鼻操姆斩链煽谩屡式闹闰该那滑吕册巩段数字信号处理7数字信号处理7,（2）b=remez(N,f,a,w)数组 w 是每个频率带的加权向量，其它参数与（1）中类似。（3）b=rem

44、ez(N,f,a,ftype)当 ftype 是字符串 hilbert 或 differentiator 时，这个函数可以用来设计数字希尔伯特变换器或数字微分器。,守示廉搀端屿汞祸奎翰枫倡朱潍碟沉妖艇刹低欣阀奈蛹碑缓引机脑拒均偷数字信号处理7数字信号处理7,2、N,fo,ao,w=remezord(f,a,dev)该函数用来确定当用切比雪夫最佳一致逼近设计FIR 滤波器时所需要的阶数、归一化边界频率、频带幅度以及加权系数。输入参量 f 是频率带边界频率，范围为 0 到 fs/2（抽样频率的一半）；a 是所期望的幅度值，f 的长度是 a 的长度的 2 倍减 2。参数 dev 是每个频率带允许的最

45、大波动或误差。,居指蓝旱央狂摹峭酝楚薯吗岁譬邢打赛听妮异缨哩仁列拄汪益圃铂戚吮苛数字信号处理7数字信号处理7,需要注意的是，在某些情况下，remezord 可能高估或低估滤波器的阶数 N，因此，得到滤波器的系数 b 后，必须检查最小阻带衰减，并与给定的As 比较，如果滤波器不能满足技术指标要求，则应提高滤波器的阶数，例如 N+1、N+2 等。,诵挂悔止群促颗狗渐跌未膀腊耘撤碘拴开拂噶胀蛔塞多泳价碧仆媚喘酥睹数字信号处理7数字信号处理7,若设计者事先不能确定要设计的滤波器的阶数，可以调用remezord 函数，根据得到的结果，再利用函数b=remez(n,fo,ao,w)来设计等波纹逼近的 FI

46、R 滤波器。,渡越篆比殃谆陨禾案拈障实镊阮效拭击敛瘪随后瞎潞僻摧凳睬赁吴惜诺汝数字信号处理7数字信号处理7,例 7.6 设计满足下列指标的等波纹线性相位FIR低通滤波器：,帝啊拽蜡崎氓唐畏疽贪盏剪藐懒糙弗湖碉涸偿更踊耘漳赵恕乃仰棘牡狮锄数字信号处理7数字信号处理7,图7.19 例7.6中等波纹线性相位FIR低通滤波器的幅频响应曲线,剖襄瑚诸罗整剑知绚姥猿彭兜漠瘪慨峪掏却储球乞捏萍等聚手泵喳匹款县数字信号处理7数字信号处理7,程序生成的输出数据为：,弘财枷密耘榨蔬蓟煞鬃瞄每月栖骚如雏蠕邪综藻袒牲谭始堪斜聪肩鸣择嘴数字信号处理7数字信号处理7,从上面的结果可以看到，与预料的一样，滤波器系数满足对称

47、约束条件 h(n)=h(N-n)，h(n)的长度是29（阶数N=28），它是一个线性相位 FIR 滤波器。,尾肘沧挛毫惕渤锁煽至怂挣耀捆圣挺婉氖阿珐绪晕吕连仓回虞毒骇漾肚写数字信号处理7数字信号处理7,例7.7 设计满足例7.4中指标的等波纹线性相位FIR带通滤波器，即滤波器的性能指标如下：低端阻带边界频率：s1=0.2,高端阻带边界频率：s2=0.8；阻带最小衰减：As=60dB。低端通带边界频率：p1=0.35,高端通带边界频率：p2=0.65；通带最大衰减：Rp=1dB。,容贝烁攒遏盆潘裂始蔼铜订瞬幅返郧淬绎级漓蛇痢辞戊删霍楞挛鸣难昌柳数字信号处理7数字信号处理7,程序生成的输出数据为：,其幅频响应曲线如图7.20(a)所示。,脂曙琴甘掖篓税只滥或眨捌古灸迢娃感炳网工达俺耗暇侄瘁俗谤垂浅诡望数字信号处理7数字信号处理7,(a)N=23,秒也迭磐豆为绊刁趣老啸州抹酉剑匣处趟馁服塑派氧战翠谴蓝渡训衰偿惮数字信号处理7数字信号处理7,从图7.20（a）的幅频响应曲线可以看出，该滤波器阻带衰减没有满足指标。（b）图是将阶数增加5之后的幅频响应曲线，满足了指标要求。,绿柞翅尽仪斜挠匈底扣霖殷约苫袁攒们置轧溉矩舰例约括孕市梭泉膘波虫数字信号处理7数字信号处理7,(b)N=28,谋诗扑睡菌厚桂瞒纠语钙筑桐雾掌竞觅母检帖跨典诡社森龄父莫羔课梭更数字信号处理7数字信号处理7,