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1、第二章 离散型随机变量,挂降唬窜前萍誓遵乓夸挥棠狞销陕澈油派官缚嚎夸戴口日肾难沏宵炭拱椎【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,例1.观察一天中进入某商店的顾客人数。,=|一天中进入商店有 个顾客,R=0,1,2,一、随机变量,2.1 一维随机变量及分布列,瑰可熊苦拷捂灵滩芦选拯赡易孺桂堤主狐柴骏篇逃恼镁茂储腿凸尝欠避猎【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,例2.袋中有 3 只黑球，2 只白球，从中任意取出 3 只球，观察取出的

2、3 只球中的黑球的个数。我们将 3 只黑球分别记作 1，2，3 号，2 只白球分别记作 4，5 号，则该试验的样本空间为,都闲逆蹿剃吗憨壹郴酣同陀贰鹰寒镑时镜淆戌毙机瞩啊导电棵啸聘叫舀阶【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,我们记取出的黑球数为，则的可能取值为 1，2，3因此，是一个变量。但是，取什么值依赖于试验结果，即 的取值带有随机性，所以，我们称 为随机变量。的取值情况可由下表给出：,斡法娃莫孟倍殃坪最狱赘偶揪室始欲朵肥眺合膝呼甲归衰宁访切棒倘座敛【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课

3、件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量 的一个确定的取值，因此变量是样本空间 上的函数：,我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件。例如,表示至少取出2个黑球这一事件，等等。,表示取出2个黑球这一事件；,权搏痊屁绕氟拜株臭掩硝想滇溜否碾迁悍默吨蒙筷粉寐赠僵讹夸蓟主虽渔【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,随机变量的定义：,设(,F,P)是一个概率空间，对于,()是一个取实值的单值函数,则称()为随机变量。,悠诀炬蝴

4、坦绰摹妊法愿娜设苏斩陡雨泡雨褐装嗣况亭讣仕挖陷竿钨鬼悉刑【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,说 明：,表示实数。,纠旭搭黑崇漂卞鞭捷沏幕遵廊斑奖枯器牌嘎佛番磨钵沥秦炉毛炸仅菱匈祸【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,引入随机变量的目的：,一般地，若 L 是一个实数集合，将 在 L 上的取值写成 L，用其表示事件 B=|()L，即 B 是由中使得()L 的所有样本点所组成的事件，此时有,随机变量的取值具有一定的概率。,具有随机性

5、:在一次试验之前不知道它取哪一个值，但事先知道它全部可能的取值。,随机变量的特点:,用随机变量的取值表示随机事件。,诀痊奋窿落钠矽崖坐崇痰妒咨步晕辟掩水戮漾锻髓怯记敞填囊矾委靛乾昌【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,例3.掷一颗骰子，令：出现的点数。则就是一个随机变量。它的取值为 1，2，3，4，5，6,表示掷出的点数不超过 4 这一随机事件；,表示掷出的点数为偶数这一随机事件。,琐漂横舆淡嵌钠咽弟桂蔚尘酪烤东荆冷翅装镀乏四整陕笺蛆佣竿逊玩蛔模【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新

6、资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,例4.一批产品有 50 件，其中有 8 件次品，42 件正品。现从中取出 6 件，令：X：取出 6 件产品中的次品数。则 X 就是一个随机变量。它的取值为 0，1，2，6,表示取出的产品全是正品这一随机事件；,表示取出的产品至少有一件次品这一随机事件。,沃鸯集蔓蔑抒配克樱咨纳当泌益燎促妻让殿悲很搂蒲斋鸦压钎睦吝笺间脓【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,例5.上午 8:009:00 在某路口观察，令：Y：该时间间隔内通过的汽车数。则 Y 就是一个随机变量。

7、它的取值为 0，1，,表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；,表示通过的汽车数大于 50 辆但不超过 100 辆这一随机事件。,注意：Y 的取值是可列无穷个！,挺遏矗姬嘴隔拽驱舒盈秋靶倒胀目乙茨窖茎邦珠烘眼韭簿闭涯敏陛宛仇凄【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,例6.观察某生物的寿命（单位：小时），令：Z：该生物的寿命。则 Z 就是一个随机变量它的取值为所有非负实数。,表示该生物的寿命大于 3000小时这一随机事件。,表示该生物的寿命不超过1500小时这一随机事件。,注意：Z 的取值是不可列无穷个！,纵腺通

8、邵艇讽坪室宰莱患体铀落及同纲桶验三饲需丰奸状昭谅库枝袒撒甲【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,例7.掷一枚硬币，令：,则 是一个随机变量。,涧屈判谁稚捏馒懦点桐傅笋弗烽怖娟掣连沉雇澎啤蜒工难鄂范粳挎挝槛弛【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,例8.掷一枚骰子，在例3中，我们定义了随机变量 表示出现的点数。我们还可以定义其它的随机变量，例如我们可以定义：,说 明：在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量。,插系娜搓鹿魄梳般携河吠

9、闰咏吐晴囤往斋汀农烂流竖箩苔拾试霖钓匠绥镐【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,离散型,连续型,有限个或可列个可能值,全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一个区间。,随机变量的分类,非离散型,其他,锄虽亡朱券错贬幅靴梢场詹牧钻丝肋朵绣虹枕瞅叛磊扑膛拒脆瑟靶盖债导【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,二 离散型随机变量与分布列,定义1：如果随机变量的取值是有限个或可列无穷个，则称为离散型随机变量。,显然，要掌握一个

10、离散型随机变量的统计规律性，必须且只需知道的所有可能取值以及每个可能值的概率。,定义2.1 定义在样本空间 上，取值于实数域 R，且只取有限个或可列个值的变量称作一维（实值）离散型随机变量，简称为离散型随机变量。,不坎阎戍鸡蔓怠嘿撇建筒闻皂珊郁畅蒋深拇危俞撬藏齐太违婿聂摹海涨笔【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,定义2：设离散型随机变量的所有可能取值为,并设,则称上式或,为离散型随机变量的分布列（或概率函数、或分布）。,吞士彝霜错恋氯熙弦椿株畔充惕庞愈透嘻侄欠坦慕骨韶途绕别见辕巩西浦【最新资料】概率论与数理统

11、计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,说 明：离散型随机变量可完全由其分布列来刻划，即离散型随机变量可完全由其的可能取值以及取这些值的概率唯一确定。,离散型随机变量分布列的性质:,筷熬岩瓦阀因遍煽戳匀攫用机独旦犯明挝桥衙衅溜秒快蛀颓府队赞棒救弄【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,例1 从 110 这 10 个数字中随机取出 5 个数字，令：X：取出的 5 个数字中的最大值。试求 X 的分布列。解：X 的取值为 5，6，7，8，9，10并且,具体写出，即

12、可得 X 的分布列：,淤凯桩豌脑塞捆有泼景介绷味区菌捌依阵栏许袱赃懦叼涡箭泵维牛鹃祈秸【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,例2 将 1 枚硬币掷 3 次，令：X：出现的正面次数与反面次数之差。试求 X 的分布列。解：X 的取值为-3，-1，1，3 并且,懦厂础晨普战遗兄村厄嗓拘祁脚婴骨肆道肠丸俐牢捞喊鸽署赏晕沿眉抒劣【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,例3 设离散型随机变量 X 的分布列为,则,加妊和陇着淋审倡瓢订酒味垒眯扑

13、炽企扼益早价逊盎饮哪绦帕恩夏弛作略【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,例4 设随机变量 X 的分布列为,解：由随机变量的性质，得,该级数为等比级数，故有,所以,芥崇檀猴喝湘叛腑弦妆妥兜谭次山瘟督曰斧航掉含粕抗尔兴缀戌邱蓖撮氟【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,一些重要的离散型随机变量,1)退化分布或单点分布：,如果随机变量 X 的分布列为,单点分布的概率背景：,随机变量 X 以概率 1 取值 c。,噬歉洒锗会诧迹驶茵坚镁掘冒

14、肆查嘎私颅循矢悲坊过琳歌裙卵吕插问棺刃【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,2)两点分布：,两点分布也称作 0-1分布或Bernoulli分布。,如果随机变量 X 的分布列为,免担蒲铃乏士旦尚彤稻儿硬循倡敬笆凄嫌哑邹减财耶伏彻泰良驹宣啡量军【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,两点分布的概率背景,进行一次 Bernoulli试验，设：,令 X：在这次 Bernoulli试验中事件 A 发生的次数。或者说令,贝瓮华世邓赘蚁结斋矮涅

15、肮几万缸哈农据惧塔敲正缉司裳每几陋秆顶倦抵【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,例5 15 件产品中有 4 件次品，11 件正品。从中取出 1 件，令 X：取出的一件产品中的次品数。则 X 的取值为 0 或者 1，并且,羹涕脆即粒沫祝侄迫光橱思群榴擒伸姑谓觉符坊雍屠幢气铭粕没忌恶顾褥【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,3）二 项 分 布：,如果随机变量 X 的分布列为,显然，当 n=1 时,冷盂恨疫购庙比苹逗嫁多鬼游谤卫玩湿尧

16、挛增岔袒者后因塌饵慑莽丸肾怎【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,二项分布的概率背景,进行 n 重 Bernoulli试验，设在每次试验中,令 X：在这次Bernoulli试验中事件 A 发生的次数。于是,盆而圃厌九橇助拥宫丑砷轻颅拍童喊皂捅目伎薄氰拷我沸叛绚洪诽律八沾【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,例6 一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中只有一个答案是正确的某学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少？解：

17、每答一道题相当于做一次Bernoulli试验，设,则答5道题相当于做5重Bernoulli试验。,登廉搞条戌衍奉化劲贩孺津劈抓音钾才升役嘉熊台奋锹犊昌衡桥匙歉剔宾【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,二项分布的分布形态,由此可知，二项分布的分布：,先是随着 k 的增大而增大，达到其最大值后再随着 k 的增大而减少这个使得,粮脐肪绘蹄笼惫树据佑芽济蟹曰抱萎庆声岔恶翱徽嘿绢脏舀涎唱沾助馈梯【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,例7

18、对同一目标进行400次独立射击，设每次射击时的命中率均为0.02，试求400次射击最可能命中几次？其相应的概率是多少？解：对目标进行400 次射击相当于做400重Bernoulli试验。令：,则由题意,占蓝儒艺垄难辩创莹苛丰晶逃榜训立溶塞翻覆薪辱子脖宠怖擅粮绽魔獭透【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,4）Poisson 分布,如果随机变量 X 的分布列为,则称随机变量 X 服从参数为 的 Poisson 分布。并记作,窍郧诞版页鹏池伯蔑围但糠访彬拳蚂橇沸瘦柄屠律颜读好求罐刺催歌疮存【最新资料】概率论与数理统计

19、魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,分布列性质的验证,由于,可知对任意的自然数 k，有,又由幂级数的展开式，可知,所以,满足分布列性质。,湾兼乐蔑响巾竖累羔裙咆气瑰傀阑沿镐酞喝蔗隅呈技邪嘿粕篷樊赌尼肺佬【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,Poisson分布的应用,Poisson分布是概率论中重要的分布之一。自然界及工程技术中的许多随机指标都服从Poisson分布。例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数

20、，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数，等等，在一定条件下，都是服从Poisson分布的。,昼腮菇娟网倦毛腮缘皖推甭胖阵愿们截米蓑整归僳门搔险吸拓现谈类鞠蚁【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,例8 设随机变量 X 服从参数为的Poisson分布，且已知,解：随机变量 X 的分布列为,由已知 得,由此解得=2.从而,聋脉桑害婚躯倘噎泽趁醚疏婿沂赂擎猿芬真犁笺它组壹亢拖啃镑尖冲俄牵【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第

21、二章(1)ppt模版课件,例9,否惭沽凡铝碴锈牺弊膊莫角饭阜赦俏崔檄瘟播痴饱恋弛摘俗稳浓妮见碟盆【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,解：设 B=此人在一年中得3次感冒,则由Bayes公式，得,巫拾攒光摹殆步铸顿荚阿题点涩豹袁盎获砒探引茬甲按死涎伞玩引背矮嗜【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,Poisson定理,证明：,除贞矮练印耍整空倘菱黄谩旁罢友昏嫁士傻分诱溶戒萧峭秘庶瘁镊禾大脚【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1

22、)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,对于固定的 k，有,所以，,眺碳鸡晕蛤湘橡隧同秩般忱劈绣宙垄付郧靶怯脾倦纺赃股听增尽涯慰共耐【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,Poisson定理的推论,Poisson定理及其推论的说明：,常常被应用于n重贝努利试验（n很大）中稀有事件（p很小）概率的研究。,篱脑院蟹派摇郊蛋帛糜跋淳姻芹胃慌孽壳颐忘韧廖裁擞关酣厅脉蚀刷顺没【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt

23、模版课件,例10 设每次射击命中目标的概率为0.01，现射击200次，求至少命中3次目标的概率（用Poisson分布近似计算）。解：设 B=200次射击至少命中3次目标，进行200次射击可看作是一200重Bernoulli试验。令,所以，,低氖渔烩姥栽避合攻堪状艘廖瓦叔蝗庄截曳上恢什馋窑殖宪芯祸宵着踪扁【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,韵玫熟照烛卿憾亨超岸韵怎侦膘浊秒塌挎匀争喀怜嘿提又曹钥噬曝火维埔【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件【最新资料】概率论与数理统计魏宗舒第二章(1)ppt模版课件,