恒成立与存在性问题的基本解题策略.docx
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1、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型1、恒成立问题的转化:a f G)恒成立a f G) ; aa f(x)能成立n a; a f G)fh成立af(x)在M上恒成立3、恰成立问题的转化:a fx)在M上恰成立的解集为Mo(.一八、aA在D上恰成立,等价于在D上的最小值f (x) = A , e D,/(x) Bmin在D上恰成立,则等价于f 3)在D上的最大值f M = B.max4、设函数fG)、gG),对任意的气A,认存在投t, d,使得 f(x ) g(x ),则 / G) g G)12minmi
2、n5、设函数 fG)、gG),对任意的工 G L , Z?,存在G C , tf,使得 f(x ) g(x ),则 f G) g(JC ),贝 ijf Q)g (x)7、设函数 yG)、gG),存在气 ,认 耳在 X2 e t ,6?,使得 f(x) 则 fminQ)g(x)在区间D上恒成立,贝IJ等价于在区间D上函数y = f(x)和图象在函数y = g(x )图象 上方;10、若不等式f G) f 3)在g。上恒成立=mN f (x)max思路 2. m f 3)在g 上恒成立 m 0,则根据函数的图象(直线)可得上述结论等 价于r f (m) 0厂 f (m) 0同理,若在mn内恒有f(
3、x)0,则有 f (n) 0例2.对于满足|a|2a+x恒成立的x的取值范围.分析:在不等式中出现了两个字母:x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数显然可 将a视作自变量,则上述问题即可转化为在-2, 2内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.解:原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+10在|a| 0X2 - 4x + 3 0x 3或x 1 0x2 -1 0X 1或X -1.x3.即 xE(8, 1)u(3,+8)此类题本质上是利用了一次函数在区间m,n上的图象是一线段,故只需保证该线段两端点均在x轴上方(或 下方)即可.2、二次函数型涉及到二次函数的问题是复习的重点,同学
4、们要加强学习、归纳、总结,提炼出一些具体的方法,在今后的解题中自觉运用。(1) 若二次函数y=axbx+c(a手0大于0恒成立,则有a 0且 V 0(2) 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,可以利用韦达定理以及根的分布知识求解。类型1:设f(x)= ax2 + bx + c(a。0)在r上恒成立,(1) f (x) 0在x e R 上恒成立=a 0且 0;(2) f (x) 0在工e R上恒成立o a 0且A 0 时,f (x) 0在x eb / ba b Rv a a P以,p上恒成立o 0 0f (x) V 0在x e a, p 上恒成立 o(2)当 a V 0时,f (x) 0在x
5、e a,p上恒成立off (a)0I f (P) 0b/ b亦b Rf (x) V 0在x e a, P 上恒成立 o 一 以命2a或5a %- P-p-2a或 P 2a、f (a) 0Av 0f (P) v 0类型3:设f (xN ax2 + bx + c(a。0)在区间(* , a上恒成立。f(x)0oa0 且Aa且 f(a)0f(x)0oa0 且Aa且 f(a)0oa0,A0 或-b/2a0f(x)0oa0,A0 或-b/2aa且 f(a) 0在R上恒成立问题,并且注意对二次项系数 a +1的讨论.解:依题意,当x e R时, 2(a2 1)x2 + (a 一 1)x + 0 恒成立,a
6、 +1所以,当a2-1=0,即当4:时,a=1,此时(a2 1)x2 + (a 一 1)x + 2 = 1 0,.a = 1.a +1a 2 -1 0,当a 2-言0时,即当侦=(a -1)2 - 4(a 2一1)二 1有n 1 a 9,a 2 - 10a + 9 0恒成立,求a的取值范围.分析:V = f (x)的函数图像都在X轴及其上方,如右图所示:略解: = a2 - 4(3 - a)= a2 + 4a -12 0 /.-6 a 0恒成立,求a的取值范围.解析一.(零点分布策略)本题可以考虑fx)的零点分布情况进行分类讨论,分 0 0-2 0 f 0无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的
7、右侧三种情况,即A 0f 0 -7, 2.解法二分析:(运用二次函数极值点的分布分类讨论)要使x e-2,2时,f (x) 0恒成立,只需f (x)的最小值g(a) 0即可.略解:(分类讨论)f (x) = x + a -号-a + 3,令f (x)在2,2上的最小值为g(a). k2 74a7当一 4 时,g (a) = f (-2) = 7 3a 0 a 423a不存在.当-2-22,即-4a0 6a2 又Q -4a 2,即 a 0 /. a -7 又。a 4 :.7 a 42综上所述,7 a 2恒成立,求a的取值范围.解法一:分析:题目中要证明f (x) 2在2,2上恒成立,若把2移到等
8、号的左边,则把原题转化成左边二次函数在区间-2,2时恒大于等于0的问题.例2已知f (x) = x2 + ax + 3 a,若x e 2,2, f (x) 0恒成立,求a的取值范围.略解:f (x) = x2 + ax + 3 a 2 0,即 f (x) = x2 + ax +1 a 0 在2,2 上成立. A = a2-4(1 -a) 0-2-2、;2 a 0f 0 0-5 a 2或a222综上所述,- 5 a 2、:2 - 2.解法二:(运用二次函数极值点的分布)当 一 a 4 时,g (a) = f (2) = 7 3a 2 二 a 9 任(4,+8)a 不存在.23aaa 2当一2 2
9、 2,即4 a 2,2 克2 a 22 2 .4 a 2,即a 2,a 5 二5 a 4综上所述5 a g(a)恒成立,则g(a)f(x)min;若对于x取 值范围内的任何一个数,都有f(x)vg(a)恒成立,则90)心扁.(其中Hx和从扁分别为购爵*大值和最小 值)例5.已知三个不等式X2 - 4x + 3 0 , X2 -6x + 8 0, 2x2 - 9x +m 0.要使同时满足的所 有x的值满足,求m的取值范围.略解:由得2x3,要使同时满足的所有x的值满足,即不等式2x2 -9x + m0xe (2,3)上恒成立,即m -2x2 + 9人在X e (2,3)上恒成立,又 - 22 +
10、 9x在X c (2,3)上大于9,所以m9例6.函数/3)是奇函数,且在-1,1 单调递增,又/(-1) = -1 ,若/t2at + l对所有的a e -1,1都成立,求r的取值范围.解:据奇函数关于原点对称,=又 f 3)在-1,1上单调递增/=f=1max0 f(x) 2或 l = 0或 z -2即:r e(-a),-2Y0Y2,+oo)利用变量分离解决恒成立问题,主要是要把它转化为函数的最值问题补例.B/(x) = xlx-al+Z?,xeR .若be。,且对任何xeo,l不等式/(x)0恒成立,求实数的取值 范围.解:当x = 0时,取任意实数,不等式/(x)0恒成立,故只需考虑工
11、e(0,1,此时原不等式变为I尤一 a l-b x即 x + a 1 + b,X min故(x + ) a (x - ) , x e(0,1又函数g(x) = x + b在(0,1上单调递增, x对于函数h(x) = x- b,x e(0,1x当b -1时,在(0,1上h(x)单调递减所以,此时a的取值范围是(1+ b,1 -b).当-1 b 2、,-b, x当x = 4b时,(x - b) = 14b,此时要使a存在,必须有1 + b 2*-b即-1 b 2J2-3,此时a的取值范围是(1+ b,2舟)I -1 b 0综上,当b -1时,a的取值范围是(1+ b,1 -b);当-1 b 盘一
12、3时,a的取值范围是(1+ b,2痂);2分当2*2-3 b a恒成立,求实抵的取值范围.分析:设y=|x+1|-|x-2|,对任意实数x,不等Nx +1|-|x-2 a恒成立即转化为求函数y=|x+1|-|x-2|的最小值,画出此函数的图象即可求得a的取值范围.一 3x -1解:令 y = |x + 1|-|x - 2 = 2x -1 -1 x 21在直角坐标系中画出图象如图所示,由图象可看出,要使对任意实麴,不等式乂 + 1|-|x-2 a恒成立,只需a 。恒成立,求实数I改为 对任意实麴,不等式+1 -|x-2 3; 对任意实数:,不等式尤+1| + |x - 2 Q恒成立,求实数加构造
13、函数,画出图象,得a3.利用数形结合解决恒成立问题,应先构造函数,作出符合已知条件的图形,再考虑在给定区间上函数与函数 图象之间的关系,得出答案或列出条件,求出参数的范围.例8.设常数aR,函数f(x)=3|x|+|2x-a|,g(x)=2-x.若函数y=f(x)与y=g(x)的图像有公共点,则a的取值范围 为。解:1) a=0x=a/2=0 时,f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+aa/2=x=0 时,f(x)=3x+(2x-a)=5x-a,最小值为-a=2则与g(x)有交点,即:-2=a0x=0 时,f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+a0=x=a/2 时,f(x)=3x+(2
14、x-a)=5x-a最小值a=2时与g(x)有交点,即:0a=2综上所述,-2=a 0恒成立,求a的取值范围。2a2a解:因为iog2 a+i的值随着参数a的变化而变化,若设t=iog2 a+i,则上述问题实质是“当t为何值时,不等式(3-1)x2 + 2tx - 2t 0恒成立”。这是我们较为熟悉的二次函数问题,它等价于3 -1 02a求解关于t的不等式组: 。解得t 0,即有log 一- v 0,易得0 a 1。A = (2t) 2 + 8t(3 -1) 0恒成立,求实数c的取值范围。(二) 分离参数,化归为求值域问题3、若对于任意角0总有sin29 + 2mcos0 + 4m-1 0成立,
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