必修四 22平面向量的线性运算.docx

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1、2.2平面向量的线性运算教案A第1课时教学目标一、知识与技能1 .掌握向量的加减法运算，并理解其几何意义.2. 会用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量和差向量，培养数形结 合解决问题的能力.3. 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加减法运算的交 换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；二、过程与方法1. 位移、速度和力这些物理量都是向量，可以合成，而且知道这些矢量的合成都 遵循平行四边形法则，由此引入本课题.2. 运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加减法的三角形法则、平行四边形 法则，并对向量加法的交换律、结合律进行证明，同时运用他们进行相关

2、计算，这可让 同学们进一步加强对向量几何意义的理解.三、情感、态度与价值观1. 通过本节内容的学习，让学生认识事物之间的相互转化，培养学生的数学应用 意识.2. 体会数学在生活中的作用.培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力.教学重点、难点教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量和差 向量.教学难点：理解向量加减法的定义.教学关键：向量加法的三角形法则和平行四边形法则的探究引导.教学突破方法：由物理中力的合成与分解拓展延伸，引导学生探讨得到结论. 教法与学法导航教学方法；启发诱导，讲练结合.学习方法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算 的角

3、度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的 合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法 的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和 结合律.教学准备教师准备：多媒体或实物投影仪、尺规.学生准备：练习本、尺规.教学过程一、创设情境，导入新课上一节，我们一起学习了向量的有关概念，明确了向量的表示方法，了解了零向量、 单位向量、平行向量、相等向量等概念，并接触了这些概念的辨析判断.数能进行运 算，向量是否也能进行运算呢？这一节，我们将借助于物理中位移的合成、力的合成来 学习向量的加法和减法.二、主题探究

4、，合作交流提出问题：1. 类比数的加法，猜想向量的加法，应怎样定义向量的加法？2. 向量加法的法则是什么？3. 与数的运算法则有什么不同？师生互动：向量是既有大小、又有方向的量，教师引导学生回顾物理中位移的概念, 位移可以合成，如图.某对象从A点经B点到C点，两次位移AB、BC的结果，与A 点直接到C点的位移AC结果相同.力也可以合成，老师引导，让学生共同探究如下的 问题.图（1）表示橡皮条在两个力的作用下，沿着GC的方向伸长了 EO；图（2）表示 撤去、和F2,用一个力F作用在橡皮条上，使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度.改变力F1与F2的大小和方向，重复以上的实验，你能发现F与蚪、F2之

5、间的关系 吗？力F对橡皮条产生的效果与力F1与F2共同作用产生的效果相同，物理学中把力F 叫做F1与F2的合力.合力F与力F1、F2有怎样的关系呢？由图(3)发现，力F在以F1、F2为邻边的 平行四边形的对角线上，并且大小等于平行四边形对角线的长.数的加法启发我们，从运算的角度看，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的 合成看作向量的加法.讨论结果：1.向量加法的定义：如下图，已知非零向量a、5，在平面内任取一点A，作AB =a，BC =b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b= AB + BC = AC . 求 两个向量和的运算，叫做向量的加法.B2. 向量加法的法则：(1) 向

6、量加法的三角形法则在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则.运用这一法则时要 特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量 的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量.位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.(2) 向量加法的平行四边形法则如图，以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，则以O为起 点的对角线OC就是a与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行 四边形法则.力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.对于零向量与任一向量a，我们规定a+0=0+a=a.提出问题1. 两共线向量求和时，用三角形

7、法则较为合适.当在数轴上表示两个向量时，它 们的加法与数的加法有什么关系？2. 思考Ia+bl，lai，lbI存在着怎样的关系？3. 数的运算和运算律紧密联系，运算律可以有效地简化运算.类似地，向量的加 法是否也有运算律呢？师生互动：观察实际例子，教师启发学生思考，并适时点拨，诱导，探究向量的加 法在特殊情况下的运算，共线向量加法与数的加法之间的关系.数的加法满足交换律与结合律，即对任意a, bER,有a+b=b+a, (a+b) +c=a+ (b+c).任意向量a , b的加法是否也满足交换律和结合律？引导学生画图进行探索.讨论结果：1.两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点;在数轴

8、上的两 个向量相加，它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段.2. 当a，b不共线时，la+bl0时，Aa的方向与a的方向相同；当A e2不共线，且e1+e2与e1+ke2共线，则k的值为()A. 1B. 1C. 1D. 06 一A. 5 a4.在AABC 中，3. 若向量方2工-3 ( x 2a ) =0，则向量x等于()6 TB.-6aC. 6aD. 5 a1 AE = 5 AB，EF/BC，EF 父 AC 于 F，设 AB =a，AC =b，则 BF用a、b表示的形式是BF =.5.在ABC中，M、N、P分别是AB、BC、CA边上的靠近A、B、C的三等分点， O是ABC平面上的任

9、意一点，若OA + OB + OC = 1 e 1 e2，则3 1 2 2OM + ON + OP =6.已知Alg。的重心为G, O为坐标原点，OA =a, OB =b, OC =c,1求证：OG = 3(a+b+c).参考答案：1 111. B 2. C 3. C 4. -a+匚b 5 ege.6.连接AG并延长，设AG交BC于M.*.* AB =b-a, AC =c-a, BC =c-b,1 11AM = AB +BC= (b-a) + (c-b) = (c+b-2a).2 22一 2 1AG = AM = (c+b-2a).3 31 一 、1 一、.OG = OA + AG =a+-

10、(c+b-2a) = (a+b+c).33教案B第1课时教学目标一、知识与技能1. 理解向量加减法的含义，并掌握加减法的三角形法则和平行四边形法则；2. 会用向量加法的交换律与结合律进行向量运算.二、过程与方法经历向量加减法概念、法则的建构过程；通过观察、实验、类比、归纳等方法培养 学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.三、情感、态度与价值观经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程；在动手探究、合作交流中培养学生勇 于探索、敢于创新的个性品质.教学重点、难点重点：运用向量加减法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量和差 向量.难点：理解向量的加减法法则及其几何意义.教学设想一、创设情

11、境：类比是人类思维中最具创新的一部分，数能进行加减乘除的运算，向量也具有数的 特征，那么向量也应该是可以进行运算的，那么向量的运算又如何呢？二、探究新知：(一)教师引导学生仔细阅读课本，分组讨论，归纳如下：1. 定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法.注意：两个向量的和仍旧是向量(简称和向量)2. 三角形法则：a+b(1) “向量平移”(自由向量)：使前一个向量的终点为后一个向量的起点.(2) 可以推广到n个向量连加.r r(3) a + 0 = 0 + a - a.(4) 不共线向量都可以采用这种法则一一三角形法则.4. 加法的交换律和平行四边形法则*r lr- 上题中b + a的结果与

12、a + b是否相同，验证结果相同.从而得到：(1) 向量加法的平行四边形法则；*F F(2) 向量加法的交换律：a + b = b + a.5. 向量加法的结合律：(a + b ) + c = a + (b + c )证：作图：使 AB = a， BC = b， CD = c，则(a + b ) + c = AC + CD = AD，a + (b + c ) = AB + BD = AD，.( a + b ) + c = a + (b + c ).从而，(二)归纳如下:1.用(1)(2)多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.“相反向量”定义向量的减法“相反向量”的定义：与a长

13、度相同、方向相反的向量.记作-a. 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a.任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0.如果a、b互为相反向量，则a = -b， b = -a，a + b = 0. 向量减法的定义：.教师引导学生仔细阅读课本，类比向量加法的定义和运算法则，分组讨论，(3)向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.即：a - b = a + (-b).求两个向量 差的运算叫做向量的减法.2. 用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a - b.3. 求作差向量：已知向量a、b，求作差向

14、量.即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.注意：(1) BA表示a ，.强调：差向量“箭头”指向被减数.(2)用“相反向量”定义法作差向量，a b = a + (b) .显然，此法作图 较繁，但最后作图可统一.4. 探究：(1) 如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是ba. * . (abO B AB O b ALa.abab一 b o A b BOA(2) 若ab，如何作出a b?三、例题讲解例1如图，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：(1) OA + OC ； (2) BC+FE ； (3) OA + FE.解：(1)因四边形OABC是以OA

15、、OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线， 故oA+oC=oB .(2) 因BC=FE,故BC+EF与BC方向相同,长度为BC的长度的2倍，故BC+FE=AD.(3) 因 OD = FE,故 oA+fe=oA+OD=0.点评：向量的运算结合平面几何知识，在长度和方向两个方面做文章.应深刻理解向量的加、减法的几何意义.例2在长江的某渡口处,江水以12. 5 km/h的速度向东流，渡船的速度是25 km/h,渡 船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？解：设AB表示水流速度,AD表示渡船的速度,AC表示渡 船实际垂直过江的速度，以AB为一边AC为对角线作平行四边 形,AD就是船的速度.在 RtAAC

16、D 中，匕ACD=90,l DC |=| AB |=12. 5,1 AD |=25,Z CAD=30.答:渡船的航向为北偏西30.例3已知一点O到，一ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量OD 等于()A. a+b+cB.ab+cC. a+b-cD.abc解析：如图，点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量 分别是a、b、c,结合图形有 oD = OA + AD = OA + BC= OA + OC -OB =a-b+c.答案：B例4判断题：(1) 若非零向量a与b的方向相同或相反，则a+b的方向必与a、b之一的方向相同.(2) AABC 中，必有 AB +BC + CA

17、 =0.(3) 若AB + BC + CA =0,则a、b、C三点是一个三角形的三顶点.(4) |a+b|/-b|.解：(1)a与b方向相同，则a+b的方向与a和b方向都相同；若a与b方向相反， 则有可能a与b互为相反向量.此时a+b=0的方向不确定，说与a、b之一方向相同不妥.(2) 由向量加法法则AB +BC = AC , AC与CA是互为相反向量，所以有上述结论.(3) 因为当A、B、C三点共线时也有AB +BC + AC =0,而此时构不成三角形.(4) 当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条 对角线的长，其大小不定.当a、b为非零向量共线时，

18、同向则有|a+b|a-b|,异向则有 |a+b|a-b|；当 a、b 中有零向量时，|a+b|=|a-b|.综上所述，只有(2)正确.例5若1 AB |=8,l AC |=5,则|BC|的取值范围是()D. (3, 13)A. 3, 8B. (3, 8)C. 3, 13解:BC = AC - AB .(1) 当 AB、AC 同向时,|BC|=8-5=3;(2) 当 AB、AC 反向时,|BC|=8+5=13;(3) 当 AB、AC 不共线时,3|BC|13.综上，可知3| BC | fc- *(2) 3(a + b) 一 2(a 一 b) 一 a ；*f 一(3) (2a + 3b 一c) 一

19、 (3a 一 2b + c).-解：(1)原式=-12a ；T.i(2) 原式=(3-2-1)a + (3 + 2)b = 5b ；rff(3) 原式=(2 - 3)a + (3 + 2)b (1 + 1)c = a + 5b 2c.向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于僮向量a、b及任意实数人、 p、p ，十恒有人(目a 土目b)=人目a 土人目b .1212123. 向量共线定理探究：r问题 如果b = Xa ,那么，向量a与b是否共线？* fS-I-问题如果非零向量a与b共线，那么，是否存在一个实数人，使律=.a ?， I- 9-I-F-对于向量a ( a。0 )、b，如果有一个实数人，使得b = Xa，那么，由数乘向i量的定义知：向量a与b共线. 1r to-mb若向量a与b共线，a。0，且向量b的长度是a的长度的倍，即有柯=吓|，fc- rF-F当a与b同方向时，有b = r a ； 当a与b反方向时，有b = -r a.f*所以始终有一个实数人，使b = Xa .从而得：向量共线定理：向量b与非零向量a共线当且仅当有唯个实数人，使得.b = X a .三、讲解范例例1已知S和08是不共线向量，AP =tAB (tER)，试用OA、OB表示OP .解：OP = OA + AP = OA +t AB = OA +t ( OB - OA ) = (1-t) OA