第9章静电场.ppt

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1、1,大学物理学（下册）,学时：下册72学时教材：黄时中 袁广宇 朱永忠等编著，大学物理学，合肥：中国科学与技术大学出版社.第2版.,2,课程定位：专业课课程类型：必修课学 时：72学时（总126学时）适应专业：电气信息类学 分：4学分（总7学分）,普通物理学课程的基本信息,3,绪 论,现代意义上的物理学是从1687年牛顿在伽利略和开普勒工作的基础上，发表了自然哲学的数学原理才开始的。也就是说，物理学成为一门自然科学起始于伽利略牛顿时代。,物理学,现代观点认为物理学主要研究：宇宙间物质的基本结构、相互作用和物质最普遍的运动形式及其相互转化规律。,物理学的基本理论渗透在自然科学的许多领域，应用于生

2、产技术的各个部门，它是自然科学和工程技术的基础。,4,起源于伽利略牛顿时代的物理学经过320多年的光辉历程发展到今天，家族非常庞大，学科的交叉、渗透相当普遍。天文学、地学、化学、生命科学中都包含着物理学。寻求物理学与其它学科、物理学各分支之间的“枝连”颇为艰难。目前就物理学本身来讲：,具有5个重大的基本理论。,有宏大众多的学科分支。,物理学中的理论和实验在相互促进和丰富中不断发展。,5,牛顿力学或经典力学（Mechanics)研究物体的机械运动热力学(Thermodynamics)研究温度、热、能量守恒以及熵原理等电磁学(Electromagnetism)研究电、磁及电磁辐射等相对论(Rela

3、tivity)研究高速运动、引力、时间和空间等量子力学(Quantum mechanics)研究微观世界等,物理学中5个最重大的基本理论,6,这些理论没有一个被完全推翻过，也没有一个是完全正确的。牛顿力学在高速情况下，应该用狭义相对论来代替；而对于强引力，它又偏离于广义相对论，在它的适用范围内仍然是精密的。科学的理论总是要发展的，需要根据新的事实加以修正。,在这5大基本理论中，前三个理论主要是十九世纪末二十世纪初之前完成的，一般认为是经典物理学理论的核心；后两个理论主要是在20世纪发展起来的，通常认为是现代物理学的核心。,7,起源于伽利略牛顿时代的物理学经过320多年的光辉历程发展到今天，家族

4、非常庞大，学科的交叉、渗透相当普遍。,物理学及其部分分支学科,经典力学、热学、热力学与经典统计物理学、经典电磁学与经典电动力学、光学。,狭义相对论与相对论力学、广义相对论与万有引力的基本理论、量子力学、量子电动力学、量子色动力学、量子统计力学等。,粒子物理学、磁电子学、原子核物理学、原子物理学、分子物理学、晶体物理学、地球物理学、大气物理学、天文学，以及各种应用物理学科等。,8,第三篇电磁学,电磁学是经典物理学中有别于力学和热学的另一个分支学科，该学科主要研究电磁现象的基本规律及其应用。,本篇介绍电磁学的基本理论，即宏观电磁场的基本规律：,静电场的描述及其基本规律，（9-11）,稳恒磁场的描述

5、及其基本规律，（12-13）,电场和磁场相互联系的规律。（14-15）,9,第10章 静电场中的导体和电介质,第11章 恒稳电流,第12章 恒定磁场,第9章 静电场,第13章 磁介质,第14章 电磁感应,第15章 电磁场理论基础,电磁学篇章提要,10,一、电磁场理论形成过程中3个关键阶段,1、库仑定律的建立(1785年),意义：标志着人类对电的认识真正地从经验走向科学、从定性观察阶段进入定量研究阶段。,2、“电流的磁效应”的发现(1820年),丹麦物理学家奥斯忒于1820年发现了：通电导线周围产生磁场电流的磁效应。,意义：开创了电、磁联系的“电磁学”的新局面。,如何学好电磁学,11,3、“电磁

6、感应现象”的发现(1831年)、涡旋电场假说（1854年）和位移电流假说（1864年）的提出、麦克斯韦方程组的问世（1865年）【5点】,1）、1831年,英国物理学家法拉第通过实验发现了利用磁场产生电流的现象电磁感应现象,意义：标志着电磁理论由静态研究阶段发展到了动态研究阶段。,2）、1854年前后麦克斯韦提出了“涡旋电场假说”,意义：“涡旋电场假说”的问世，提升了法拉第的物理思想，揭示了变化的磁场和电场之间的联系。,12,3）、1862年麦克斯韦提出了“位移电流假说”,意义：“位移电流假说”的问世，揭示了变化的电场和磁场之间的依存关系，反映了自然规律的对称性。,4）、1865年麦克斯韦提出

7、了一组偏微分方程来表达电磁现象的基本规律 麦克斯韦方程组,意义：麦克斯韦方程组是经典电磁学的基本方程，是整个电磁场理论的核心。正确地反映了宏观电磁现象的规律，奠定了经典电磁学整个理论体系。,5）、1888年德国物理学家赫兹巧妙地设计了一个实验“赫兹实验”。,意义：从实验上验证了电磁波的存在。同时也宣布了无线电电子时代的开始。,13,二、学习电磁学时要注意的问题,1、学习电磁学关键是“场”,电磁学的具体内容可以归纳为两部分：“场”和“路”。,“静电场”是学习电磁学中遇到的第一个场，一般认为学好“静电场”是学好“电磁场”乃至整个电磁学的关键。,14,1）、什么是场？,从物理角度理解 场是遍及一个被

8、界定的或无限扩展的空间内的，能够产生某种物理效应的特殊的物质，场具有能量。,从数学的角度理解 场是指空间位置的点函数。这个点函数规定了该区域内一个特定量的特性。如果空间（或者它的某一部分）的每一点都对应一个标量，就说空间存在一个“标量场”；如果空间每一点（或者它的某一部分）都对应一个矢量，就说空间存在一个“矢量场”。,15,2）、“矢量场”和“标量场”的描述方法,描述“矢量场”的基本方法是引入“通量”和“环量”（又叫“环流”）两个概念，并研究它们各自遵循的规律（定律或定理）。与“通量”和“环量”相关的重要“定理”有两个，即高斯定理和环路定理。,对于“标量场”的研究，一般从两个方面入手进行研究研

9、究其“等值面”和“梯度”。,新客体需要用新的方法去描述,16,3）、关于场的研究应注意的几个问题,选取一定的坐标系描述“场”分布的先决条件,“对称性分析”场研究中的有效手段,“近似计算”电磁场研究中常见的方法,考察结论的渐行为检验结论的合理性及知识融会贯通的法宝,17,2、正确理解和运用电磁学中的“物理模型”,物理模型是一个近似的、相对的概念，不能僵化理解,应用物理模型时，不能脱离实际客体和其的应用条件,建立物理模型是科学抽象的一种形式，可以使抽象的理论和假说形象化，便于想象和研究。,建立物理模型是研究物理学问题的第一步，同时，物理模又是物理学研究的对象。,18,3、正确理解和运用电磁学中的代

10、数量,物理量按其性质分为矢量、标量（算术量和代数量）、张量等。,矢量、张量虽然复杂，但有专门的理论。算术量很简单，因为它只有正值。代数量可正可负（如电磁学中常见的算术量有电量、电位、电流强度、电动势、电通量、磁通量等），在运算中常常出错。所以，在学习电磁学时必须对所涉及到的代数量的正、负由来及所代表的物理意义给予充分的重视。,19,第9章静电场,9.1 电荷和库仑定律,9.2 电场强度,9.3 电场线,9.4 静电场的高斯定理,9.5 静电场的环路定理,20,1、物质的电结构：从微观上看，任何实物物质都是由原子或分子构成的，而一个原子的基本结构是,9.1电荷和库仑定律,9.1.1电荷及其基本性

11、质,即原子内有一个原子核和若干个电子，而核内有若干个质子和若干个中子。中子和质子在核内运动，核的线度是10-15 m。电子在核外绕核运动，运动范围的量级是10-10 m。,21,每个质子的质量是1.672X10-27kg,电量是+e;每个中子的质量是1.674X10-27kg,电量是 0;每个电子的质量是9.110X10-31kg,电量是-e.,2、电荷 是基本粒子（如电子、质子等）乃至一切物体的一种属性。它不能存在于这些粒子之外，电荷是一个基本概念，只能通过其存在的后果加以描述。,22,通常情况下，任一物体内各原子中的电子数目与质子数目相等，总电量为零，整个物体任一部分的电量也为零，我们说物

12、体不带电。在力学和热学中所讨论的物体基本都是这类不带电的物体。,人们很早就发现，用毛皮摩擦过的琥珀能吸引羽毛、小纸片、头发、木屑等轻微物体。显然毛皮、琥珀这两样物体都处在一种特殊状态，即我们说的带电状态。处在带电状态的物体叫做带电体，使物体带电称为起电。,实验表明，通过摩擦、接触或感应等可使物体带电。原因主要是电子在物体之间或一个物体的不同部分之间转移。因此，即所谓“带电”，无非是电子数与质子数的失衡。,23,注意：自然界中不存在不依附于任何物体的“单独电荷”这种东西。,本章所涉及的带电体，基本上是固态的带电体，如带电直线、带电圆环、带电圆盘、带电球面、带电球体、带电圆柱面、带电圆柱体、带电平

13、板等，我们一般不去追究其带电过程，而是把它们作为一些简化了的带电模型。,3、电量 是物体所带电荷多少的量度,常用符号q或Q表示,其单位为库仑符号为C.q0 表示带正电,q0表示带负电.,24,4、电荷的重要特性,）.电荷守恒定律,对于一个与外界没有净电量交换的电孤立系统，经过任何过程后，系统内正、负电量的代数和保持不变。,电荷守恒定律是自然界中普遍成立的定律之一。电荷守恒定律与电子的稳定性有关。,例：一个电子(-e)和一个正电子(+e)靠近时，两个电子完全消失（正、负电子湮灭），产生两条沿相反方向的射线。湮灭前后电子的静质量不守恒，但净电荷守恒。,25,1909年密立根(Millikan,18

14、681953)通过油滴实验证实：任何带电体所带的电量都是某个基本电量的整数倍。即：,而基本电量的大小等于一个电子或一个质子所带电量的绝对值：,2).电荷的量子化（及离散化）,26,那么e是否是基本的呢？20世纪60年代，美国物理学家默里盖尔曼和G.茨威格各自独立提出了中子、质子这一类强子是由更基本的单元夸克(quark)组成的，很多中国物理学家称其为“层子”。它们具有分数电荷，是电子电量的2/3或-1/3倍。“夸克”一词是由默里盖尔曼改编自詹姆斯乔伊斯的小说芬尼根彻夜祭(Finnegans Wake)中的诗句。,27,28,上夸克和下夸克；粲（魅）夸克和奇夸克；顶夸克和底夸克。,夸克（Quar

15、k）模型与分数电荷,29,因基本电量很小(1C=6.2421018e)，所以宏观带电体电量的变化可认为是连续的!,30,3).电荷的相对论不变性,带电体所带电荷的电量与带电体的运动速度无关。或者讲带电体所带的电量与参照系的选取无关。这种性质称为电荷的相对论不变性,此外：电荷还具有共轭对称性自然界中，每一种粒子都有对应的反粒子（如：ee+、），它们的质量、半衰期等相同，但电荷量相反。如果把所有的粒子换成反粒子而反粒子换成粒子，这样形成的世界与我们现在的世界是不可区分的，这叫做电荷共轭对称。再者，有电荷就有质量，换言之，零静止质量的粒子只能是电中性的。,31,2、判断：电荷是什么？电荷就是电子、质

16、子等这些粒子？与物体的惯性质量一样,电荷是物体的一种属性，为了表示物体电力的强度规定了电荷量。对于电荷的正负使用的命名法是富兰克林提出的，实际上是可以任意的。,参考答案：（X）；（V)；(V),1、电荷守恒定律与参照系的选取有没有关系？为什么？电荷守恒定律与电子的稳定性有没有关系？,参考答案：无关；原因就是电荷具有相对论不变性；有关,思考与练习,32,1.点电荷（或点带电体）,当一个带电体本身的限度，与问题研究中所涉及的距离相比小得多时，该带电体的形状以及电荷在其上的分布情况均无关紧要，该带电体就可被看作一个带电的点，叫点电荷。,9.1.2库仑定律和库仑力的叠加原理,33,带电体一旦被看成是点

17、电荷，就可用一个几何点标注它的位置。两个点电荷之间的距离就是标注它们的位置的两个几何点之间的距离。,点电荷是从实际问题中抽象出得“物理模型”。任何带电体都可看成是“点电荷”的集合。,点电荷的概念只具有相对意义。被看作“点电荷”的带电体自身的“限度”不一定很小，带电量也不一定很少。至于带电体的限度比问题所涉及的距离小多少，它才能被当作“点电荷”，这要以一问题研究中所要求的精度而定。,关于点电荷的几点说明,34,2.试验电荷（这个概念，在电场强度一节使用）,当被看作点电荷的带电体所带电量的绝对值非常小、且其自身的线度也非常小时，该带电体就被称为试验电荷或检验电荷。,35,是电磁学的基本定律之一，描

18、述了真空中两个点电荷之间作用力的规律。它的建立既是实验结论的总结，又是理论研究的升华。,3.库仑定律（1785年）,涉及到的主要实验是：“库仑电斥力钮秤实验”和“电引力单摆实验”.,1）库仑定律的建立涉及到的主要实验,36,a)、库仑的电斥力扭秤实验,在银质悬丝下端挂一横杆,杆的一端有一小球A,另一端有一个平衡物B.A的旁边还有一个固定的小球C.另A、C带同种电荷，A便因为C的斥力而转开，直至银丝的扭转力矩与A所受的静电力矩平衡为止。,银丝的扭角,横杆的转角(逆时针）,秤头的转角（顺时针）,37,设此时A、C带等量同种电荷,A、C之间的距离为r。若沿相反的方向转动秤头，使银丝的扭角增大，球A便

19、会重新向C靠近。令A、C间的距离分别稳定在r/2；r/4,）.,注意到纽角与纽力矩呈正比,以及两球电荷并无变化,便自然得出如下结论:“两个带同种电荷的小球之间的相互排斥力和它们之间距离的平方成反比”。,38,b)、库仑的电引力单摆实验,类比研究在万有引力（如地球重力）作用下，单摆的振动周期为：,39,距离,预计,实测,类比万有引力场中的单摆实验。本实验结论:“电引力与距离的平方成反比”。,40,2)、库仑定律的表述,在真空中，两个静止的点电荷q1和q2之间的相互作用力大小和q1 与q2的乘积成正比，和它们之间的距离r平方成反比；作用力的方向沿着他们的联线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。,41,叫

20、真空介电常数,电荷：为代数量,k实测值：,令：,则：,3）、库仑定律的矢量表示,42,通常：真空中的库仑定律还可以表示为,43,4.库仑力的叠加原理,在真空中,当几个点电荷同时存在时,作用于某一个点电荷上的库仑力等于各个点电荷单独存在时作用于该点电荷的库仑力的矢量和库仑力的叠加原理。,点电荷系,44,电荷连续分布时库仑力的叠加原理的应用：任何带电体都可看成是无限多个点电荷的集合。因此，一个带电体对点电荷 的作用力可以表示为,矢量积分，要化成标量积分处理,45,真空中有两个点电荷，静止时相距为，此时它们之间的静电库仑力为，当它们合在一起时，就成为 的一个 点电荷。试计算原来两个电荷的电量各是多少

21、？,练习,46,解：,设原来两个电荷的电量分别为 和,47,联立（1）、（2）得：,48,例9.1：三个点电荷的位置如图所示，其中，相距为，位于 轴上，求 所受的库仑力.,解：所受的库仑力可以表示为,49,例9.2：在长为l带电为q的均匀带电细杆的一端距离端点为d处置一电荷q0，求q0所受的库仑力,解：如图所示，细杆单位长度上的电量为，细杆上任一电荷元 对 的作用力的大小为,方向与x轴平行。,50,所以所受的合力沿x轴方向，大小为,51,合力的矢量表达式,若,则,即在d远远大于l的情况下，均匀带电细杆可以近似地看成点电荷q,52,9.2 电场强度,库仑定律表明了对于处在真空中的静止点电荷q和q

22、0,点电荷q0必然受到点电荷q所施加的库仑力.那么,电荷与电荷之间的库仑力是如何传递的呢？,超距离作用观点：库仑力不需任何媒介,也不需任何时间就能由一个带电体作用到一定距离的另一个带电体上，可以用下式表示：,关于此问题，历史上曾有过长期的讨论。出现过两种主要观点。,知识点：电场强度的计算（定义法）,53,近距作用观点：凡是有电荷的地方，四周就存在某种特殊形式的物质，这种特殊形式的物质被称为电场，或者说任何带电体均在自己周围空间中产生电场.这种观点已被近代物理学证明是正确的。,电场的两个重要性质：,电荷在电场中要受到电场力的作用力电场力。,电场力对电荷有做功的本领。,54,试验电荷q0：,（1）

23、正电荷,（2）点电荷,（3）电荷量足够小,电场中各处的力学性质不同。,1.在电场的不同点上放同样的试验电荷q0；,2.在电场的同一点上放不同的试验电荷。,实验：,电场强度（intensity of electric field）：,与q0无关。,9.2.1 电场强度,55,方向：正电荷在该处所受电场力的方向。,大小：F/q0,1.矢量场,3.点电荷q在外场中受的电场力：,称均匀电场或匀强电场。,讨论,物理意义：单位正电荷所受的电场力。,56,9.2.2 电场强度的计算式,1.点电荷的电场,在点电荷的电场中，电场强度的计算式是,代数量,57,2.场强叠加原理和点电荷系的电场强度,场强叠加原理：,

24、是库仑力的叠加原理的直接推论。,58,3.电荷连续分布带电体的电场强度,电荷元dq在P点的电场强度：,带电体在P点的电场强度：,线电荷：dq=dl,面电荷：dq=dS,体电荷：dq=dV,59,例9.3 计算电偶极子(electric dipole)轴线的延长线上和中垂线上任意一点的场强。,相隔一定距离的等量异号点电荷+q 和-q 组成一电荷系统，当它们之间的距离 l 比问题研究中所涉及到的距离小的很多时，此电荷系统就称为电偶极子。,若用 表示从负电荷到正电荷的相对位置矢量，则 称为电偶极子的轴。描述“电偶极子”自身特征的物理量是电偶极矩(electric dipole moment)，用 表

25、示，其定义是,60,61,（1）轴线延长线上一A点的电场强度,62,(2)“电偶极子”中垂线上的某点B处的场强(),.,+,-,.,63,y为距离,64,例9.4 正电荷q均匀分布在半径为R的圆环上.计算通过环心点O并垂直圆环平面的轴线上任一点P处的电场强度.,65,解,66,（1）,（2）,讨论,67,(3)E的极值位置,令,得,68,例9.5 有一半径为R，电荷均匀分布的薄圆盘，其电荷面密度为.求通过盘心且垂直盘面的轴线上任意一点处的电场强度.,69,解,70,讨论,x为距离,背离带电平面的单位法矢量,71,72,练 习,73,半径为 的半球面上，均匀带电，电荷面密度为，求球心处的电场强度

26、,练 习,。解：,建立坐标系，原点在半球面的球心，x轴正方向垂直半球面的圆平面,74,。解：,建立坐标系，轴原点在半球面的球心，正方向垂直半球面的圆平面,75,例9.6 设有一均匀带电的直导线，长度为b，总电量为q,在如图所示的直角坐标系中，用 表示带电直线到线外一点P的垂直位矢，用 和 表示P点和直线两端的连线与X轴之间的夹角，求P点的电场强度。,76,解：直导线上的电荷线密度为,对于直导线上坐标为x处长为dx的线元,其带电为,到场点P的矢径为,在P处产生的电场强度为,77,此电场强度在坐标轴上的分量分别是,，,78,利用,有,79,积分得,80,推论：,对于无限长带电直线，,81,写成矢量

27、形式即,背离带点直导线的单位法矢量,82,作业9.7；9.8；9.10,83,9.3 电场线,9.3.1 电场线,描述电场最精确的方法，是给出电场强度的分布函数。这种描述方法虽然精确但不够直观。一种形象且直观地描述电场在空间的分布的方法，是在电场中画出电场线。,在电场中画出一系列假象的曲线，使曲线上每一点的切线方向与该点电场强度的方向相同，这些假象的曲线称为电场线。,知识点：1）电场线密度与场强大小之间的关系；2）静电场电场线的性质,84,为了使电场线也能直观地描述场强的大小，我们引入电场线密度的概念。,如图,在电场中某点附近取一与电场线垂直的面元,设穿过它的电场线数为，则电场线密度为.,规定

28、：电场中某点电场强度大小与该点的“电场线密度”成正比。即：,电场线密度:,85,式中K为大于零的比例常数单位是：，为了研究问题的方便，我们把K取为1。标准的电场线图均是按此规定绘制的。,根据上一节的计算结果，我们可绘出三种带电体电场中的电场线。这三种带电体即：,点电荷、无限长均匀带电直线、无限大均匀带电平面。,现分述如下：,86,点电荷的电场线是以点电荷为球心的球体内的径线,方向或者沿球心外指(q0)或者指向球心(q0)，电场线的剖面图如图所示。立体图可通过绕任一直径转一周而得到。电场线的这种分布具有球对称性。,径向单位法矢量,1.点电荷电场的电场线,87,其它几种点电荷系的电场线,88,无限

29、长均匀带电直导线电场的电场线是以带电直线为轴线的圆柱体内与轴垂直的经线,如图所示.任一横截面上的电场线分布均成辐射状.这种电场线分布具有轴对称性.,2.无限长均匀带电直导线电场的电场线,89,无限大均匀带电平面电场的电场线是与板面垂直的一组组平行直线。,3.无限大均匀带电平面电场的电场线,90,无限大均匀带电平面电场的电场线通常简化表示为与板面垂直的平行直线。,91,在两板的外侧，电场强度为零；在两板之间，电场强度的方向与板面垂直，且由带正电的平板指向带负电的平板。,实际情况,电荷密度分别为 的两个平行的无限大均匀带电板所产生的电场.,92,9.3.2“静电场”电场线的性质,性质1：静电场的电

30、场线发自正电荷(或无穷远)，终止于负电荷(或无穷远)，在没有电荷的地方不中断(场强为零的奇异点导体内除外)。我们将在学习过“静电场的高斯定理”后对此性质作进一步说明。,性质2：电场线不构成闭合曲线。这一性质是静电场环路定理的必然推论，其证明将在学习完静电场的环路定理后给出。,性质3：任何两条电场线不会相交。如果两条电场线相交，那么在相交点就会出现两个切线方向，这与静电场中任何一点的电场强度只有一个方向相矛盾。,注意:电场线并不是实际存在的,只是形象描述电场的几何方法。,93,9.4 静电场的高斯定理,知识点：,1、电通量及其计算,2、静电场的高斯定理及其应用,94,9.4.1 电通量(Elec

31、tric flux),在电场空间中取一微小面积元,用 表示 法线方向上的单位矢量,则 称为有向面积元.设 上的电场强度为，我们把,称为通过有向面积元 的电通量(或称 通量)。,95,由于通过电场中某点附近与电场线垂直的面元 的电场线数为,而,即：电通量在量值上等于通过电场中有向面积元的电场线的条数乘以+1 或-1电通量的几何意义。,因此,96,在电场中，通过任意曲面的电通量定义为通过该曲面上各有向面积元的电通量的代数和，即：,这样的积分在数学上叫面积分，积分号下标S表示积分遍及整个曲面。,97,如果曲面是闭合的，则通过一个封闭曲面的电通量表示为：,需要说明的是：对于非闭合曲面，面上各处的“单位

32、法矢量”的正方向可以任意取这一侧或那一侧，视方便而定。对于闭合曲面，由于它把整个空间划分为内、外两部分，所以一般规定：自内向外的方向为各处面元的法向正方向！。,98,当电场线从内部穿出时，该面元上的电通量为正；,因此：通过封闭曲面的电通量可形象地理解为穿出与穿入闭合曲面的电场线的条数之差，也就是净穿出封闭曲面的电场线的总条数！。,当电场线从外面穿入时，该面元上的电通量为负。,99,特例：均匀电场中通过一个平面的电通量,100,例9.7：在点电荷 q 的电场中，以点电荷所在点为球心作一半径为 r 的球面，求通过此球面的电通量。,解：先假设 q0。,101,若q0，则有,因此，无论是 q0 还是

33、q0，都有,该结论与球面半径r无关，只与它所包围的电荷的电量有关。根据电通量的定义，该结论表示穿过S的电场线的条数为。当q0时，电场线穿出；当q0时,电场线穿入。,场强的大小,102,高斯(C.F.Gauss 17771855）,9.4.2 静电场的高斯定理,以德国物理学家和数学家高斯命名的静电场的“高斯定理”回答了闭合曲面上的“电通量”和“场源电荷”之间的关系问题。,103,理论证明，这种依存关系可表示为,即：静电场中，通过任一闭合曲面的电场强度通量等于该曲面所包围的所有电荷量的代数和的1/0倍。,104,2.静电场的高斯定理的证明,由于任何带电体系都可看成是点电荷的集合,所以,我们先从点电

34、荷的电场出发推导这种关系。,1）点电荷的电场中取任意同心球面,由例题9.7可知：在真空中，对于以点电荷q所在点为中心的任意同心球面S，通过它们的“电通量”都一样，都是。即,105,2）点电荷的电场中，取包围点电荷的任意闭合曲面S,由于静电场的电场线在无电荷的地方不中断，因此穿过S的电场线的条数与穿过S0的电场线的条数相等，即对于包围点电荷q的任意闭合曲面S，通过它的电通量都是。即：,该结论对q0的情形同样成立。,围绕该点电荷作一同心球面S0，根据例题9.7的结论,穿过的S0电场线的条数应为(设q0)。,106,当任意闭合曲面S不包围点电荷q时，从q发出(或终止在q上)的电场线如果穿过S的话，一

35、定是穿过两次，一进一出.即净穿过的电场线条数为零.故当闭合曲面S不包围点电荷时，通过它的电通量为。即,3）点电荷的电场中，任意闭合曲面S不包围点电荷,107,4)点电荷系的电场中取任意闭合曲面,用 表示第i个点电荷单独存在时通过闭合曲面S的电通量。由上述关于单个点电荷通过闭合曲面的电通量的结论可知:,当第i个点电荷在闭合曲面S内时，当第i个点电荷在闭合曲面S外时，。,下图表示一个由n个点电荷 q1,q2 qn 组成的点电荷系的电场中的一个任意闭合曲面S。我们来讨论闭合曲面S上的“电通量”和“场源电荷”之间的关系.,108,因此,在由q1,q2qn等n个点电荷组成的点电荷系的电场中,通过任意一闭

36、合曲面S的电通量可以表示为,109,其中 表示对闭合曲面S内的电量求和，有时习惯用 表示。,110,综上所述：在真空中,对于任意静电场,通过任意封闭曲面S的电通量,等于该封闭曲面内所包围的总电荷量(代数和)的 倍.这个结论称为真空中静电场的高斯定理。,其中,或,真空中静电场的高斯定理的数学形式,111,112,对静电场来讲，场强叠加原理与高斯定理并不是相互独立的，而是用不同的形式表示的电场与场源电荷关系的同一客观规律。,场强叠加原理使我们在电荷分布已知的情况下，能求出场强的分布；,而高斯定理使我们在电场强度分布已知时，能求出任意区域内的电荷！。,113,C,114,D,115,D,116,解,

37、117,当电荷分布具有某种高度对称性时，我们也可用高斯定理求出空间电场的分布！,但必须注意：利用高斯定理只能求场强的大小，至于场强的方向，一般要靠对称分析得出，而对称性分析的基础是场强叠加原理！,我们将会看到，对于某些问题，利用高斯定理求场强的方法在数学上要比场强叠加原理简便得多。,9.4.3 高斯定理的应用举例！,118,1.分析场强分布的对称性；,这一方法的关键是如何作出一个合适的高斯面S，以便能够使上述积分式中的E能从积分号内提出来。,3.应用高斯定理计算出场强的大小.再结合步骤1给出场强的矢量表达式。,2.作一个合适的高斯面，求出高斯面内的总电荷；,用高斯定理求场强的一般步骤,119,

38、例9.9：球对称性情形。如图所示，设在真空中，有一均匀带电球体，半径为R，带电总量为Q，求球内外空间各点的场强。,120,对称性分析：过球外任意一点P,作直径OP,将带电球面分成与OP垂直的一个个带电圆盘,由带电圆盘在轴线上的场和叠加原理可知,电场的分布具有如下对称性：,121,(1)同一球面S上任一点处 的方向沿S在该点的法线方向,这种对称性称为球对称性。,(2)同一球面S上各不同点之 的大小 相等。,122,球外任一点P(rR)：过P作半径为r的同心球面S(高斯面)，根据高斯定理得,123,球内任一点P(rR)：过P作半径为r的同心球面S(高斯面)，根据高斯定理得,124,结合对称性分析所

39、确定的空间各点场强的方向，有,这表明，在均匀带电球体内部各点场强的大小与半径r成正比，在均匀带电球体外部各点场强的大小与半径r的平方成反比。,125,均匀带电球体的Er曲线如下图，球体表面上(即r=R处)，场强数值是连续的(电荷体分布！）。,或者,126,类似的情形还有：半径为R的带电总量为Q的球面周围空间的电场为,电场不连续，因为电荷呈面分布。,127,思考:内外半径分别为R1和R2、带电为Q的球壳的电场,128,例9.10：柱对称性情形。求半径为R、电荷线密度为的无限长均匀带电柱面的电场。,129,(1)空间各点 的方向与轴线垂直；,(2)同一柱面上(与带面柱面同轴的柱面)上各点 的大小

40、相等。,这种对称性称为轴对称性。,分析可知：场强分布具有一下称性,130,当rR时,取与带电柱面同轴的圆柱面S为高斯面(取球面可行?)，根据高斯定理有,131,同理，当rR时，E=0。综合考虑电场 的大小和方向，可得带电柱面内外各点的为,带电柱面内、外的电场不连续。,132,无限长均匀带电直线，线电荷密度为,求电场分布,133,类似的情形还有：电荷体密度为(单位长度上的电量为)、半径为R的无限长均匀带电圆柱体的电场.,134,例9.11：面对称性情形。求电荷面密度为的无限大均匀带电平面的电场。,先作对称性分析。无限大带电平面可看作是无限多个同心带电圆环的集合。过场点p作平面的垂线，对于无限大平

41、面，任一垂足为带电平面的中心。,135,p的场强可以看作是由无限多个带电圆环在该点产生的电场的叠加。根据圆环在轴线上产生电场的规律和叠加原理可知：任意p点的场强垂直于带电平面；且在带电平面两侧等距离的点上的 大小相等、方向相反。电场的这种对称性称为面对称性。,136,选取一个圆筒式的封闭面S作为高斯面，带电平面平分此圆筒，场点p位于S的一个底上。,137,运用高斯定理得,背离带点平面的单位法矢量,138,总结前面的几个例题，可以看出，只有当电荷分布具有高度对称性时，其场的分布才具有高度对称性，才能用高斯定理求出场强!。,虽然这类问题并不多，但仅有的几个特例所得出的结果都是非常重要的。这些结果的

42、实际意义往往不限于这些特例本身，很多实际问题都可以用它们作近似的估计。,就拿“无限长带电圆柱体”和“无限大带电平面”来讲，虽然现实中没有无限大的带电体系，但对于有限长的带电圆柱体和有限大的带电面附近的地方，只要不太靠近端点或边缘，上述特例的结论都是很好的近似。,139,不具有特定对称性的电荷分布，其电场不能直接利用高斯定理求出。当然这决不是说高斯定理对这些电荷分布不成立!。,另外，对某些带电体系来说，如果其中每个带电体上的电荷分布都具有对称性，那么可以利用高斯定理求出每个带电体的电场，然后再应用场强叠加原理求出整个带电体系的总电场分布，平板导体组带电就是典型的例子。,利用高斯定理来证明电场线的

43、性质1，即：静电场的电场线发自正电荷，终止于负电荷。,思考与练习,140,如图，设静电场中某点p处有电场线发出.现在证明该点有正电荷.包围p作一个闭合曲面S,则从p点发出的电场线一定从该闭合曲面穿出,因此,由静电场的高斯定理得：,可知S内必有正电荷，即电场线发自正电荷。同理可证静电场的电场线终止于负电荷。,141,解：,采用补偿法来求解，,练习：电荷密度均匀为 的球体内，有一球形空腔，将坐标原点建立在球心O上，空腔球心的位置矢量为，试求空腔内任意点的电场强度。,利用高斯定理可求均匀带电（没有空腔的）球体内的任意点的场强：,142,在空腔内任意点处的电场强度：,腔内为均匀电场。,同理，负电荷均匀

44、带电球体产生的电场强度：,143,（1）场强分布对称性分析，主要是判断能否用高斯定理求场强,电荷分布对称性场强分布对称性,球对称性,轴对称性,面对称性,小结：利用高斯定理求场强步骤细化,144,（2）选择适当的高斯面,高斯面必须通过所求的场强的点。,高斯面上各点场强大小处处相等，方向处处与该面元线平行；或者使一部分高斯面的法线与场强方向垂直；或者使一部分场强为零。,145,（3）算出通过整个闭合曲面的电通量以及该闭合曲面所包围的电量的代数和，应用高斯定理列出方程求解。,（4）对某些复杂的电荷分布，要注意到带电体的各个部分，若具有某种高度对称性，可分别 使用高斯定理，然后再用场强叠加原理求总场强

45、分布。,146,作业 9.9；9.11；9.12；9.13,147,场强与电势间的微分关系,知识点,静电场的环路定理；,电势及电势叠加原理、电势差；,9.5 静电场的环路定理,148,在点电荷的电场中,1.静电力做功的特点,9.5.1 静电场的环路定理,149,150,任意电荷（视为点电荷的组合）的电场中,静电场力做功与路径无关.,结论,151,静电场力做功与路径无关.是静电场的一个重要性质,叫“静电场的保守性”或“叫静电场的有势性（有位性）”。,152,2.静电场的环路定理,静电场的环流,“静电力做功与路径无关”，即“静电场有势性”还可用另一种形式表述,153,说明了：静电场是无旋场,“静电

46、场强的环流等于零”,“静电场的环路定理”,在静电场中，沿任意闭合路径移动单位电荷，静电力做的功等于零。,物理意义：,154,用静电场的环路定理证明静电场的电场线的性质2：静电场线不构成闭合曲线。,用反证法：假设静电场的某条电场线构成了闭合曲线L,沿这条闭合的电场线作积分,由于 与 同方向，因而。这与静电场的环路定理相矛盾，故静电场的电场线不能构成闭合曲线。,思考与练习,155,引入“通量”和“环流”两个概念，并确定通过任意闭合曲面的通量是否为零（描述矢量场这个性质的定理叫高斯定理）以及沿任意闭合回路的环流是否为零（描述矢量场这个性质的定理叫环路定理），正是定量地描述和确定矢量场（如静电场）是否

47、有源和是否有旋的有效手段和恰当方式。,理解与说明,156,理解与说明,引入一个新的概念、新的物理量不是凭空设想出来的，它是人们在认识物理世界的过程中，经过思考、探索其中内在规律而凝练的产物，是清晰而明确地表达表述物理规律必不可少的组成部分。我们应通过这些物理量所遵循的物理规律去理解引入它的必要性，在学习的过程中努力去熟悉它、运用它、逐渐理解它。,157,9.5.2 电势能(补充）,静电场是保守场，静电场力是保守力.静电场力所做的功就等于电荷电势能增量的负值.,令：,电荷q0在电场中某点A的电势能,158,2、电势能的大小是相对的，电势能的差是绝对的.,WA 在数值上等于把电荷q0从A点移到零势

48、能处静电场力所作的功.,注意:,1、WA为静电场和点电荷q0共有，,单位：J,159,9.5.3 电势及电势差,静电能WA为静电场和电荷q0共有,不足以反映静电场在某场点(如A点)的性质,引入新物理量,A点电势,VA等于单位正实验电荷在A点的静电势能,1.电势,零电势参考点,SI：V,160,电势零点选择方法：有限带电体,以无穷远为电势零点，实际问题中常选择地球电势为零.,物理意义：把单位正试验电荷从点A移到无穷远时，静电场力所作的功.,!,161,物理意义,2.电势差,将单位正电荷从A点移到B点电场力作的功,SI：V,162,理解“电势”和“电势差”时应注意,1)、电势差和电势虽然有相同的单

49、位，但它们是两个不同的概念，电势差不构成标量场。应养成“对一点谈电势，对两点谈电势差(或电压)”的习惯。,2)、对于两点间的电势差，我们不但要关心它的绝对值，还要关心这两点的电势谁高谁底。一般以UAB 代表 VA-VB，可从UAB的正、负便可判断A、B两点的电势谁高谁底。,163,3)、由于电势参考点的选取有任意性，所以电势是一个相对量。因此，说某点的电势时一定要指明参考点的位置，否则就无任何意义。在同一问题中只有选定同一个参考点，各点的电势才具有可比性。但是两点之间的电势差的大小是一个绝对量，它与参考点的选取无关。,既然电势与参考点的选取有关，那么就可适当选择电势参考点来使问题简化。也就是说

50、电势参考点的选取视方便而定。,164,当电荷分布在有限区域时，电势零点通常选在无穷远处，此时电场中某点A的电势为,电势参考点的选取所遵循的一般原则,当产生电场的电荷分布在无限区域如无限长带电直线、柱面、柱体、无限大带电平板等时，不能选无限远处为电势零点。,165,这是因为若取无限远处的电势为零，则导致无意义的数学表达式。这种情况下，只能选取有限远处的某点为电势零点。究竟选择有限远处的哪一点为电势零点，视方便而定，没有统一要求。,如:右图为无限长带电直导线，求P点的电势。就不能选无限远处为电势参考点。,166,*电场力做的功与电势差之间的关系,167,1.点电荷的电势,令,9.5.4 电势的计算