模糊关系及推论.ppt

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1、第七章,模糊關係及推論,7.1關係(1),卡氏積(Cartesian product)的運算:假設有兩個明確集合分別為：則此兩個集合的卡氏積(Cartesian product)為：我們以“關係”來說明兩個集合之間是否具有某種關聯，表示如下：其中,範例7.1：明確關係,假設有兩個有限集合分別為：則關係 而 X 與 Y 這兩個集合的關係，可以用“圖形表示法”與“矩陣表示法”兩種表示法來表示，如下所示：,範例7.2：模糊關係,兩個模糊集合的模糊關係表示如下：令論域 X 與 Y 皆為實數軸，關係 R 為定義在 X Y 的關係：x 遠大於 y，則我們可以用歸屬函數來表示此關係如下：如果 X=3,4,5

2、,6 以及Y=3,4,5，那麼我們可以用下列方式來描述此種模糊關係：,7.1關係(2),模糊關係也是一個模糊集合，那麼前一章所介紹的模糊集合運算也可套用來處理模糊關係，模糊關係的運算元包括聯集、交集、補集、以及包含。令 R、S、與 T 為三個關係，分述如下：1.聯集：2.交集：3.補集：4.包含：,7.2投影與柱狀擴充(1),一、投影：若 R 代表在 X Y上的一個模糊關係，那麼 R 於 X 及 Y 的投影，分別定義為：這裏的 及 分別是定義於 X 及 Y 的模糊關係(或集合)，其相關的歸屬函數分別定義如下：,圖7.1：投影的過程示意圖。,7.2投影與柱狀擴充(2),二、柱狀擴充:若R代表在X

3、或Y上的一個模糊關係或集合，那麼它在X Y上的柱狀擴充的定義分別如下：這裏的 是定義於 X Y上的一個模糊關係，其相關的歸屬函數，可由下式求得：,圖7.2：柱狀擴充的過程示意圖。,範例7.3：二元(binary)模糊關係的投影與柱狀擴充,已知一模糊關係R的定義如下，其中行代表，列代表：,範例7.4：三元(ternary)模糊關係的投影與柱狀擴充(1),已知一個三元模糊關係的定義如下：令 為將 R 投影至 X1 X X2所形成的關係，也就是說，則：,範例7.4：三元模糊關係的投影與柱狀擴充(2),令 R3 為將 R 投影至 X3 所形成的關係，則：令R12*為將 R12 柱狀擴充至 所形成的關係

4、，R*3 為將 R3 柱狀擴充至 所形成的關係，亦即：,7.3合成運算(1),另一個很重要的模糊關係的運算子為“合成(composition)”，可以用在“關係與關係(relation-relation)”的合成或“集合與關係(set-relation)”的合成。合成的運算有許多種類，其中以“最大-最小合成(max-min operation)”最被廣泛使用。若 P 及 Q 為分別定義於 及 上的兩個明確關係，那麼我們可以藉由合成的運算，將 P 及 Q 轉換成定義於 上的一個關係 R，其相關定義如下：,範例7.5：明確關係的合成,假設有以下兩個明確關係：而且則P與Q的合成為：,7.3合成運算(

5、2),令 與 分別代表定義於 及 的兩個模糊關係，那麼P 及 Q 合成其相關定義如下：其中 t(.,.)是的運算子。那麼用“最大-最小合成(max-min operation)”的運算子可將 P 及 Q 合成為,範例7.6：模糊關係的合成,假設有兩個模糊關係的合成如下：則模糊關係 P 與模糊關係 Q 的合成為：,模糊集合與模糊關係的合成,令 A 是定義在 X 上的一個模糊集合，R 是定義在 X Y 上的一個模糊關係，則我們以符號 代表模糊集合 A 與模糊關係 R 的合成，定義為：從上述式子可知，A 與 R 的合成得到定義於 Y 上的模糊集合 B。不管是在“關係與關係”的合成或是在“集合與關係”

6、的合成中，所用的“最大(max)”及“最小(min)”這兩個運算子，我們分別可用前一章所提的 t-conorm 及 t-norm 來取代。因此，“合成”這個運算可以有許許多多的不同運算方式，而“最大-最小合成(max-min operation)”是最被常使用的運算方式。,7.4模糊規則(1),語意式變數代表一種可以用自然語言中的文字或句子來形容的變數。這種語意式變數的概念是由 Zadeh 於1975年首先提出來。語意式變數的構成元素有五個，其中 x 是變數的名稱，T(x)是 x 的“措詞集(term set)”，也就是形容 x 的語意子句所構成的集合，亦即變數 x 的語意值(linguist

7、ic value)，U 是x 的論域，G 是產生 x 的語意值的句法規則(syntactic rule)，而 M 是將 x 的語意值與其相關之意義結合在一起的語意規則(semantic rule)。,範例7.7：語意式變數,如果我們將“溫度”視作一個語意式變數，亦即 x=溫度，那麼措詞集可以是以下之集合：論域 U 可定義於 0,50 之區間；至於產生 T(x)的句法規則 G 就是一種很直覺的方式，例如用來形容溫度的措詞，不外乎是形容它的溫度高低，而不會用“老”或“快”來形容它；而語意規則 M 則是定義這些語意值的相關歸屬函數，譬如說：M(低)=溫度低於10的模糊集合，其歸屬函數為。M(中)=溫

8、度接近25的模糊集合，其歸屬函數為。M(高)=溫度高於35的模糊集合，其歸屬函數為。,圖7.3：將“溫度”視作一個語意式變數，其歸屬函數的設定範例。,語意值的運算子(1),濃縮：CON(A)擴張：DIL(A)強化：INT(A)根據這些運算子，我們可以得到以下之語意運算子：非常(A)=highly(A)=A3 很(A)=very(A)=CON(A)=A2(A)=more or less(A)=DIL(A)=A0.5 有點(A)=roughly(A)=A0.25 略微(A)=rather(A)=INTCON(A)AND NOTCON(A),語意值的運算子(2),我們定義 A 為 x 值接近 0 的

9、模糊集合,圖7.4：一個語意運算子的例子。,7.4.2模糊規則(1),模糊規則(fuzzy rule)通常都是以下列的型式出現：模糊規則:If x is A Then y is B 式中之A和B分別是定義於論域X和Y上之模糊集合。“x is A”稱為此模糊規則的前鑑部(antecedent or premise)，而“y is B”則稱為此模糊規則的後鑑部(consequence or conclusion)。明確規則通常都是以下列的型式出現：明確規則:If x is A Then y is B 基本上，傳統二元邏輯將明確規則視為“明確蘊含(crisp implication)”AB，其中是“

10、命題變數(propositional implication)”，其值只有兩種非“真(truth)”即“偽(false)”。,7.4.2模糊規則(2),蘊含 AB 與 或 是等效的。我們可以將模糊規則視為模糊蘊含，將明確運算子“”、“”、以及“”分別用模糊聯集、模糊交集、以及模糊補集取代即可。,7.4.2模糊規則(3),至於如何看待這種模糊蘊涵或模糊關係，則有各種不同的作法，以下是一些常用的型式：Dienes-Rescher Implication:Lukasieweicz Implication:Zadel Implication:Godel Implication:,7.4.2模糊規則(4

11、),If x is A Then y is B may be interpreted as If x is A Then y is B Else nothing蘊含 AB 與 是等效的。Mamdani Implication:Product Implication:,7.5近似推論(1),傳統二元值邏輯中，最常用到的推論方式 modus ponens：前提一(premise 1)：x is A 前提二(premise 2)：If x is A Then y is B-結論：y is B 將 modus ponens 推廣至可以推論模糊規則，方式如下：前提一(premise 1)：x is A

12、前提二(premise 2)：If x is A Then y is B-結論：y is B 其中 A 和 B分別是非常近似 A 和 B 的模糊集合，這種近似推論有時亦稱為 generalized modus ponens(簡稱為GMP)。,推論的合成規則(compositional rule of inference),推論的合成規則(1),推論的合成規則(2),模糊集合 A 的柱狀擴充 C(A)的歸屬函數是模糊集合 C(A)R 的歸屬函數是將 C(A)R 投影至 Y 上，可得此式就是所謂的推論的合成規則,推論的合成規則(3),通常我們 用下式概括上述之式子 其中“”代表合成運算子。將近似推

13、論具體化的計算法如下 首先令 A、A、以及 B 分別為定義於 X、X、和 Y 上的模糊集合，模糊規則“If x is A Then y is B”則以定義於上之模糊蘊涵 AB 來表示，那麼根據近似推論和推論的合成規則，我們可以得到 若我們採用的是“最大-最小合成”，則上式就相當於是,7.5.1單一規則，單一變數(1),輸入：x is A模糊規則：If x is A,Then y is B-結論：y is B若模糊關係 AB 是以Mandani的 RM 來表示，也就是說：則 其中 可被解釋為前鑑部被符合的程度性，亦被稱為“啟動強度(firing strength)”。而 代表後鑑部該被執行多少。

14、,7.5.1單一規則，單一變數(2),若模糊集合 A 為一模糊單點(fuzzy singleton)，也就是：則,圖 7.7：單一規則、單一變數的近似推論過程。,7.5.2多規則，單一變數(1),輸入：x is A 模糊規則 R1：If x is A1,Then y is B1 模糊規則 RJ：If x is AJ,Then y is BJ-結論：y is B其中，因此,7.5.2多規則，單一變數(2),式中 i 代表第i個模糊規則的啟動強度若模糊集合 為一模糊單點，則：,圖7.8：多規則、單一變數的近似推論過程。,7.5.3單一規則，多變數(1),輸入：x is A and y is B 模

15、糊規則：If x is A and y is B Then z is C-結論：z is C 上述之模糊規則可表示成定義於 上之模糊蘊涵或關係：所以我們可以導出 C 為：,7.5.3單一規則，多變數(2),其中 A 和 B 分別代表 A 與 A 和 B 與 B 之間的“相容程度性(degree of compatibility)”；而 則代表此模糊規則的啟動強度。上式又可表示成：,圖 7.9：單一規則、多變數的近似推論過程。,若模糊集合 A 與 B 為模糊單點，亦即 A=x0 以及 B=y0，則：,因此,7.5.4多規則，多變數(通用式),輸入：x is A and y is B 模糊規則 R

16、1：If x is A1 and y is B1 Then z is C1 Else 模糊規則 R2：If x is A2 and y is B2 Then z is C2 Else 模糊規則 RJ：If x is AJ and y is BJ Then z is CJ-結論：z is C 其中 Ai、Bi、以及 Ci 分別是定義於 X、Y、與 Z 上的模糊集合，而“Else”可以解釋為“聯集運算”，因此,7.5.4多規則，多變數(通用式),其中 Ai 和 Bi分別代表 Ai 與 Ai 和 Bi 與 Bi 間的相容程度性，而 I 則代表第 I 個模糊規則的啟動強度。,若模糊集合 A 與 B 為模糊單點，亦即 A=x0 以及 B=y0，則：,因此,圖7.10：多規則、多變數的近似推論過程。,