弹性力学简明教程答案.docx

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1、弹性力学简明教程习题提示和参考答案第二章习题的提示与答案2-1是2 2 是2 3按习题21分析。24按习题2 2分析。2 5在尤次=的条件中，将出现2、3阶微量。当略去3阶微量后，得出的切应力互等定理完全相同。2 6同上题。在平面问题中，考虑到3阶微量的精度时，所得出的平衡微分方程都相同。其区别只是在3阶微量（即更高阶微量）上，可以略去不。2 7应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程一连续性和小变形，物理方程一理想弹性体。2 8在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界（即次要边界）上，按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。2 9在小边界OA边上，对于图215 （a）、（

2、b）问题的三个积分边界条件相同，因此，这两个问题为静力等效。2 10参见本章小结。2 11参见本章小结。2 12参见本章小结。213注意按应力求解时，在单连体中应力分量叫广 %必须满足（1）平衡微分方程，（2）相容方程，（3）应力边界条件（假设=乩）。214见教科书。215见教科书。216见教科书。217 取它们均满足平衡微分方程，相容方程及顷的应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。218见教科书。219提示：求出任一点的位移分量“和V，及转动量1，再令x = y = ,便可得出。第三章习题的提示与答案3 1本题属于逆解法，巳经给出了应力函数，可按逆解法步骤求解：（1）校核相容条件是否满

3、足，（2）求应力，（3） 推求出每一边上的面力从而得出这个应力函数所能解决的问题。3 2用逆解法求解。由于本题中lh, x=0,l属于次要边界（小边界），可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。33见3-1例题。3 4本题也属于逆解法的问题。首先校核是否满足相容方程。再由求出应力后，并求对应的面力。本题的应力解答如习题3-10所示。应力对应的面力是：主要边界：（弓 m）=2=Q，（5约林垸=0,y=h/2（耳）工=-掘二一弓，所以在小边界上无剪切面力作用。下边界无法向面力；上边界有向下的法向面力q。次要边界：（习溢=磅（4%x=0面上无剪切面力作用；但其主矢量和主矩在x=0面上均为零。因此，本

4、题可解决如习题3-10所示的问题。3 5按半逆解法步骤求解。CT =d（1）可假设“、地山3=方（工）+$（玖（2）可推出/1=y（A+B? +6） +耳时）（3） 代入相容方程可解出f、，得到 八、（4）由求应力。,、布、土田 ,（习）有孥二。, （&）户0=。,3。）苫7=引（5）主要边界x=0力上的条件为次要边界y=0上，可应用圣维南原理，三个积分边界条件为L （丹）】=0廿爪=。,#（冬）/=0,口 （弓 M）j=od*=。读者也可以按”或的假设进行计算。3 6本题巳给出了应力函数，应首先校核相容方程是否满足，然后再求应力，并考察边界条件。在X=b/2各有两个应精确满足的边界条件，即(

5、O *也/2=。3(%)M=zfe/2=G工 r （巧）-=0=0 在 r （弓在 L而在次要边界y=0上，巳满足，而的条件不可能精确满足（否则只有A=B=0，使本题无解），可用积分条件代替:冒 m=o二。37见例题2。y=tanar3 8同样，在的边界上，应考虑应用一般的应力边界条件（2-15）。3 9本题也应先考虑对称性条件进行简化。3- 10应力函数中的多项式超过四次幂时，为满足相容方程，系数之间必须满足一定的条件。3-11见例题3。3- 12见圣维南原理。3- 13 m个主要边界上，每边有两个精确的应力边界条件，如式（2-15）所示。n个次要边界上，每边可以用三个积分的条件代替。3-

6、14见教科书。3- 15严格地说，不成立。第四章习题的提示和答案4- 1 参见4-1，4-2。4 2参见图4-3。4- 3采用按位移求解的方法，可设户 *代入几何方程得形变分量，然后再代入物理方程得出用位移表示的应力分量。将此应力公式代入平衡微分方程，其中第二式自然满足，而由第一式得出求的基本方程。4- 4按应力求解的方法，是取应力为基本未知函数。在轴对称情况下，彤 ，只有*为基本未知函数，且它们仅为 的函数。求解应力 的基本方程是：（1）平衡微分方程（其中第二式自然满足），（2）相容方程。相容方程可以这样导出：从几何方程中消去位移，得dP P再将形变通过物理方程用应力表示，得到用应力表示的相

7、容方程。4-5 参见4-3。4-6 参见 4-3。4-7 参见 4-7。4 8见例题1。4-9见例题2。4-10见答案。4- 11由应力求出位移，再考虑边界上的约束条件。4-12见提示。4- 13内外半径的改变分别为户1扣卜两者之差为圆筒厚度的改变。pR4- 14尸为位移边界条件。4- 15求出两个主应力后，再应用单向应力场下圆孔的解答。4- 16求出小圆孔附近的主应力场后，再应用单向应力场下圆孔的解答。4- 17求出小圆孔附近的主应力场后，再应用单向应力场下圆孔的解答。4 18见例题3。4- 19见例题4。第五章习题提示和答案5- 1参见书中由低阶导数推出高阶导数的方法。5- 2 参见书中的

8、方程。5- 3注意对称性的利用，取基点A如图。答案见书中。5- 4注意对称性的利用，并相应选取基点A。答案见书中。5- 5 注意对称性的利用，本题有一个对称轴。5- 6 注意对称性的利用，本题有二个对称轴。5- 7按位移求微分方程的解法中，位移应满足：(1) &上的位移边界条件，(2)上的应力边界条件，(3)区域A中的平衡微分方程。用瑞利-里茨 变分法求解时，设定的位移试函数应预先满足(1)上的位移边界条件，而(2)和(3)的静力条件由瑞利-里茨变分法来代替。5- 8在拉伸和弯曲情况下，引用的表达式，再代入书中的公式。在扭转和弯曲情况下，引用 /的表达式，再代入书中的公式。5-9对于书中图5-

9、15的问题，可假设u = x(x- d)yy +j42x + Aiy +部约束边界条件，应包含公共因子5-10答案见书中。代入后,上两式方程是v = x(x - d)y(y - 3) Bi + B2X +1. a 业5对于书中图5-16的问题中，y轴是其对称轴，X轴是其反对称轴，在设定u、v试函数时，为满足全 此外，其余的乘积项中，应考虑：u应为X和y的奇函数，v应为X和y的偶函数。5-11在u,v中各取一项，并设一时,用瑞利-里茨法得出求解的方程是L解出=4 _ 一一 175 泌 B _ 225 pga1 少_ 2x533 E , 1 - 533 E位移分量的解答为175 pga2x533

10、E aH誓A*应力分量为第六章习题的提示和答案提示:分别代入的公式进行运算。6 2 (3)中的位移，一为刚体平移，另一为刚体转动，均不会产生应力。其余见书中答案。6 3求i结点的连杆反力时，可应用公式E = X Lq),M-2sf 为对围绕i结点的单元求和。6 4求支座反力的方法同上题。K&6 5单元的劲度矩阵k，可采用书中P.124式(g)的结果，并应用公式- 求出整体劲度矩阵的子矩阵。6 6求劲度矩阵元素同上题。应力转换矩阵可采用书中P.127的结果。K疽2岭6 7求劲度矩阵元素可参见P.124式(g)的结果，再求出整体劲度矩阵元素答案见书中。6 8当单元的形状和局部编号与书中图6 10相

11、同时，可采用P.124式(g)的单元劲度矩阵。6 F4 F光=3矛 % =飞*答案：中心线上的上结点位移W下结点位移*6 9能满足收敛性条件，即位移模式不仅反映了单元的刚度位移和常量应变，还在单元的边界上，保持了相邻单元的位移连续性。第七章习题的提示和答案7 1答案： 土57 2提示：原(x,y,z)的点移动到(x+u,y+v,z+w)位置，将新位置位置代入有关平面、直线、平行六面体和椭球面方程。7 3见本书的叙述。7 4空间轴对称问题比平面轴对称问题增加了一些应力、形变和位移，应考虑它们在导出方程时的贡献。7 5对于一般的空间问题，柱坐标中的全部应力、形变和位移分量都存在，且它们均为的函数。

12、在列方程时尸* 应考虑它们的贡献。第八章习题的提示和答案s =8 1提示：应力应满足平衡微分方程、相容方程及应力边界条件（设）。柱体的侧面，在（x,y）平面上应考虑为任意形状的边界（n=0,l,m为壬意的），并应用一般的应力边界条件。8 2提示：同上题。应力应满足平衡微分方程、相容方程及应力边界条件（设若为多连体，还应满足位移单值条件。由于空间体为任意形状，因此，应考虑一般的应力边界条件（7-5）:法线的方向余弦为l,m,n，边界面为任意斜面，受到法向压力q作用。为了考虑多 连体中的位移单值条件，应由应力求出对应的位移，然后再检查是否满足单值条件。83见8-2的讨论。8 4从书中式（8-2）和

13、（8-12）可以导出。由结论可以看出位移分量和应力分量等的特性。8 5为了求o点以下h处的位移，取出书中式（8-6）的，并作如下代换z h,R Jp2 +/, F T dF = q2nipdip，软后从of a对积分。86引用布西内斯克解答，在z=0的表面上的沉陷是p = +y ,=（7dxdv（1）求矩形中心点的沉陷，采用图8-9 （a）的坐标系，代入并积分，(1一/?)弓 r相.dx疝 J*y2再应用部分积分得到，2(1-/y2)(7 . . a . . b,70 =0 arsinh + a arsmh )ttEba(2)求矩形角点处的沉陷，采用图8-9(b)的坐标系，(1 一j，-. .

14、 a . . b.-b ar smh + a ar sinh )。ttEba（蓟=0,87题中仲巳满足边界条件 再由昨=-2GK2dxdy = M,更可求出切应力及扭角等。88A . _ ,、3 =如 j疽a , & 山 i题中中能满足两个圆弧处的边界条件然后，相似于上题进行求式解为 的两倍。出。89分别从椭圆截面杆导出圆截面杆的解答，和从矩形截面杆导出正方形截面杆的解答；并由二打，得出代入后进行比较即可得8 10参见8-8的讨论。第九章习题提示和答案9 1挠度w应满足弹性曲面的微分方程，x =0的简支边条件，以及椭圆边界上的固定边条件。校核椭圆边界的固定边条件时，可参见例题4。求挠度及弯矩等

15、的最大值时，应考虑函数的极值点（其导数为0）和边界点，从中找出其最大值。I7TX . 7TV. 71X . Tryw = msmsin q =必,sin sm 的弹性曲面微分方程，并可以求出系数以。而四9 2在里三角级数中只取一项a b可以满足a b 个简支边的条件巳经满足。关于角点反力的方向、符号的规定，可参见94中的图95。9-3本题中无横向荷载，q = 0,只有在角点B有集中力F的作用。注意w =mxy应满足：弹性曲面的微分方程，x =0和y =0的简支边条件,x =a 和，=b的自由边条件，以及角点的条件部(见图9-5中关于角点反力的符号规定)。在应用莱维解法求解各种边界条件的矩形板时

16、，这个解答可以用来处理有两个自由边相交的问题，以满足角点的条件。因此，常应用这个解答于上述 这类问题，作为其解答的一部分。读者可参考9-6中图9-9的例题。9- 4本题中也无横向荷载，q = 0，但在边界上均有弯矩作用。x= 0,a是广义的简支边，其边界条件是x =熨， = 0 ?- M.而 y= 0,b为广义的自由边，其边界条件是y =乩;=0 将 w=f (工)代入弹性曲面微分方程，求出f (x)。再校核上述边界条件并求出其中的待定系数。9一5 参见9一7及例题1， 2。9- 6应用纳维解法，取w为重三角级数，可以满足四边简支的条件。在求重三角级数的系数*”中，其中对荷载的积分九 Jq q

17、 smsin dx0 x af 2, 0y b! 2q = 0只有在的区域有均布荷载 作用，应进行积分；而其余区域，积分必然为零。9-7对于无孔圆板，由尸的挠度和内力的有限值条件，得出书中9-9式(d)的解中，然后再校核简支边的条件，求出4求最大值时，应考虑从函数的极值点和边界点中选取最大的值。G = 0的特解，可根据书中9-9的式(c)求出。然后再校核9-8本题也是无孔圆板，由有限值条件，取。相应于荷载p-a尸 的固定边的条件。9-9 由求最大值时，应从函数的极值点和边界点的函数值中选取。JM b代入 及 的公式，两边相比便可得出 等用等表示的表达式。将w对x,y的导数转换为对尸 *的导数。然后再与式(a)相比，便可得出等用挠度W表示的公式。9-10参见上题，可以用类似的方法出。