弧形、扇形公式解说和运用.docx

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1、是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360，所以圆心角为1的扇形面积是3如，由此得圆心角为n又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积的另一个计算公式:弧形、扇形公式解说和运用知识点1、弧长公式因为360的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2R，所以1的圆心角所对的弧长是,于是可得半径为R的圆中，n的圆心角所对的弧长l的计算公式：罚说明：(1)在弧长公式中，n表示1 的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”， 例如，圆的半径R=10，计算20的圆心角所对的弧长l时，不要错写成(2)在弧长公式中，已知1，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。知识点2、扇形的面积如图所示，阴影部分的面积就

2、是半径为日，圆心角为n的扇形面积，显然扇形的面积知识点3、弓形的面积(1) 弓形的定义：由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。(2) 弓形的周长=弦长+弧长(3) 弓形的面积如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把 扇形OAmB的面积和 AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示，当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示，当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示，例：如图所示，。的半径为2，ZABC=45，则图中阴影部分的面积是()(结果用打表示)分析：由图可知S阴第=%彩的祯一乩强6由圆周角定理可知/AB

3、C=/AOC，所以 /AOC=2/ABC=90，所以 OAC是直角三角形，所以kOAC =-如，0C = x2x2 = 2,电唐脉己=液而心=，所以命刷=港哽-Saoac =兀一 2注意：(1)圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。圆周长弧长圆曲积扇形面积公式C =C = ndS=360S=jcR2 360S= |1R(2)扇形与弓形的联系与区别(2)扇形与弓形的联系与区别图示m4Wm面积S弓膨=海耦一 &弓另=亍旦弓厂慈E知识点4、圆锥的侧面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为1，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为1，扇形的弧长为2坪，圆锥的侧面积，圆锥的全面积说

4、明：(1)圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。(2)研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。知识点5、圆柱的侧面积圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长， 若圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的侧面积临*职，圆柱的全面积 & = *幌+S隧=上琨+（处+ f）知识小结：圆锥与圆柱的比较名称圆锥圆柱图形J1 1 Jc图形的形成过程由一个直角三角形旋转得到 的，如RtASOA绕直线SO 旋转一周。由一个矩形旋转得到的，如矩形ABCD绕直线AB旋转一周。图形的组成一个底面和一个侧面两个底面和一

5、个侧面侧面展开图的特征扇形矩形面积计算方法s冬=Sg += 70-1+ -JIT2M.tj.= 2 输$冬=+ 25 = 2nrh+ Sirr-3F3冲.【典型例题】例1. （2003.辽宁）如图所示，在同心圆中，两圆的半径分别为2，1，/AOB=120， 则阴影部分的面积是（）A.牝 B. C. 3 D.分析：阴影部分所在的两个扇形的圆心角为硕 SB =3印。-顷 =24苻所以7TX12 =2ir 360故答案为：B.例2. （2004 陕西）如图所示，点C在以AB为直径的半圆上，连接AC, BC, AB=10 厘米，tan/BAC=，求阴影部分的面积。分析：本题考查的知识点有：（1）直径所

6、对圆周角为90，（2）解直角三角形的知 识（3）组合图形面积的计算。解：因为AB为直径，所以/ACB=90，3BC在 RtAABC 中，AB = 10， tan/BAC=云，而 tan/BAC= AC设BC=3k，AC=4k，（k不为0，且为正数）由勾股定理得+ 1就=1叽所以k = 2aabc = x= 24= 7（）2 = T所以 BC=6，AC=8，而 222阴影=半国-Saabc = v71-24所以例3. （2003.福州）如图所示，已知扇形AOB的圆心角为直角，正方形OCDE内接于扇 形AOB，点C，E，D分别在OA，OB及AB弧上，过点A作AFXED交ED的延长线于F， 垂足为F

7、，如果正方形的边长为1，那么阴影部分的面积为（）分析：连接OD，由正方形性质可知ZEOD=ZDOC=45，在RtAOED中，OD =因为正方形的边长为1，所以OE=DE=1，所以0D = 2，设两部分阴影的面积中的 一部分为M，另一部分为N，则取=膈阳尝E &应理顶=E契如矿膈和g，阴影部分面 积可求，但这种方法较麻烦，用割补法解此题较为简单，设一部分空白面积为P，因为/BOD=/DOC，所以腐跄BOD = S南跄DCIA，所以M + SaQED = P+ Si0CD）所以写口曲=a0CD所以M=P，所以阴影= M + N = P + N = 球 CAFD = &跄 OAFE 一 正行愈 口。

8、阳=如, 0A - 0E2 = V? - 1 答案：好。例 4.如图所示，直角梯形 ABCD中，/B=90，ADBC，AB = 2，BC=7，AD = 3, 以BC为轴把直角梯形ABCD旋转一周，求所得几何体的表面积。分析：将直角梯形ABCD绕BC旋转一周所得的几何体是由相同底面的圆柱和圆锥组 成的，所得几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面积三者之和。解：作DHLBC于H,所以DH= AB=2CH=BCBH=BCAD=73=4在 CDH中，CD = 7DH2 + CH2 = J 淀+=所以=希球+电剧+电=为淄+如演何+ 伽）=4岳+或例5. （2003.宁波）已知扇形的圆心角为1

9、20，面积为300打平方厘米（1）求扇形的弧长。（2）若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积是多少?=ttR2分析：（1）由扇形面积公式 3佃，可得扇形半径R，扇形的弧长可由弧长S =公式3如求得。（2）由此扇形卷成的圆锥如图所示，这个圆锥的轴截面为等腰三角形ABC，（1）问中求得的弧长是这个圆锥的底面圆周长，而圆周长公式为C=2r，底面圆Saabc=-ad*bc半径r即CD的长可求，圆锥的高AD可在RtAADC中求得，所以可求。解：（1）设扇形的半径为R，= JLttR2 300tt = ttR2由硕 ，得 3印，解得R=30.1 = =12!30 = 20tt所以扇形的弧长1知 1

10、知（厘米）。（2）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB= AC=R=30，BC=2r，底面圆周长C= 2疗r，因为底面圆周长即为扇形的弧长，所以乏鼐工烦所以r = “在RtAADC中，高aD=Jh*8 =痴项”=冗也SiAEC = lAD*BC=ix20j2 x20 = 2002所以轴截面面积（平方厘米）。【模拟试题】（答题时间：40分钟）-、选择题1. 若一个扇形的圆心角是45，面积为2口，则这个扇形的半径是（）A. 4 B. 2也 C. 47月D. 2也 口2,扇形的圆心角是60则扇形的面积是所在图面积的（A. 3 B. 6 C. 9 D. 123. 扇形的面积等于其半径的平方，则扇形的圆

11、心角是（180360A. 90 B.兀 C.兀 D.1804. 两同心圆的圆心是0,大圆的半径是以OA，OB分别交小圆于点M， N.已知大圆半 径是小圆半径的3倍，则扇形OAB的面积是扇形OMN的面积的（）A. 2倍 B. 3倍 C. 6倍 D. 9倍5. 半圆O的直径为6cm，/BAC=30，则阴影部分的面积是（）A SW A.C. 公B. 46用一个半径长为6cm的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为（）A. 2cm B. 3cm C. 4cmD. 6cm7.圆锥的全面积和侧面积之比是3 : 2A. 30 B. 60 C. 90这个圆锥的轴截面的顶角是（D. 1208. 已知两个母

12、线相等的圆锥的侧面展开图恰好能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1 : 2，则它们的高之比为（）A. 2： 1 B. 3： 2C. 2扼：黄D. 5： 2也9. 如图，在AABC中，/C =RtZ，AC BC，若以AC为底面圆半径，BC为高的圆锥 的侧面积为S1，以BC为底面圆半径，AC为高的圆锥的侧面积为S2,则（）A. S1 = S2 B. S1 S2 C. S1 S2 D. S1、S2 的大小关系不确定二、填空题1. 扇形的弧长是12只cm，其圆心角是90，则扇形的半径是 cm，扇形的面积是 cm2.2. 扇形的半径是一个圆的半径的3倍，且扇形面积等于圆面积，则扇形的圆心角是,3. 已知扇

13、形面积是12cm2，半径为8cm，则扇形周长为.4在ABC中，AB = 3，AC=4，Z A=90，把RtAABC绕直线AC旋转一周得到一 个圆锥，其全面积为S把RtAABC绕AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S2，则 S： S2 =。15. 一个圆柱形容器的底面直径为2cm，要用一块圆心角为240的扇形铁板做一个圆锥形 的盖子，做成的盖子要能盖住圆柱形容器，这个扇形的半径至少要有 cm。6,如图，扇形AOB的圆心角为60，半径为6cm，C，D分别是晶 的三等分点，则阴 影部分的面积是。7.如图正方形的边长为2,分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以2为半径画弧，则阴影部分面积为三、计算题1

14、.如图，在RtAABC中，AC= BC，以A为圆心画弧&F,交AB于点D,交AC延长 线于点F,交BC于点E,若图中两个阴影部分的面积相等，求AC与AF的长度之比（只 取3）。F2, 一个等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的侧面积是S，另一个圆锥的侧面积是S ,如果圆锥和圆柱等底等高，求沃.3, 圆锥的底面半径是R,母线长是3R, M是底面圆周上一点，从点M拉一根绳子绕圆 锥一圈，再回到M点，求这根绳子的最短长度.【试题答案】一、选择题1. A2. B3. C4. D5. B6. B7. B8. C9. B二、填空题1、24144打2、403、19cm4、3： 45、36、2汗7、2刃-4三、计算题1、连接AE,则膈的=S部厂膈八所以AC:AF = &22、禹$3、连接展开图的两个端点MM,即是最短长度。-R利用等量关系得出/MAM=120,/AMD=30, AD= 2 ,