第一章随机试验与概率.ppt

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1、第一章 随机事件与概率,二、随机实验和样本空间,四、随机时间的关系与运算,三、随机事件的概念,1.1 随机事件,一、随机现象,一、随机现象,三、小结,二、随机试验,1.1.11.1.2 随机实验,在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.,“太阳不会从西边升起”,1.确定性现象,“同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处”,实例,自然界所观察到的现象:,确定性现象,随机现象,一、随机现象,确定性现象的特征,条件完全决定结果,在一定条件下可能出现也可能不出现的现象,称为随机现象.,实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况.,2.随机现象,结果有可能出现正面也可能出现反面.,结果

2、可能为:,1,2,3,4,5 或 6.,实例2 抛掷一枚骰子,观 察出现的点数.,实例3 从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品.,结果可能为:,正品、次品.,随机现象的特征,概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科.,条件不能完全决定结果,2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,但在大量试验或观察中,这种结果的出现具有一定的统计规律性,概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.,随机现象是通过随机试验来研究的.,问题 什么是随机试验?,如何来研究随机现象?,说明,1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系,其数量关系无法用函数加以描述.,1.可以在相同的条件下重复

3、地进行;,2.每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;,3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验.,定义,二、随机试验,说明,1.随机试验简称为试验,是一个广泛的术语.它包括各种各样的科学实验,也包括对客观事物进行的“调查”、“观察”或“测量”等.,实例“抛掷一枚硬币,观察字面,花面出现的情况”.,分析,2.随机试验通常用 E 来表示.,(1)试验可以在相同的条件下重复地进行;,1.抛掷一枚骰子,观察出现的点数.,2.从一批产品中,依次任选三件,记 录出现正品与次品的件数.,同理可知下列试验都为随机试验.,(2)试

4、验的所有可能结果:,字面、花面;,(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,故为随机试验.,三、小结,随机现象的特征:,1.概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科.,条件不能完全决定结果.,2.随机现象是通过随机试验来研究的.,(1)可以在相同的条件下重复地进行;,(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;,(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,随机试验,一、样本空间 样本点,三、随机事件间的关系及运算,二、随机事件的概念,四、小结,1.1.2-1.1.4 样本空间、随机事件,定义 随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间,记为

5、.,样本空间的元素,即试验E 的每一个结果,称为样本点.,实例1 抛掷一枚硬币,观察字面,花面出现的情况.,一、样本空间 样本点,实例2 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.,实例3 从一批产品中,依次任选三件,记录出 现正品与次品的情况.,实例4 记录某公共汽车站某日 上午某时刻的等车人数.,实例5 从一批灯泡中任取 一只,测试其寿命.,答案,写出下列随机试验的样本空间.,1.同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和.,2.生产产品直到得到10件正品,记录生产产品 的总件数.,课堂练习,2.同一试验,若试验目的不同,则对应的样 本空间也不同.,例如 对于同一试验:“将一枚硬币抛掷三次”.,若观察正面 H、

6、反面 T 出现的情况,则样本空间为,若观察出现正面的次数,则样本空间为,说明 1.试验不同,对应的样本空间也不同.,说明 3.建立样本空间,事实上就是建立随机现 象的数学模型.因此,一个样本空间可以 概括许多内容大不相同的实际问题.,例如 只包含两个样本点的样本空间,它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模型,也可以作为产品检验中合格与不合格的模型,又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型等.,在具体问题的研究中,描述随机现象的第一步就是建立样本空间。,随机事件 随机试验 E 的样本空间 的子集称 为 E 的随机事件,简称事件.,试验中,骰子“出现1点”,“出现2点”,“出现6点”,“点数

7、不大于4”,“点数为偶数”等都为随机事件.,1.基本概念,二、随机事件的概念,实例 上述试验中“点数不大于6”就是必然事件.,必然事件 随机试验中必然会出现的结果.,不可能事件 随机试验中不可能出现的结果.,实例 上述试验中“点数大于6”就是不可能事件.,必然事件的对立面是不可能事件,不可能事件的对立面是必然事件,它们互称为对立事件.,实例“出现1点”,“出现2点”,“出现6点”.,基本事件 由一个样本点组成的单点集.,2.几点说明,例如 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.,可设 A=“点数不大于4”,B=“点数为奇数”等等.,随机事件可简称为事件,并以大写英文字母 A,B,C,来表示事件,(2)

8、随机试验、样本空间与随机事件的关系,每一个随机试验相应地有一个样本空间,样本空间的子集就是随机事件.,随机试验,样本空间,随机事件,随机事件,基本事件,必然事件,不可能事件,复合事件,互为对立事件,1.包含关系,若事件 A 发生,必然导致 B 发生,则称事件 B 包含事件 A,记作,实例“长度不合格”必然导致“产品不合格”,所以“产品不合格”,包含“长度不合格”.,图示 B 包含 A.,B,三、随机事件间的关系及运算,2.A等于B 若事件A 包含事件B，而且事件B包含 事件A，则称事件A 与事件B 相等，记作A=B.,3.事件 A 与 B 的并(和事件),实例 某种产品的合格与否是由该产品的长

9、度与直径是否合格所决定,因此“产品不合格”是“长度不合格”与“直径不合格”的并.,图示事件 A 与 B 的并.,A,和事件也可记为A+B。,4.事件 A 与 B 的交(积事件),图示事件A与B 的积事件.,A,B,AB,实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此“产品合格”是“长度合格”与“直径合格”的交或积事件.,和事件与积事件的运算性质,A A B，B A B若A B，则A B=B,A B A，A B B若A B，则A B=A,5.事件 A 与 B 互不相容(互斥),若事件 A 的出现必然导致事件 B 不出现,B出现也必然导致 A不出现,则称事件 A与B互不相容,即

10、,实例 抛掷一枚硬币,“出现花面”与“出现字面”是互不相容的两个事件.,“骰子出现1点”“骰子出现2点”,图示 A 与 B 互斥.,实例 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.,6.事件 A 与 B 的差,由事件A出现而事件B不出现所组成的事件称为事件A与B 的差.记作A-B.,图示 A 与 B 的差.,A,B,实例“长度合格但直径不合格”是“长度合格”与“直径合格”的差.,设 A 表示“事件 A 出现”,则“事件 A 不出现”称为事件 A 的对立（或余、逆）事件.记作,实例“骰子出现1点”“骰子不出现1点”,图示 A 与 B 的对立.,B,若 A 与 B 对立,则有,7.事件 A 的对立事件,对立事

11、件与互斥事件的区别,A、B 对立,A、B 互不相容(互斥),互不相容,对 立,事件的对立事件有如下性质,设A、B为事件，则有,事件间的运算规律,(6)不多于一个事件发生;,(7)不多于两个事件出现;,(8)三个事件至少有两个出现;,(9)A,B 至少有一个出现,C 不出现;,(10)A,B,C 中恰好有两个出现.,例2 某射手向一目标射击3次，Ai表示“第i次射击命中目标”，i=1,2,3，Bj表示“3次射击恰命中目标j次”，j=0,1,2,3，试用Ai(i=1,2,3)的运算表示Bj(j=0,1,2,3)。,解：,(1)没有一个是次品;,(2)至少有一个是次品;,(3)只有一个是次品;,(4

12、)至少有三个不是次品;,(5)恰好有三个是次品;,(6)至多有一个是次品.,解,练习,(2)至少有一个是次品;,(3)只有一个是次品;,(4)至少有三个不是次品;,(5)恰好有三个是次品;,(6)至多有一个是次品.,例3 化简:,解,则,随机试验,四、小结,1.随机试验、样本空间与随机事件的关系,2.概率论与集合论之间的对应关系,记号,概率论,集合论,样本空间，必然事件,全集,不可能事件,空集,基本事件,单元集,随机事件,全集的子集,A的对立事件,A的补集,A出现必然导致B出现,A是B的子集,事件A与事件B相等,集合A与集合B相等,事件A与事件B的差,A与B两集合的差集,事件A与B互不相容,A

13、与B 两集合中没有相同的元素,事件A与事件B的和,集合A与集合B的并集,事件A与事件B的积事件,集合A与集合B的交集,一、频率的定义与性质,二、概率的定义与性质,三、小结,1.2 频率与概率,1.定义,一、频率的定义与性质,2.性质,设 A 是随机试验 E 的任一事件,则,实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次,各做 7 遍,观察正面出现的次数及频率.,波动最小,随n的增大,频率 f 呈现出稳定性,从上述数据可得,(2)抛硬币次数 n 较小时,频率 f 的随机波动幅度较大,但随 n 的增大,频率 f 呈现出稳定性.即当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动,且逐渐稳定于

14、 0.5.,(1)频率有随机波动性,即对于同样的 n,所得的 f 不一定相同;,重要结论,频率当 n 较小时波动幅度比较大，当 n 逐渐增大时，频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小它就是事件的概率,1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构，给出了概率的严格定义，使概率论有了迅速的发展.,二、概率的定义与性质,1.概率的定义,2.性质,证明,(4),设A、B为任意的两个事件，则有 P(B-A)=P(B)P(AB),AB,由于,又,所以,故,即,证明,(4),特别地，若AB，则有,由于,又由于AB，则P(AB)=P(A),证明,证明,由图可得,又由

15、性质 4 得,因此得,推广 三个事件和的情况,n 个事件和的情况,例1 设A,B是两个随机事件,解,例2 设A,B是两个随机事件,解,由,得,例3 设A与B是互不相容的两个随机事件,解,解,练习,(3)由图示得,2.概率的主要性质,三、小结,一、等可能概型,二、小结,1.2.2 等可能概型(古典概型),1.定义,一、等可能概型(古典概型),设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成，A 为 E 的任意一个事件，且包含 m 个样本点，则事件 A 出现的概率记为:,2.古典概型中事件概率的计算公式,由于计算古典概型中事件的概率时,只要求出样本点总数和事件所含样本点的个数,所以往往不需要写出样本空间的

16、具体内容及事件中所含样本点,同样可得事件的概率.,另一方面,一些概率的样本空间比较复杂,具体写出比较烦琐,因此在计算古典概型中事件的概率时,可采用排列组合的方法计算m和n.,解,例2 从0,1,2,9这10个数中任意选出三个不同的数字,试求3个数字中不会含数字0和5的概率.,解,设A表示”三个数字中不含0和5”.从0,1,2,9这10个数中任意选出三个不同的数字共有,三个数字中不含0和5,是从1,2,3,4,6,7,8,9这8个数中选出,选法有,即A中包含的基本事件总数为,则所求的概率为:,在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法共有,于是所求的概率为,解,在N件产品中抽取n件的所有

17、可能取法共有,例4 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天是等可能的,即都等于 1/365,求 64 个人中至少有2人生日相同的概率.,64 个人生日各不相同的概率为,故64 个人中至少有2人生日相同的概率为,解,课堂练习,1o 电话号码问题 在7位数的电话号码中,第一位不能为0，求数字0出现3次的概率.,2o 骰子问题 掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的概率.,3.古典概型的基本模型:摸球模型,(1)无放回地摸球,问题1 设袋中有4 只白球和 2只黑球,现从袋中无放回地依次摸出2只球,求这2只球都是白球的概率.,解,基本事件总数为,A 所包含基本事件的个数为,(2)有放回地摸球,问题2 设

18、袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球的概率.,解,第1次摸球,6种,第1次摸到黑球,4种,第3次摸到红球,基本事件总数为,A 所包含基本事件的个数为,例5 一批产品共有100件,其中三件次品,先从中连续抽取两次,每次抽取一件,考虑两种情况:(1)不放回抽样:第一次取一件不放回,第二次再抽取一件;(2)放回抽样:第一次取一件检查后放回,第二次再抽取一件.试分别针对上述两种情况,求事件A“第一次抽到正品，第二次抽到次品”的概率.,A包含的基本事件数为973，故,(1)采取不放回抽样：由于要考虑2件产品的抽取的顺序，接连两次抽取共有,即基本事件总数为,

19、解,（2）采取放回抽样 第一次抽取有100种取法，取后放回，第二次抽取仍有100种取法，即基本事件总数为100100.在这种情况下，A包含的基本事件数仍为973，故,练习1 从1,2,9这9个数中任意取一数,取后放回,而后再取一数,试求取出的两个数字不同的概率.,练习2 袋中有5个白球3个黑球,从中任取两个,试求取到两个球颜色相同的概率.,练习1 从1,2,9这9个数中任意取一数,取后放回,而后再取一数,试求取出的两个数字不同的概率.,设A表示“取到的两个球颜色相同”，A包含两种情况：,A的取法共有,练习2 袋中有5个白球3个黑球,从中任取两个,试求取到两个球颜色相同的概率.,解,故所求的概率

20、为,思考 在12000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?,设 A 为事件“取到的数能被6整除”,B为事件“取到的数能被8整除”，则所求概率为,解,于是所求概率为,一、条件概率,二、乘法定理,三、全概率公式与贝叶斯公式,四、小结,1.3条件概率,将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反两面的情况,设事件 A为“至少有一次为正面”,事件B为“两次掷出同一面”.现在来求已知事件A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率.,分析,事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为,1.引例,一、条件概率,同理可得,为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率.,

21、2.定义,.,),(,),(,),(,0,),(,条件概率,发生的,发生的条件下事件,为在事件,称,且,是两个事件,设,A,B,B,P,AB,P,B,A,P,B,P,B,A,=,计算条件概率有两个基本的方法：,、利用定义 来计算,、在古典概型中利用古典概型的计算方法直接 计算,例1 在全部产品中有4%的废品，有72%的一等品.先从中任取一件为合格品，求它是一等品的概率.,解,设A表示“任取一件为合格品”，B表示“任取一件为一等品”，,P（A）=0.96，P（AB）=P（B）=0.72,设A表示“任取一件为合格品”，B表示“任取一件为一等品”，,例2 盒中有5个黑球3个白球，连续不放回的从中取两

22、次球，每次取一个，若已知第一次取出的是白球，求第二次取出的是黑球的概率.,解,A表示“第一次取到的是白球”，B表示“第二次取到的是黑球”，所求的概率为P（B|A）,由于第一次取到的是白球，所以第二次取球时，盒 中有5个黑球2个白球，由古典概型的概率计算方法知,二、乘法定理,例3 在10个产品中，有2件次品，不放回地抽取2件产品，每次取一个，求取到的两件产品都是次品的概率.,解,解,例5 盒中有5个白球2个黑球，连续不放回的从中取三次球，每次取一个，求第三次才取到黑球的概率.,解,由乘法公式知,练习1 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4,如果现在有一个20

23、岁的这种动物,问它能活到25岁以上的概率是多少?,练习2 设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.,课堂练习,练习1 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4,如果现在有一个20岁的这种动物,问它能活到25岁以上的概率是多少?,设事件A 表示“能活 20 岁以上”，事件B 表示“能活 25 岁以上”,则有,解,练习2 设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破

24、的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.,解,以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”.,1.样本空间的划分,三、全概率公式与贝叶斯公式,2.全概率公式,全概率公式,证明,说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.,全概率公式的最简单形式为,例 盒中有5个白球3个黑球，连续不放回地从中取两次球，每次取一个，求第二次取到白球的概率.,解,则,由全概率公式知,例 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30%，二厂生产的占 35%，三厂生产

25、的占35%，又知这三个厂的产品次品率分别为5%，4%，3%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?,设事件 A 为“任取一件为次品”,解,由全概率公式得,例 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30%，二厂生产的占 35%，三厂生产的占35%，又知这三个厂的产品次品率分别为5%，4%，3%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?,设事件 A 为“任取一件为次品”,解,例 设n（n2）张彩票中有1张奖券，甲、乙两人依次每人摸一张彩票，分别求甲、乙二人摸到奖券的概率.,解,设A表示“甲摸到奖券”，,B表示“乙摸到奖券”，,显然,而A发生与否直接影响B的发生的概率,而,由全概公式得

26、：,（抽签公平性）,称此为贝叶斯公式.,3.贝叶斯公式,证明,例1,),1,(,.,05,.,0,80,.,0,15,.,0,03,.,0,01,.,0,02,.,0,3,2,1,:,.,概率;,求它是次品的,元件,在仓库中随机地取一只,无区别的标志,且,仓库中是均匀混合的,设这三家工厂的产品在,提供元件的份额,次品率,元件制造厂,的数据,根据以往的记录有以下,件制造厂提供的,的元件是由三家元,某电子设备制造厂所用,解,(1)由全概率公式得,(2)由贝叶斯公式得,例2 针对某种疾病进行一种化验,患该病的人中有90%呈阳性反应,而未患该病的人中有5%呈阳性反应。设人群中有1%的人患这种病。若某人

27、做这种化验呈阳性反应，则他患这种疾病的概率是多少？,解：设A表示“某人患这种病”，B表示“化验呈阳性反应”,则,由全概率公式得,由贝叶斯公式得,练习,(2),(1),解,练习1,由贝叶斯公式得所求概率为,即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人患有癌症.,解,练习2,由贝叶斯公式得所求概率为,1.条件概率,全概率公式,贝叶斯公式,四、小结,乘法定理,一、事件的相互独立性,二、几个重要定理,三、贝努利概型,第六节 独立性,四、小结,一、事件的相互独立性,则有,1.引例,事件 A 与 事件 B 相互独立,是指事件 A 的发生与事件 B 发生的概率无关.,说明,2.定义,例1-31 袋中有5

28、个白球3个黑球，从中有放回地连续取两次，每次取一个球，求两次取出的都是白球的概率。,解,设A表示“第一次取到白球”，B表示“第二次取到白球”,则问题转化为求P(AB),由于A与B相互独立，则P(AB)=P(A)(B),所以P(AB)=(5/8)*(5/8)=25/64,由于P(A)=P(B)=5/8,两事件相互独立,两事件互斥,例如,由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥.,两事件相互独立与两事件互斥的关系.,请同学们思考,由此可见两事件互斥但不独立.,3.三事件两两相互独立的概念,注意,三个事件相互独立,三个事件两两相互独立,4.三事件相互独立的概念,n 个事件相互独立,n个事件两两相互独立

29、,推广2,推广1 设A1,A2,An是n个事件,如果对于任意的i,j(1i,jn),都有 P(AiAj)=P(Ai)P(Aj),则称A1,A2,An两两相互独立.,证明,二、几个重要定理,首先证明 相互独立,证明,从而 相互独立,练习,证明,又因为 A、B 相互独立,所以有,两个结论,例1-32 设A与B相互独立，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，且P(A)=1/3，求P(B),解,由题意,由于A与B相互独立，则,则有,也相互独立,故,例1-34 3门高射炮同时对一加敌机各射一炮,它们击中的概率分别为 0.1,0.2,0.3,求敌机恰中一弹的概率.,解,例1-30 两个射手独立地

30、向同一目标射击。设甲射中目标的概率为0.9，乙射中目标的概率为0.8。求目标被击中的概率。,解,设A表示“甲射中目标”，B表示“乙射中目标”，C表示“目标被击中”,则C=AB，P(A)=0.9，P(B)=0.8,P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),由于A与B相互独立，则P(AB)=P(A)(B),所以P(C)=0.9+0.8-0.9*0.8=0.98,例1-30 两个射手独立地向同一目标射击。设甲射中目标的概率为0.9，乙射中目标的概率为0.8。求目标被击中的概率。,解,设A表示“甲射中目标”，B表示“乙射中目标”，C表示“目标被击中”,则C=AB，P(A)=0.9，P(B)

31、=0.8,重要结论,若A、B相互独立，则,若A1、A2、An相互独立，则,设A，B，C分别表示3人能单独译出密码，则所求的概率为,例1-33 3人独立地破译一个密码，他们单独译出的概率分别为，求此密码被破译出的概率.,解,A，B，C相互独立，且,于是,练习 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若10名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞机的概率是多少?,解,事件 B 为“击落飞机”,练习,解,思考 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为 0.4,0.5,0.7,飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为 0.6,若三人都击中飞机必定被击落,求飞机

32、被击落的概率.,解,设A,B,C 分别表示甲、乙、丙击中飞机,D表示飞机被击落,则,由题意,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,1,C,P,B,P,A,P,C,P,B,P,A,P,C,P,B,P,A,P,A,P,+,+,=,因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为,四、n重贝努利试验,对许多随机事件，我们关心的是某件事件是否发生，例如，投掷硬币时注意的是正面是否朝上；产品抽样检查时，注意的是抽出的是否为正品；射手向目标射击时，注意的是目标是否被命中；等等，这类实验有其共同点：,（1）实验只有两个结果,（2）已知,将试验独立重复的进行n次，则称为n重贝努

33、利试验.此类试验的概率模型称为贝努利概型.,对于n重贝努利试验，我们关心的是在n 次独立试验中事件恰好发生k（0kn）次的概率,定理1-1 在n重贝努利试验中，设每次试验中事件的概率为p（p），则事件恰好发生k次的概率,例1-35一射手对一目标独立的射击次，每次射击的命中率为.，求（）恰好命中两次的概率（）至少命中一次的概率,解,因每次射击是相对独立的，故此问题可看作重贝努利概型，p=0.8,(1)设事件表示“次射击恰好命中次”，则所求概率为,(2)设事件B表示“次射击至少命中次”，事件表示“次射击都未命中”，则所求概率为,练习一车间有台同类型的且独立工作的机器，假设在任一时刻t，每台机器出故

34、障的概率为.，问在同一时刻，（）没有机器出故障的概率；（）至多一台机器出故障的概率。,解,因在同一时刻观察台机器，它们是否出故障是相对独立的，故此问题可看作重贝努利概型，p=0.,(1)设事件表示“没有机器出故障”，则所求概率为,(2)设事件B表示“至多一台机器出故障”，事件表示“有一台机器出故障”，则所求概率为,例1-37转炉炼钢，每一炉钢的合格率为0.7，现有若干台转炉同时炼钢，若要求至少能够炼出一炉合格钢的把握为99，问同时至少要有几台转炉炼钢？,解,设有n个转炉同时炼钢，各炉是否炼出合格钢是独立的，可看作是n重贝努利试验，其中,设表示“至少能够炼出一炉合格钢”,则由题知，要求,又,则,则,故至少要有台转炉同时炼钢才能满足要求,五、小结,2.重要结论,若A、B相互独立，则,若A1、A2、An相互独立，则,在n重贝努利试验中，设每次试验中事件的概率为p（p），则事件恰好发生k次的概率,3、n重贝努利试验,