有限维线空间的基.ppt

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1、有限维线性空间的基,杨忠鹏晏瑜敏戴培培莆田学院数学系,1基2维数3坐标,一、数域 上有限维线性空间 的三要素：,维数是 的唯一的本质特征，在同构意义下,的研究可归结为 的讨论。,基一般是不唯一的，在线性运算下，对具体的线性空间 来说，可由一组基来把握。,正如1，P171所说：“给定有限维的向量空间，要求其维数，首先要抓基”。,关于有限维空间的基与维数，综合起来有以下基本结论（见2，P330）:,设 是数域 上线性空间，,则下列陈述彼此等价：,（6）且,（7）,二、常见线性（子）空间的基与维数,1这是基本的习题内容,3，习题6的3（有8个小题）、8（有4个小题）、13（有3个小题）、14、16、

2、17、18题。,2常见的线性（子）空间的标准基,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,三、n维线性空间 的基的确定,1.从一组给定的基 出发，可构造出所有（无穷多）的不同的 的基.,是可逆的,线性无关,为 的基.,2.指定条件下的线性空间基的确定.,例1.设 是数域 上n维线性空间 的 任意 s 个非平凡子空间.试证：存在 的一个基，使这个基的n个基向量均不在 中.（见2，p213,4,p213,5,p196）,例2（见3，补充题4）设 是线性空间 的两个非平凡子空间.证明：在 中存在 使 同时成立.,例3（见3，补充题5）设 是线性空间 的s个非平凡子空间，证明：中至少有一个向量不属于 中

3、任何一个。,例4（见6）设 为数域 上n维线性空间(n1).证明：必存在 中一个无穷的向量序列 使得 中任何n个向量都是 的一组基.,同样，依次取向量 使得,取另一向量,则显然有从以上n+1向量中选出n个均可作为n维线性空间的一组基.,证明：采用构造法.取n维线性空间的一组基,这样得到一个无穷的向量序列,，,下证，从中任选n个，它们均线性无关.,从而不妨任选,令,得,从构造中易得，,从而,（*）,又,可以证明，对角线上的元素均不为零，从而行列式不为零,从而它们均线性无关，故问题得证.,也即，方程组（*）仅有平凡解，即,这是因为 为范德蒙行列式.,实际上，更简单的方法来构造，令,则 是无关的.,

4、例5（见7，p49）Again let V be the space of matrices over F.Find a basic for V such that for each i.,这个结论对 也是成立的.,为 的幂等基.,例6（见8，定理1）具有无穷多个幂等基.,例7（见2，p319）设V是数域 P上全体二阶对称矩阵所成的线性空间，证明：,与,都是V 的基.,问题：是否存在的由可逆的对称矩阵构造的基？若有，有多少个？在相似的条件下有多少个？,参考文献,1 陈昭木、陈清华、王华雄、林亚南.高等代数（上册），福建教育出版社，1991，福州2 庄瓦金 高等代数教程，国际华文出版社 2002年3 北京大学数学系几何与高等代数教研室前代数小组编 王萼芳、石生明修订，高等代数（第三版）4 白述伟 高等代数选讲，黑龙江教育出版社，19965 李师正主编 高等代数解题方法与技巧，高等教育出版社，北京,20046 南开大学2005年硕士研究生入学考试试题,7 K.Hoffman and R.Kunze,Lineasr Algebra(Second Edition),Prentice-Hall,Inc.,Englewoord Cliffs,New Jersery(1971),49.8 杨忠鹏，全矩阵代数 上的幂等阵，安顺师专 学报，1989（2），97-100.,祝各位老师新年快乐！,