曲面与曲线方程.ppt

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1、5 曲面及其方程,在前面，我们已知，空间平面对应于一 个三元一次方程.,反之，任意一个三元一次方程也对应于空间中的一个平面.,如果平面 的方程是(1)，其含义是平面 上任意动点(x,y,z)都是(1)的解.而(1)的每一组解也对应于 上某一点.,(1),定义1 设空间曲面S,及三元方程 F(x,y,z)=0有如下关系：（1）曲面 S 上任一点 M(x,y,z)，其坐标 x,y,z 都满足F(x,y,z)=0；（2）不在曲面S 上任一点 M(x,y,z)的坐标不满 足方程F(x,y,z)=0；则说明方程F(x,y,z)=0为曲面S的方程.而曲面 S 为 F(x,y,z)=0的图形.,一 曲面方程

2、,1、曲面方程的概念,F(x，y，z)0,研究曲面的两个基本问题：,（1）已知曲面，如何求曲面的方程？（2）已知方程，如何描绘其曲面？,例1 求以在M 0(x 0,y 0,z 0)球心,R为半径的球面的方程,解 设M(x，y，z)是球面上的任一点，,那么|M 0M|R,由于,|M 0M|,所以,R，,或(xx 0)2(yy 0)2(zz 0)2R 2这就是建立球心在点M 0(x 0，y 0，z 0)半径为R的球面的方程,特殊地，球心在原点O(0，0，0)、半径为R的球面的方程为x 2y 2z 2R 2,例2 设有点A(1,2,3)和B(2,1,4)，求线段AB的垂直平 分面的方程,解 由题意知

3、道，所求的平面就是与A和B等距离的 点的几何轨迹,设M(x，y，z)为所求平面上的任一点，,由于,|AM|BM|，,所以,等式两边平方，然后化简得2x6y2z70这就是线段AB的垂直平分面的方程,解 通过配方，原方程可以改写成(x1)2(y2)2z 25,例3 方程x 2y 2z 22x4y0表示怎样的曲面？,这是一个球面方程，球心在点M 0(1，2，0)、,比较：球心在点M 0(x 0，y 0，z 0)、半径为R的球面 的方程(xx 0)2(yy 0)2(zz 0)2R 2,，,一般地，设有三元二次方程A x 2A y 2A z 2D x E yF zG0，这个方程的特点是缺x y，y z，

4、z x 各项，而且平方项系数相同，,只要将方程经过配方就可以化成方程(xx 0)2(yy 0)2(zz 0)2R 2的形式，,它的图形就是一个球面,空间曲线可以视为两区面的交线，设两曲面的方程分别为：,则空间曲线L的一般方程：,（*）,有如下关系：,（1）曲线L上所有点的坐标都满足（*）,（2）坐标满足（*）的所有点都在曲线L上。,则称方程（*）为曲面L的一般方程，而曲线L称为方程组（*）对应的曲线。,例如：,表示空间中的一个圆,沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为圆柱面，其上所有点的坐标都满足此方程,故在空间上：,1、柱面,二、常见曲面方程,类似圆柱面给出一般柱面的定义:,例4 设,

5、，,解：在柱面上任意取一点M(x,y,z),则M必在某条母 线上，它与,的交点为M1(x,y,0),从而有,另一方面：若M(x,y,z)满足,，则M,必在经过M(x,y,0)的母线上，且z=0，故所求柱面方程为,，故曲面上任一点都满足,【注】此表达式中，缺z。同理：以,，,为准线，母线分别平行,于y，z轴的柱面方程分别为：,其中：,代表母线平行于x轴的圆柱面；,代表母线平行于y轴的圆柱面；,下面介绍一般锥面定义：,其中定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线，构成准线的直线称为锥面的母线.(见下图),2.锥面,特别，当准线为圆时就是我们常见的圆锥面.,0,x,y,z,l,3.旋转曲面,总结：,

6、例6 把椭圆,绕x轴旋转，所形成的旋转曲面的方程：,，,绕z轴旋转，所形成的旋转曲面的方程：,这两种曲面均称为旋转椭球面。,例7 把曲线,绕x轴旋转，所形成的旋转曲面的方程：,，,绕z轴旋转，所形成的旋转曲面的方程：,这两种曲面均称为旋转双曲面。,例8 把抛物线,绕x轴旋转，所形成的旋转曲面的方程：,，,绕y轴旋转，所形成的旋转曲面的方程：,这两种曲面均称为旋转抛物面。,下面讨论椭球面地性质,4.椭球面,5、双曲面,显然由类似的讨论可知单叶双曲面对于三个坐标轴、三个坐标平面和原点都是对称的.,(2)双叶双曲面,显然双叶双曲面是关于三个坐标平面、三个坐标轴及原点对称.,6.抛物面,在讲直线与平面

7、之关系时，曾介绍过如何求空间直线在某平面上的投影.下面介绍一般的空间曲线在坐标面上的投影.,设空间曲线,F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0,消去 z，得 H(x,y)=0.,C:,三、空间曲线在坐标面上的投影,即为曲线 C 在 xoy 面的投影曲线方程.,【注】同理：消去x得到在yoz上面的投影方程；消去y得到在xoz上面的投影方程；,例9 求,解：,在三个坐标轴上的投影曲线,练习：求球面 x2+y2+z2=1.和x2+(y1)2+(z1)2=1 的交线在 xoy 面上的投影方程.,解：交线方程为,x2+y2+z2=1,x2+(y1)2+(z1)2=1.,y,投影方程：,x2+2y22y=0，,z=0.,两式相减：2y+2z=2.即 z=1y.代入第一个方程.,x2+y2+(1y)2=1,x2+2y22y=0.,