数学分析课件傅里叶级数.ppt
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1、1 傅里叶级数,一个函数能表示成幂级数给研究函数带来便利,但对函数的要求很高(无限次可导).如果函数没有这么好的性质,能否也可以用一些简单而又熟悉的函数组成的级数来表示该函数呢?这就是将要讨论的傅里叶级数.傅里叶级数在数学、物理学和工程技术中都有着非常广泛的应用,是又一类重要的级数.,返回,一、三角级数正交函数系,三、收敛定理,二、以 为周期的函数的傅里叶级数,一、三角级数正交函数系,在科学实验与工程技术的某些现象中,常会碰到一,种周期运动.最简单的周期运动,可用正弦函数,来描述.由(1)所表达的周期运动也称为简谐振动,常常是几个简谐振动,所以函数(2)周期为T.对无穷多个简谐振动进行叠,加就
2、得到函数项级数,的叠加:,若级数(3)收敛,则它所描述的是更为一般的周期运,所以,它是由三角函数列(也称为三角函数系),所产生的一般形式的三角级数.,容易验证,若三角级数(4)收敛,则它的和一定是一,个以 为周期的函数.,关于三角级数(4)的收敛性有如下定理:,则级数()可写成,定理 15.1 若级数,收敛,则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.,证 对任何实数x,由于,根据优级数判别法,就能得到本定理的结论.,为进一步研究三角级数(4)的收敛性,先讨论三角函,数系(5)的特性.首先容易看出三角级数系(5)中所,其次,在三角函数系(5)中,任何两个不相同的函数,有函数具有共同的周期,的乘
3、积在 上的积分等于零,即,不等于零,即,或者说(5)是正交函数系.,现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4),定理15.2 若在整个数轴上,且等式右边级数一致收敛,则有如下关系式:,二、以 为周期的函数的傅里叶级数,(9)式逐项积分得,由关系式(6)知,上式右边括号内的积分都等于零.,所以,即,从第十三章1 习题4知道,由级数(9)一致收敛,可,得级数(11)也一致收敛.于是对级数(11)逐项求积,有,项积分,外,其他各项积分都等于0,于是得出:,即,同理,(9)式两边乘以sin kx,并逐项积分,可得,f(关于三角函数系(5)的傅里叶系数,以 f 的傅里,叶系数为系数的三角级数(9
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- 数学分析 课件 傅里叶 级数
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