数列的概念与简单表示法.ppt

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1、,国际象棋起源于古印度，关于国际象棋还有一个传说。国王奖赏发明者，问他有什么要求，他答道：“在棋盘第一个格放1颗麦粒，在第二个格放2颗麦粒，在第三个格放4颗麦粒，在第四个格放8颗麦粒。以此类推，每个格子放的麦粒数是前一个格子的2倍，直到64个格子。国王觉得这太容易了，就欣然答应了他的要求，你认为国王能满足他的要求吗？,新课导入,4，,5，,6，,7，,8，,9，,10,从下往上钢管的数目有什么规律？钢管的总数是多少？如果增加钢管的层数，有没有更快捷的方法求出总数？,1-,2-,3-,4-,5-,6-,7-,想一想,15,5,16,16,28,32,从1984到2004年金牌数,奥 运 之 光,

2、在本章我们将学习数列的知识，学完后解决这类问题那是小菜一碟，我们拭目以待。,2.1 数列的概念与简单表示法,教学目标,（1）理解数列的概念及数列的表示方法（列表法、图象法、通项公式法）,能用函数的观点认识数列;（2）了解数列的通项公式和递推公式的意义,会根据数列的通项公式写出数列的任意一项;（3）知道递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项.,知识与能力,过程与方法,（1）培养观察能力，推理能力，发展有条理地逻辑能力；（2）经历探索数列的递推公式的的过程，体会利用递推公式获得数列每一项的过程,情感态度与价值观,（1）经历和体验数学活动的过程以及数学在现实生活中的应用，树立

3、学好数学的信心；（2）让学生在民主、和谐的氛围中感受学习的乐趣；（3）在探索求数列通项公式及其运用的过程中，培养一定的逻辑关系.,重点：数列的概念及数列的通项公式，数列递推公式的概念.,教学重难点,难点：各项的特点找出规律写出前n项的通项公式.根据递推关系求通项公式.,数列是初等数学和高等数学的一个衔接点历来是高考考察的重点，突出考察考生的思维能力、逻辑推理能力及解决问题的能力.有关数列的试题经常在数列知识、函数知识和不等式等知识网络的交汇点命题。学习中应注意应用“联系”的思想、从特殊到一般的思想方法，也要掌握常用方法,考点分析及学法指导,请观察:,(1)2,3,4,5,6,(2)1，3，32

4、，33，34，,(3)0,10,20,30,1000,(5)-1,1,-1,1,-1,(4).,(6)66,56,34,21,11,向上面的例子中，按一定次序排列的一列数叫数列.,数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，第n项，,数列的一般形式可以写成 a1，a2，an，其中an是数列的第n项。简记为an.,数列的分类,(1)按项分类：可以分为有穷数列和无穷数列.,有穷数列:项数有限的数列,无穷数列:项数无限的数列,(2)按 的增减性分类：,递减数列:从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递增数列.,摆动数列;如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小

5、于它的前一项，这样的数列叫摆动数列.,常数列:如果它的每一项都相等，这个数列叫做常数列.,递增数列:从第2项起，每一项都不小于它的 前一项的数列叫做递增数列.,上述6个数列中的项与序号的关系有没有规律？如何总结这些规律？,数列中的每一个数都对应着一个序号，反过来，每个序号也都对应着一个数.如数列（1）序号 1 2 3 4 5 项 2 3 4 5 6,如果已知一个数列的通项公式，那么依次用1，2，3，.代替公式中的n，就可以求出这个数列的各项.,从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N（或它的有限子集1，2，n）的函数自变量从小到大一次取值时对应的一列函数值，且数列的通项公式也就是相

6、应函数的解析式.,数列可以用图像来表示：（见下页）,注意:图像上这些点都是孤立的！,数列图象是一些点,an=n+1的图象,如果数列 an 中的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，则称此公式为数列的通项公式.,也满足,时，,才是数列的通项公式.,注意：只有当,a1,注意:,有些数列的通项公式并不唯一，如数列(5),并不是所有的数列都有通项公式，如数列(6),数列通项公式an=2n-1（n 64),只要依次用n=1，2，3，4，64代替公式中的n，就可以求出各项，也就是说，,a1=1,a2=2=2a1 a3=4=2a2 a64=263=2a63即：a1=1,an=2an-1(2n 64)

7、,递推公式,向上面那样，如果已知数列an的第一项（或前几项），且任一项 an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.,递推公式也是给出数列的一种方法.,题型1,根据数列的前几项写出数列的一个通项公式,解决本类问题关键是观察归纳各项与对应的项数之间的联系同时.要善于利用我们熟知的一些基本数列，建立合理的联想，转化而达到问题的解决,例1,观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式：,（1）（）,（2）1，2，4，8，（），32,答案,（1）括号内填，通项公式为:an=,（2）括号内填 16，通项公式为:an=2n-1

8、,分析,（1）根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改成以12为分母的分数.（2）一看都是2的倍数，则要分析是2的几次幂.,例2,(1)3，8，15，24，-1,3,-6,10,1,0,0,0,6，66，666，6666，,写出下面数列的通项公式，是它们的前四项分别是下列各数：,例2解析:,(1)注意观察各项与对应序号的关系，可以发现：3=13，8=24，15=35，24=46 所以an=n(n+2)。,本小题也可以与数列4，9，16，25，(n+1)2比较，得出：an=(n+2)2-1=n(n+2).,(2)各项的公共特点是负正相间。观察各项绝对值与对应序号关系，初看找不到规律，可将各项

9、绝对值试迟疑序号：,数列分子是1，0重复变化，可看成是数列1，-1，1，-1对应项和的 组成的新数列，分母是自然数列的各项，故所给数列的通项公式是,(3)所给数列可改写为,an=,(4)将题设数列与数列9，99，999，9999，99999，an=10n-1,总结评述,已知一个数列的前几项，写出这个数列的一个通项公式时，将这个数列向我们熟悉的数列划归，是一种重要的思路.,相比较，可得an=(10n-1),常见数列的通项公式：,（1）-1，1，-1，1，-1，1，an=(-1)n（2）1，2，3，4，5，an=n（3)2，4，6，8，10，an=2n（4）1，3，5，7，9，an=2n-1（5）

10、1，4，9，16，25，an=n2(6)9，99，999，9999，an=10n-1,此题型大致分两类。一类是根据前几项的特点归纳猜想出的表达式。然后用数学归纳法证明：另一类是将已知递推关系式，用代数的一些变形技巧整理变形。然后采用累加法、累乘法、迭代法、换元法、或转化基本数列(等差或差比)方法求算通项,题型2,已知数列的递推关系求数列的通项,例3,已知数列an满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式。,a1=0，an+1=an+(2n-1),解:,例4,已知数列an满足a1=2，a2=5，a4=23，且an+1=Xan+Y,求实数X、Y的值.,分析：,通过地推公式求出a2，a

11、4，解方程组，即求出未知数X、Y.,解：,由已知可得,a2=Xa1+Y 即：5=2X+Y,a3=Xa2+Y=5X+Y,a4=Xa3+Y=X(5X+Y)+Y 即：23=5a2+Xa+Y,联立、得方程组,2X+Y=5,5a2+Xa+Y=23,解之得：,X=2,Y=1,或,X=-3,Y=11,1、数列的概念,数列是按照一定次序构成的一列数，其中数列中数的有序性是数列的灵魂.,2、数列的通项公式,并非每一个数列都可以写出通项公式；有些数列的通项公式也并非是唯一的.,课堂小结,如果数列 an 中的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，则称此公式为数列的通项公式.,3、数列的分类,按项分类：,有穷

12、数列：项数有限,无穷数列：项数无限,按 的增减性分类：,递增数列：,递减数列：,摆动数列：,常数数列：,如何求数列an的通项公式an的最大值？,探索延拓创新一,思路一,思路二,数列是一个特殊的函数，我们可以利用函数求最值的方法去求解数列中的最值问题.,利用数列的单调性求解.,判断数列的单调性往往只需要比较相邻两项an和an+1的大小。这一点源于函数的单调性而有充分利用了数列的特殊性.,思路三,利用an最大的一个必要条件,首先求得满足条件的n的取值范围，然后找出此范围内的正整数的值，最后比较它们对应项的大小，其中最大的一项就是an的最大值.,anan-1,anan+1,求解.,数列的通项公式an

13、与前n项和公式sn,探索延拓创新二,an=,S1，n=1,Sn-Sn-1，n 2,an 与前n项和Sn之间的关系式为：,值得注意的是，,由前n项和sn求通项公式an=f(n)时，要n=1与n 2两种情况分别进行运算，然后验证两种情况可否用统一式子表示。若不能，就用分段函数表示.,探索延拓创新三,斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、,“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）.,有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的.,这个数列从

14、第三项开始，每一项都等于前两项之和.它的通项公式为：(1/5)*(1+5)/2n-(1-5)/2n（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例.）（5表示根号5）,随堂练习,一、根据下面各数列的前几项，写出数列的一个通项公式：,(1)解法1 联系数列2，4，8，16，32，(想到这一点是关键),(3)注意到分母分别是13，35，57，79，911，为两个连续奇数的积.,(2)这个数列的各项由三部分组成：符号、分子、分母，所以应逐个考查其规律，先看符号，第一项有点违反规律，需写为，从而联系数列，再看分母，考虑数列 最后看分子，显然每个分子比分母都小3.,1.已知数列的通项公式为an=(-1)n+1(2n-3)，则a3+a4+a5=_,2.已知数列的通项为an=2n(n+1)，则a2+a8=_,156,5,二、填空题：,习题答案,