数列极限的概念.ppt

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1、第二章 数列极限,2.1 数列极限的概念,2.2 收敛数列的性质,2.3 数列极限存在的条件,2.1 数列极限的概念,一、概念的引入,二、数列的定义,三、数列的极限,四、应用数列极限的定义证明数列极限的方法,一、概念的引入,引例,1 如何用渐近的方法求圆的面积S？用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.,A1,A2,A3,A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积,.,显然n越大,An越接近于S.,因此,需要考虑当n时,An的变化趋势.,2、截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,二、数列的定义,例如,注意：,

2、1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,数列极限来自实践，它有丰富的实际背景.我们的祖 先很早就对数列进行了研究，早在战国时期就有了极限的概念,例1 战国时代哲学家庄周所著的庄子.天下篇引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根一尺 长的木棒，每天截去一半，这样的过程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排成一列,如图所示,三、数列的极限,（c11(k)）其长度组成的数列为,随着n 无限的增加,木棒的长度无限的趋近于零。,例如,当n无限增大时,如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a,则常数a称为数列xn的极限,或称数列xn收敛a,记

3、为,数列极限的通俗定义,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,问题:,当 无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,通过上面演示实验的观察:,当n无限增大时,xn无限接近于a.当n无限增大时,|xn-a|无限接近于0.当n无限增大时,|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数.,分析,因此

4、,如果 n 增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数,则当n无限增大时,xn无限接近于常数a.,当n无限增大时,如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a,则数列xn收敛a.,下页,数列极限的精确定义,设xn为一数列 如果存在常数a 对于任意给定的正数e 总存在正整数N 使得当nN 时 不等式|xna|e 总成立 则称常数a是数列xn的极限 或者称数列xn收敛于a 记为,如果不存在这样的常数a 就说数列xn没有极限,0,NN 当nN时 有|xna|.,极限定义的简记形式,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,注意：,几何解释:,其中,注,定义1习惯上称为极限的N定义，它用两个

5、动态指标和N刻画了极限的实质，用|xna|定量地刻画了xn 与a 之间的距离任意小，即任给0标志着“要多小”的要求，用n N表示n充分大。这个定义有三个要素：10，正数，20，正数N，30，不等式|xna|（n N）,定义中的具有二重性：一是的任意性，二是的相对固定性。的二重性体现了xn 逼近a 时要经历一个无限的过程（这个无限过程通过的任意性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通过的相对固定性来实现）。,定义中的N是一个特定的项数，与给定的有关。重要的是它的存在性，它是在相对固定后才能确定的，且由|xna|来选定，一般说来，越小，N越大，但须注

6、意，对于一个固定的，合乎定义要求的N不是唯一的。用定义验证xn 以a 为极限时，关键在于设法由给定的，求出一个相应的N，使当n N时，不等式|xna|成立。,在证明极限时，n，N之间的逻辑关系如下图所示,|xna|,n N,定义中的不等式|xna|（n N）是指下面一串不等式,都成立，,而对,则不要求它们一定成立,数列极限的几何意义,使得 N 项以后的所有项,都落在a点的邻域,因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点,这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列xn中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓

7、的“收敛”。,OK!N找到了！,nN,目的：,NO,有些点在条形域外面！,数列极限的演示,N,数列极限的演示,e 越来越小，N越来越大！,数列极限的定义未给出求极限的方法.,例1,证,所以,注意：,分析:,例1,证明,下页,0,NN 当nN时 有|xna|.,利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式|xna|不易考虑，往往采用把|xna|放大的方法。若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单的不等式去寻找项数指标N,放大的原则：放大后的式子较简单 放大后的式子以0为极限,例 2 证明,证明,则当n N时，有,例3.证明 分析，要使（为简化，限定 n只要 证.当 n N 时有由定义 适当予先限

8、定 nn。是允许的！但最后取 N 时要保证nn。,.例4.证明（K为正实数）证：由于 所以对任意0，取N=,当 nN时,便有,例5,证,所以,说明:常数列的极限等于同一常数.,小结:,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N.,例6,证,例7,证,由上面数列极限的证明可总结出数列极限证明的步骤：,2 适当放大,，通常放大成,的形式,，求出需要的,1 化简,3 解,总结 用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等式，关键的追求有两点，一是把隐性表达式变成显性表达式，在重锁迷雾中看清庐山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得过份。,四 收敛的否定:,数列,发散,五 数列极限的记註:,1 满足条件“”的数列:。2,改变或去掉数列的有限项,不影响数列的收敛性和极限.重排不改变数列敛散性:,3 数列极限的等价定义:,对,对任正整数,六 无穷小数列:,定义 极限为0的数列称为无穷小量（无穷小量是指一个极限概念，趋向常数0）,命题1.,的极限为n,是无穷小量.,变量有极限,的充要条件为它可分解为,加一个无穷小量。,命题2,无穷小量加绝对值仍为无穷小量。,命题3,无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量。,命题4,小结,(1),数列极限的定义;,(2),数列极限的几何意义;,(3),应用数列极限的定义证明数列极限的方法.,