实用多元统计分析.ppt

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1、应用统计学精品课程,第十章 实用多元统计分析Unit ten practical multi-dimensional statistical analysis,西安理工大学工程管理系 马斌 余梁蜀Project Management Department of XIAn University of TechnologyMa Bing Yu Liangshu,应用统计学精品课程,10.2,10.3,10.4,判别分析 Distinction analysis,主成分分析 Principal components analysis,因子分析 Factor components analysis,应

2、用统计学精品课程,10.1,聚类分析 Cluster analysis,10.1.1 数据的处理10.1.2 聚类分析中的统计量10.1.3 分类的形成,应用统计学精品课程,应用统计学精品课程,10.1.1 数据的处理在工程项目中，假定对n个样品测定其m个指标，得到以下数据矩阵,其中，Xij是第i个样品j个指标（变量）的观测值。如果各个指标的测量单位、测量结果的数量级及数值变动范围存在很大的差异，我们就有必要在分类之前对数锯进行标准化或正规划。,1）数据的标准化令（i=1,2,;j=1,2,m)其中，通过上述变换的变量Yij是标准化变量，这时，它的均值为0，标准差为1。2）数据的正规化令,应用

3、统计学精品课程,其中，是数据第j列数据中的最小值；是数据阵第j列数据中的最大值；是第j列数据的级差。通过正规化变换后的数据阵中的每一列出现0与1各至少1个，其余则介于0与1之间。聚类分析中的统计量1）样品或指标间相似程度的类型 两个样品或指标对应的的两行（列）对应的元素比较接近,具有成比例关系或互相消长的关系。,应用统计学精品课程,2）衡量样品或指标间相似性的统计量的类型（1）距离系数在实际应用中，常用下式表达作为距离系数 显然，对于正规化的数据，有（，）d（，）越小。第i个变量与第j个变量就越相似；反之，相似性就越小。,应用统计学精品课程,（）相似系数 显然，cos ij cos ij绝对值

4、越大，第i个变量的与第j个变量就越相似，反之相反。,应用统计学精品课程,（）相关系数 显然,R（i,j)R（i,j)的绝对值越大，第个变量与第个变量之间的关系就越密切；反之，就越不密切。,应用统计学精品课程,分类的形成 原则：（）若选出的一对变量未曾连接过，就连结为一组。（）若选出的变量对中，有一个已同别的连结成组，则把另一个变量 与这个组连接。（）若对选出的变量分别在已连结好的两组内，则把这两个组连结。,应用统计学精品课程,应用统计学精品课程,10.2,判别分析 Distinction analysis,基本思想线性判别函数判别指标与判别法则,应用统计学精品课程,应用统计学精品课程,10.2

5、.1 基本思想 判别函数，记作 Z=Z(Y1,YP)均值同样，对于总体X2有均值,通过判别分析的方法，可以构造出一个介于 和 之间的指标ZC，设Z为某个待定判别的判别值。,应用统计学精品课程,线性判别函数 判别函数 其中，C1,CP是待定系数。通过下式可以确定C1,CP。,应用统计学精品课程,判别指标与判别法则 根据判别函数可求得 和，通常可以用它们的加权平均作为判别指标，即有,应用统计学精品课程,这样我们有以下判别法则：设为某一判别样品的判别值，则,应用统计学精品课程,10.2.4 判别函数的评价 对于判别函数 其有效性需要进行检验。在统计学中，常采用马哈拉诺比斯D2统计量 D2可直观地设想

6、为总体X1和X2之间的距离（称为综合距离系数函数）。可以证明统计量 服从第一自由度为P，第二自由度为n1+n2-p-1的F分布。这样可以查F分布进行检验并评价判别函数。,应用统计学精品课程,实际中，先求出 再求出各判别变量Yt(t=1,p)的贡献系数对“贡献”小的判别变量可根据实际情况筛选掉。,应用统计学精品课程,统计学精品课程,10.3,主成分分析 Principal components analysis,10.3.1 主成份分析10.3.2 主成份的导出10.3.3 主成份的定义主成份的性质应用实例,主成分分析法是多元统计分析中的一种，是一种简化数据结构的方法。它用于将多个变量变换为少数

7、几个综合变量，这几个综合变量变换为少数几个综合变量，这几个综合变量可以反映原来多个变量的大部分信息，而它们相互之间又是无关的。,统计学精品课程,主成分的概念 在项目管理中，假定对n个样品测定其m个指标（变量）X1，Xm得以下数据矩阵 以后我们将原指标记为X1，Xm,将它们的主成分记为Y1,Ym.当m=2时，原指标记为X1和X2,其关系见下页图,应用统计学精品课程,容易看出Y1将X1和X2,的主要信息都反映了。那么用Y1来表达X1和X2,还是不错的。如果取椭圆的短轴作为第二主成分Y2，那么，图10.2上的点，对原指标X1，X2,的值记为X1t和Xt2(t=1,n),对主成分Y2的值记为Y1t，Y

8、t2(t=1,n),则有,应用统计学精品课程,所谓Y1反映的信息，就是 在整个平方和中所占的比例越大越好，即Y1的平方和（或方差）越大越好。主成分的导出 在标准化的情况下，样本的相关系数即为样本协方差，即,应用统计学精品课程,对于数据矩阵（10.1），其样本相关矩阵R和样本协方差矩阵S相同，即为了导出主成分，只须求R或S阵的特征根和特征向量即可。,应用统计学精品课程,主成分的定义设为X1，Xm是m个变量，可以抽得其n个样品，它的第i（i=1,m)个主成分为其中，,应用统计学精品课程,并且满足：（1）第一主成分Y1是一切形如 使Y的方差达到极大者。（2）第二主成分Y2是一切形如并与Y1无关，使Y

9、的方差达到极大者；（3）第k个主成分Yk是一切形如并与Y1YK-1不相关，使Y的方差达到极大者。,应用统计学精品课程,主成分的性质 设对于变量X1，Xm的n个样品的数据矩阵，其协方差矩阵为S，设S的m个特征值1m0,对应的m个单位正交特征向量为则：,应用统计学精品课程,（1）X1，Xm的第i个主成分Yi的系数就是第i个特征值i所对应的正交化特征向量则,应用统计学精品课程,（2）第i个主成分Yi的方差为第i个特征值i，每两个不相同主成分间的协方差为0，则Y1,Ym的协方差矩阵S是一对角矩阵，其对角元素分别为1m，其他元素均为0。（3）S和的对角元素之和相等，即两个协方差矩阵的迹相等由此可得，第k

10、个主成分的方差占总方差的比例=称此为主成分Yk的贡献率。则前K个主成分的累计贡献率=,应用统计学精品课程,（4）主成分Yi与Xj的相关系数 称为因子负荷量。（5）,应用统计学精品课程,应用统计学精品课程,为了研究上海、北京房地产指数与其他价格指数之间的关系，设定4个变量，见表10.12。,表10.12 房地产指数变量,10.3.5 应用实例,表中10.12中所有变量的数据均取自1997年1月2000年6月有关的统计资料，样本容量为n=42。根据这些数据计算的样本相关矩阵为,其特征值为：1=2.333，2=1.089 3=0.540 4=0.038,对应的特征向量分别为,应用统计学精品课程,这样

11、就可以得到4个主成份。其第一、第二主成份分别为,应用统计学精品课程,根据小节中的结论（2）、（3）可以求出各个主成份的方差和方差贡献，见表10.13。,表10.13 方差贡献,由表10.13可见，前两个主成份的累计方差贡献率达到了85.5%这 就说明如用两个成分Y1 和 Y2 去代替原来的4个变量X1,X2,X3,X4的话，所不能解释的方差不足15%，因此不致损失太多的信息。利用（10.33）还可以求出因子负荷，表10.14 给出了计算结果。,应用统计学精品课程,表10.14 因子负荷,由因子负荷表可以看出第一主成份Y1和变量X1,X3,X4关系密切，因此，它的意义或命名应根据X1,X3,X4

12、的意义来决定；第二主成份Y2和X2 的关系最密切，而与X1,X3,X4的关系不密切。,应用统计学精品课程,应用 统计学精品课程,10.4,因子分析 Factor components analysis,10.4.1 因子分析的基本思想10.4.2 子分析的数学表达式10.4.3 正交因子模型与回归模型的比较10.4.4 关于因子负荷的主要结论应用实例,应用 统计学精品课程,因子分析的基本思想 因子分析的基本思想是将可以直接观测的变量进行分类，使彼此之间相关性较密切的变量分在同一类中，且使不同类的变量之间的相关性尽量降低。这样每一类的变量实质上代表了一个本质因子。因子分析就是要寻找这种类型的模型

13、或结构。,因子分析的数学表达式 设m个变量的n个样品的观测数据矩阵为 由于X1，Xm之间可能互相独立，也可能彼此相关，因此，我们将m个变量Xi（i=1,m)表示成因子F1FP以及因子ui(i=1,m)的线性组合,应用统计学精品课程,应用统计学精品课程,式中，FK(K=1,P)与所有的变量X1，Xm都有关，称为公共因子；而ui(i=1,m)仅与相应的一个变量Xi有关，称为单因子。公共因子的系数aik(i=1,p)称为第i个变量Xi在第k个公共因子FK上的因子载荷。,为讨论问题的方便，假定原始变量Xi、公共因子FK以及单因子ui均已化为标准化，且各因子互相独立。若进一步假定公共因子F1FP满足EF

14、K=0(K=1,P)Cov(FK,Ft)=单因子u1,um满足Eui=0(i=1,m)Cov(ui,uj)=以上模型称为正交因子模型。,应用统计学精品课程,正交因子模型与回归分析比较 对于线性组合中的一个式子 与多元回归模型 进行比较，可见它们的形式是类似的，但参数的意义与自变量的性质不同，两者的比较详见下页表,应用统计学精品课程,正交因子模型与回归模型的比较,应用统计学精品课程,关于因子负荷的主要结论 由因子模型系数构成的矩阵 称为因子负荷矩阵。它具有以下结论，见下页,应用统计学精品课程,（1）因子负荷aij(i=1,m;j=1,p)是第i个变量Xi与第j个公共因子Fj 的协方差,即 aij

15、=cov(Xi,Fj)由Xi与Fj标准化的假设，可知aij是Xi与 Fj的相关系数，它反映了Xi与Fj的关系的密切程度。（2）公共因子F1Fm是与单因子ui的对同一变量Xi的方差所作的总贡献，由两部分组成：一部分由公共因子组成即 称为公共因子方差；另一部分称为单因子方差，即,应用统计学精品课程,上式也就是 即 总方差=公共因子方差+单因子方差,应用统计学精品课程,应用实例,应用统计学精品课程,在10.3节主成份分析的实例中，对于样本相关矩阵,按照两个正交因子的模型，求出其因子负荷矩阵为,试求：（1)正交因子模型;（2)各个变量的共同度以及对应的单因子方差;(3)每个因子的方差贡献率以及两个因子

16、的累计方差贡献率；（4）说明两个因子的意义。,应用统计学精品课程,解：（1）正交因子模型为,应用统计学精品课程,（2）、（3）的计算结果归纳在表10.16中。,表10.16 计算结果,（4）由第一因子F1的负荷看，X1,X3,X4的负荷都很大，因此，F1主要 反应的是除了中房北京城市指数之外的因子，即房地产股票指数、上海城市指数、零售价格指数的影响；相反地，F2则主要是城市指 数的影响。但从共同度来看，X1(即房地产股票指数）对这两个因 子的依据程度相对要小一些，它们的方差的38.2%不能被这两个公 共因子所解释，因此被包含在单因子的方差之中。,应用统计学精品课程,应用统计学精品课程,Thank you!,