向量组与矩阵的秩.ppt

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1、1,第三章向量组与矩阵的秩,1n维向量,2线性相关与线性无关,3线性相关性的判别定理,4向量组的秩与矩阵的秩,5矩阵的初等变换,6初等矩阵与求矩阵的逆,7向量空间,2,向量：,既有大小又有方向的量.,向量表示：,零向量：,模长为0的向量.,向量的模：,向量的大小.,从二维、三维向量谈起,或,或,单位向量：,模长为1的向量.,3,用小写的粗黑体字母来表示向量。,1 n维向量,4,数a1,a2,an称为这个向量的分量。ai称为这个向量的第i个分量或坐标。分量都是实数的向量称为实向量；分量是复数的向量称为复向量。,n维行向量可以看成1n矩阵，n维列向量也常看成n1矩阵。,设k和l为两个任意的常数，为

2、任意的n维向量，其中,5,定义2 如果 和 对应的分量都相等，即ai=bi，i=1,2,n就称这两个向量相等，记为,定义3 向量（a1+b1,a2+b2,an+bn）称为 与 的和，记为。称向量（ka1,ka2,kan）为 与k的数量乘积，简称数乘，记为。,6,定义4 分量全为零的向量（0，0，0）称为零向量，记为0。与-1的数乘（-1）=（-a1,-a2,-an）称为 的负向量，记为。,向量的减法定义为,向量的加法与数乘具有下列性质：,7,满足（1）（8）的运算称为线性运算。,8,例1设3(1-)+2(2+)=5(3+),其中1=(2,5,1,3),2=(10,1,5,10),3=(4,1,

3、-1,1).求.解：31-3+22+2=53+56=31+22-53=1/21+1/32 5/63=(1+10/3-20/6,5/2+1/3-5/6,1/2+5/3+5/6,3/2+10/3-5/6)=(1,2,3,4),9,矩阵与向量的关系：,2 线性相关与线性无关,10,当 是行向量组时，它们线性相关就是指有非零的1s矩阵（k1,k2,ks）使,11,当 为列向量时，它们线性相关就是指有非零的s1矩阵，使,12,解 对任意的常数k1,k2,kn，令,所以,当且仅当k1=k2=kn=0,因此 线性无关。,13,k1=-4,k2=5,k3=1,所以 a1,a2,a3 线性相关.,14,例3 设

4、向量组 线性无关，试证向量组 也线性无关。,证 对任意的常数，令,设有k1,k2,k3,使,由 线性无关，故有,由于满足k1,k2,k3的取值只有k1=k2=k3=0,所以 线性无关。,15,一般地,判断一个向量组1,2,m线性相关的基本方法和步骤是:1)假定存在一组数k1,k2,km，使 k11+k22+kmm=0;2)应用向量的线性运算和向量相等的定义,找出含未知量k1,k2,km的齐次线性方程组;3)判断方程组有无非零解;4)如有非零解,则1,2,m线性相关;如仅有零解,则1,2,m线性无关.,16,定义6 向量称为向量组 1,2,t的一个线性组合，或者说可由向量组 1,2,t线性表出(

5、示),如果有常数k1,k2,kt,使=k1 1+k2 2+kt t.此时，也记,例1试问下列向量能否由其余向量线性表示,若能,写出线性表示式:1)=(2,3,-1,-4),e1=(1,0,0,0),e2=(0,1,0,0),e3=(0,0,1,0),e4=(0,0,0,1).2)=(1,1,1),1=(0,1,-1),2=(1,1,0),3=(1,0,2);,17,解：令=k1 1+k22+k3 3于是得线性方程组k2+k3=1k1+k2=1-k1+2k3=1解方程组得k1=k3=1,k2=0即=1+02+3,18,定理1 向量组（s2）线性相关的充要条件是其中至少有一个向量能由其他向量线性表

6、出。,证 设 中有一个向量能由其他向量线性表出，,所以 线性相关。,如果 线性相关，就有不全为零的数k1,k2,ks，使,设k10,那么,即 能由 线性表出。,19,例如，向量组,是线性相关的，因为,1一个向量线性相关=0;无关 0.两个向量线性相关对应元素成比例;无关对应元素不成比例.三个向量线性相关的几何意义是它们共面。,20,定理2 设向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则 能由向量组线性表出，且表示式是唯一的。,证 由于 线性相关，就有不全为零的数k1,k2,kt,k，使,由 线性无关有k0。,即 可由 线性表出。,21,因此表示式是唯一的。,22,定义7 如果向量组 中每个向量都可

7、以由 线性表出，就称向量组 可由 线性表出，如果两个向量组互相可以线性表出，就称它们等价。,每一个向量组都可以经它自身线性表出。同时，如果向量组 可以经向量组 线性表出，向量组 可以经向量组 线性表出，那么向量组 可以经向量组 线性表出。,23,向量组 中每一个向量都可以经向量组 线性表出。因而，向量组 可以经向量组 线性表出。,如果,有,24,向量组的等价具有下述性质：,(1)反身性：向量组 与它自己等价；,(2)对称性:如果向量组 与 等价，那么 也与 等价。,(3)传递性:如果向量组 与 等价，而向量组 又与 等价,那么 与 等价。,25,1、基本概念,线性表示,小结,线性组合,组合系数

8、,线性相关,线性无关,定理向量组线性无关齐次线性方程组只有零解；,定理向量组线性相关齐次线性方程组有非零解.,2、基本结论,推论个维向量线性相关.,推论个维向量线性无关.,26,向量组线性相关至少有一个向量可由其余向量线性表示,定理,向量组线性无关任何向量都不能由其余向量线性表示,定理,定理向量组线性无关齐次线性方程组只有零解；,定理向量组线性相关齐次线性方程组有非零解.,2、基本结论,推论个维向量线性相关.,推论个维向量线性无关.,27,思考题：判断对错,1.若向量组 线性相关，那么其中每个向量可经其它向量线性表示。,2.如果向量组 可经由向量 线性表示，且 线性相关，那么 也线性相关。,3

9、.如果向量 可经由向量组 线性表示，且表示是唯一的，那么 线性无关。,28,思考题解答,1.错，2.错，3.对,湖南科技大学 吴晓勤,29,定理3 有一个部分组线性相关的向量组线性相关。,设这个部分组为。则有不全为零的数k1,k2,kr，使,证 设向量组 有一个部分组线性相关。,因此 也线性相关。,推论 含有零向量的向量组必线性相关。,3 线性相关性的判别定理,30,证 对任意的常数k1,k2,ks，,31,上两式只是各分量的排列顺序不同，因此,当且仅当,所以 和 有相同的线性相关性。,32,证 对列向量来证明定理。,33,利用(1)式,用反证法容易证明(2)式也成立。,因此,也线性相关,即(

10、1)式成立。,如果 线性相关,就有一个非零的s1矩阵X,使,34,引理1 如果n阶方阵A的行列式等于零,那么A的行(列)向量组线性相关。,35,定理7 n+1个n维向量组 必线性相关。,推论 当mn时,m个n维向量组线性相关。,所以 线性无关。,36,例1讨论下列向量组的线性相关性:1)(2,3),(-3,1),(0,-2);2)(1,2,3),(2,2,1),(3,4,3);3)(1,3,-2,2),(0,2,-1,3),(-2,0,1,5).解：1)32,所以线性相关2)三个行向量排成一列，构成方阵，其行列式为20，所以线性无关。3）2(1,3,-2,2)-3(0,2,-1,3)+(-2,

11、0,1,5)=0所以线性相关。,37,复习,38,引理1 如果n阶方阵A的行列式等于零,那么A的行(列)向量组线性相关。,定理7 n+1个n维向量组 必线性相关。,推论 当mn时,m个n维向量组线性相关。,39,定理8 如果向量组 可由 线性表出且st，那么 线性相关。,推论1 如果向量组，可由向量组 线性表出，且 线性无关，那么。,推论2 两个线性无关的等价的向量组必含有相同个数的向量。,40,定义8 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中向这部分组任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分组都线性相关。,例 7 在向量组中，为它的一个极

12、大线性无关组。,首先，由 与 的分量不成比例，线性无关。,再添入 以后，由 可知所得部分组线性相关，不难验证 也为一个极大线性无关组。,4 向量组的秩与矩阵的秩,41,定义8 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且这向量组中任意向量都可由这部分组线性表出。,向量组的极大线性无关组具有的性质：,性质1 一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价。,性质2 一向量组的任意两个极大线性无关组都等价。,性质3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的 向量。,42,定义9 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。,如果向量组 能由向量组 线性表出

13、，那么 的极大线性无关组可由 的极大线性无关组线性表出。因此 的秩不超过 的秩。,定理9 向量组的任意线性无关的部分组都可扩充为一个极大线性无关组。,推论 秩为r的向量组中任意含r个向量的线性无关的部分组都是极大线性无关组。,43,例 求向量组,的秩，并求出它的一个最大无关组.,解 显然，线性无关，中,任意一个向量都可由 线性表示，由,定义8，为向量组的一个最大无关组，,且所给向量组的秩为3.,44,下面讨论向量组的秩与矩阵的秩之间的关系：,设矩阵,其中 为矩阵 的行向量组，,称为矩阵 的列向量组.,45,定义10 矩阵的行秩是指它的行向量组的秩，矩阵的列秩是指它的列向量组的秩。,定义11 在

14、一个mn矩阵A中任意选定k行和k列，位于这些选定的行和列的交点上的k2个元素按原来的次序所组成的k k级矩阵的行列式，称为A的一个k级子式。,最低阶为 阶，,最高阶为 阶.,矩阵共有 个 阶子式.,46,如：矩阵,取第1行、第3行和第1列、第4列交叉处的元素，,二阶子式是,组成的,而在这个矩阵中,都是矩阵 的子矩阵.,47,48,定理10 矩阵的行秩等于列秩。,由此,A的列秩(A的行秩r1)A的行秩(A的列秩r2),即有。因此,证 设矩阵A的行秩为r1,A的列秩为r2。,那么,A中有r1个行向量线性无关,由引理2,统称矩阵的行秩和列秩为矩阵的秩,矩阵A的秩一般记为R(A)。规定零矩阵的秩为0。

15、,A中有一个r1级子式D不为零,那么A中子式D所在的r1个列向量也线性无关;因而,49,定理11 矩阵A的秩为r的充要条件是它有一个不为零的r阶子式而所有r+1阶子式全为零,这时,这个非零的r级子式所在的行和列就分别为A的行向量组和列向量组的极大线性无关组。,1.若A为mn矩阵,则A的秩不会大于矩阵的行数,也不会大于矩阵的列数,即r(A)minm,n;2.r(AT)=r(A),r(kA)=r(A),k为非零常数;3.若r(A)=r,则A中所有大于r阶的子式全为0,即r为A中不等于0的子式的最大阶数;4.若A的所有r+1阶子式都为0,则r(A)r+1;5.若A中存在一个r阶子式不为0,则r(A)

16、r.,50,例10 已知以下矩阵A的秩为3，求a的值。,51,作 业,P72：11，15（1），19（2）,习题一 P 71：2，4（3），5,6,52,矩阵的初等行变换都是可逆的,且其逆变换也是同类的初等行变换。,定义12 下面的三种变换称为矩阵的初等行变换:,(1)对换矩阵两行的位置 对换第i行和第j行的位置记为r(i,j).,(2)矩阵的某行所有元素同乘以一个非零常数 第i行乘以k记为r(i(k),(3)把矩阵一行所有元素的k倍加到另一行对应的 元素上去第i行的k倍加到第j行上去记为r(j+i(k),5 矩阵的初等变换,53,定理12 如果矩阵A经过有限次初等行变换变为B,则A的行向量组

17、与B的行向量组等价,而A的任意k个列向量与B中对应的k个列向量有相同的线性关系。,解 作,行摆列变换法或列摆行变换法。,54,所以 为一个极大无关组，且秩等于3。,55,行阶梯形矩阵:若有零行,则零行全部在矩阵的下方;从第一行起,每行第一个非零元素前面零的个数逐行增加.对于这样的矩阵，可画出一条阶梯线,线的下方全为0;每个台阶只有一行,台阶数即是非零行数.它的秩就是非零行的个数.,56,因为行阶梯形矩阵B1有3个非零行，所以R(A)=3,57,如果继续施行行初等变换，还可以化为更简单的形式,行阶梯形矩阵B2的特点是，非零行的第一个非零元素为1，且1所在列的其他元素都为0，这样的矩阵为行最简形矩

18、阵。,58,若再经列初等变换，还可以化为更简单的形式,称为A的等价标准型。,特点：,59,定义13 如果矩阵A经有限次初等变换化成B，就称矩阵A与B等价。,60,矩阵的等价关系具有下列性质：,(1)反身性：A与A等价。,(2)对称性：如果A与B等价，那么B与A等价。,(3)传递性：如果A与B等价，B与C等价，那么A与C等价。,定理13 如果矩阵A与B等价，那么R(A)R(B)。,定理14 每个矩阵都有等价标准形，矩阵A与B等价，当且仅当它们有相同的等价标准形。,推论 两个同型矩阵等价的充分必要条件是它们的秩相等。,61,定义设A为n阶方阵,若AE,则称A为满秩矩阵;否则称为降秩矩阵.,所有与矩

19、阵 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形 是这个等价类中最简单的矩阵.,62,小结,、矩阵的初等变换（Elementary transformation）,初等行(列)变换,2、,就称矩阵,，记作,3、矩阵等价具有的性质,63,利用初等行变换可把矩阵 化为行阶梯形矩阵.,利用初等行变换，也可把矩阵化为行最简形矩阵.,4、,利用初等行变换，再利用初等列变换最后可把矩阵,化为标准形矩阵.,5、矩阵的秩,最高阶非零子式的阶数,行阶梯形矩阵非零行的行数,行最简形矩阵非零行的行数,标准形矩阵中单位矩阵的阶数,64,定义14 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。,初等矩阵都是方

20、阵，互换E的第i行与第j行（或者互换E的第i列与第j列）的位置，得,6 初等变换与求矩阵的逆,65,用常数k乘E的第i行（或i列），得,把E的第j行的k倍加到第i行（或第i列的k倍加到第j列）得,66,初等变换,初等矩阵,初等逆变换,初等逆矩阵,67,这三类矩阵就是全部的初等矩阵，有,E(i,j)-1E(i,j)E(i(k)-1=E(i(1/k),E(i+j(k)-1=E(i+j(-k),定理15 对一个sn矩阵A作一初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的ss初等矩阵；对A作一初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的nn初等矩阵。,推论1 矩阵A与B等价的充分必要条件是有初等方阵P1，P2，Ps

21、，Q1，Qt使 AP1P2PsBQ1Qt,68,推论2 nn矩阵A可逆的充分必要条件它能表成一些初等矩阵的乘积。,推论3 两个sn矩阵A、B等价的充分必要条件为存在可逆的ss矩阵P与可逆的nn矩阵Q使 A=PBQ,推论4 可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。,69,初等变换法求逆矩阵,方法是：,70,解 对(AE)作初等行变换,71,72,小结,1.初等行(列)变换,初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型同,3.矩阵等价具有的性质,5.利用初等变换求逆阵的步骤是:,73,用初等变换解矩阵方程：,思考题,求，使,即,初等行变换,74,定义15 设V为n维向量的集合，如果V非空且对于

22、向量加法及数乘运算封闭，即对任意的 和常数k都有 就称集合V为一个向量空间。,例1 n维向量的全体Rn构成一个向量空间。3维向量可以用有向线段来表示，所以R3也可以看作以坐标原点为起点的有向线段的全体。,例2 n维零向量所形成的集合0构成一个向量空间。,7 向量空间,75,例3 判别下列集合是否为向量空间.,解,有,所以是一个向量空间.,解,所以不是一个向量空间.,76,例4 集合,是一个向量空间.,因为如果,则,例5 集合,不是向量空间.,因为若,则,取，则,从而,所以，,77,例6 设 为一个已知向量组，记,则 为一个向量空间并且称 为由,所生成的向量空间.,证 若,所以V为向量空间.,7

23、8,称为由生成的向量空间，记为：,定理 两个等价的向量组生成的向量空间相同.,证 设 是由向量组 生成的向量空间，,是由向量组 生成的向量空间，,而 与 等价.,下证,任取 则一定存在 使得,即,同理可证 所以，,79,定义16 如果V1和V2都是向量空间且,就称V1是V2的子空间。,如果向量空间V没有基，就说V的维数为0，0维向量空间只含一个零向量。,如果把向量空间V看作向量组，那么V的基就是它的极大线性无关组，V的维数就是它的秩。当V由n维向量组成时，它的维数不会超过n。,80,解 由,知 线性无关，,因此 是R3的一个基。,81,如果P1，P2，Pl为初等矩阵，使 P1P2PlA=E,则A-1=P1P2Pl,因此只需对矩阵(AB)作初等行变换，当把A变为E时，B就变成了A-1B。,82,83,所以,84,作 业,习题一 P 71：6P72：11，15（1），19（2）P73:20-(2),21-(1)P73:23,27,