向量的线性相关性.ppt

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1、第7节 向量组的线性相关性,线性组合与线性表示,线性相关与线性无关,线性相关性判定定理,极大线性无关组的概念,下页,一些重要方法,3月20日作业：29（2）30（2）3233（2）（3）,7.1 线性组合与线性表示,例1设 a1=(1,0,0)，a2=(0,1,0)，a3=(0,0,1)，b=(2,-1,1)，则b=(2,-1,1)是向量组a1，a2，a3的线性组合.,即 b=(2,-1,1)是向量组a1，a2，a3的线性组合，也就是说b可由a1，a2，a3线性表示.,因为 2a1-a2+a3,=2(1,0,0)-(0,1,0)(0,0,1),=(2,-1,1)=b，,定义1 给定n维向量b，

2、a1，a2，am，如果存在一组数k1，k2，km，使 bk1a1k2a2 kmam，则称向量b是向量组a1，a2，am的线性组合，或称b可由向量组a1，a2，am线性表示.,下页,例2任何一个n维向量a=(a1,a2,an)都是n维单位向量组 e 1=(1,0,0)，e 2=(0,1,0)，e n=(0,0,1)的线性组合.这是因为a=a1 e 1 a2 e 2 an e n.,注：向量组 e 1，e 2，e n称为 n 维单位（或基本）向量组.,下页,7.1 线性组合与线性表示,定义1 给定n维向量b，a1，a2，am，如果存在一组数k1，k2，km，使 bk1a1k2a2 kmam，则称向

3、量b是向量组a1，a2，am的线性组合，或称b可由向量组a1，a2，am线性表示.,例3零向量是任何一组向量的线性组合.这是因为 o=0a1 0a2 0 am.例4向量组a1，a2，am中的任一向量ai(1im)都是此向量组的线性组合.这是因为 ai=0a1+1ai 0 am.,下页,7.1 线性组合与线性表示,定义1 给定n维向量b，a1，a2，am，如果存在一组数k1，k2，km，使 bk1a1k2a2 kmam，则称向量b是向量组a1，a2，am的线性组合，或称b可由向量组a1，a2，am线性表示.,注：,（1）并非每一个向量都可以表示成某几个向量的线性组合,（2）一个向量可以由一组向量

4、线性表示，但表示式未必唯一,下页,例5线性方程组的向量表示(向量方程),下页,或,即,其中,定义2 设有n维向量组a1，a2，am，如果存在一组不全为零的数 k1，k2，km，使 k1a1k2a2 kmamo 成立，则称向量组a1，a2，am线性相关，否则，即只有当k1，k2，km全为0时 k1a1k2a2 kmamo才成立，则称向量组a1，a2，am线性无关.,下页,7.2 线性相关与线性无关,线性相关性判定方法 一般方法，用于m 个n维向量组的情形.一般可通过定义、判定定理及后面向量组的秩等内容进行判定，特别当利用定义时可使用观察法.特殊方法，用于n 个n维向量组的情形.可通过行列式判定.

5、,例6.讨论下列向量组的线性相关性.,解:对于向量组，显然有,即存在一组不全为零的数,练习：讨论下列向量组的线性相关性，其中：,下页,即,使得,所以向量组a1,a2,a3,线性相关.,一般方法（举例）,对于n个n维向量组成的向量组a1，a2，an，设有一组数 k1，k2，kn，使 k1a1k2a2 knano 成立.,由向量的运算性质可得 k1a1k2a2 kn an=o，即,从而得向量组a1，a2，an 线性无关(相关)的充分必要条件是:,下页,特殊方法（推导）,设有一组数k1，k2，kn，使 k1a1k2a2 knano 成立.(1),通过向量的线性运算,将(1)式化为如下齐次方程组,(2

6、),下页,特殊方法（解题步骤）,判断上面关于k1,k2,kn方程组(2)有无非零解?,若方程组(2)有非零解，则a1,a2,an线性相关；否则,线性无关.,即行列式,或,核心问题！,例7.讨论下列向量组的线性相关性.,即方程组,因该方程组的系数行列式,所以，线性方程组有非零解，从而，向量组a1,a2,a3,a4,线性相关.,下页,特殊方法（举例）,解:对于向量组a1,a2,a3,a4,设有一组数k1,k2,k3,k4,使得下式成立,亦即方程组,解题要点：找向量方程的非零解.,例8设向量组a1，a2，a3线性无关，令 b1a1a2，b2a2a3，b3a3a1.试证向量组b1，b2，b3也线性无关

7、.,证明：设有一组数k1,k2,k3,使 k1b1 k2b2k3 b3 o，即 k1(a1a2)k2(a2a3)k3(a3a1)o，整理得(k1+k3)a1+(k1+k2)a2+(k2+k3)a3=o.因为向量组a1，a2，a3线性无关，所以必有,由于,=20，,从而b1，b2，b3线性无关.,所以方程组只有零解 k1=k2=k3=0，,下页,即代数方程组只有零解：k1=k2=k3=0.,亦即向量方程只有零解：k1=k2=k3=0.,讨论：,3.仅有两个向量构成的向量组线性相关的条件.,1.含有零向量的向量组是否线性相关.2.仅有一个向量构成的向量组线性相关的条件.,结论：,1.含有零向量的向

8、量组一定线性相关.,2.仅有一个向量构成的向量组线性相关当且仅当该向量为零向量.（一个非零向量线性无关）,3.仅有两个向量构成的向量组线性相关当且仅当这两个向量的分量对应成比例.,5.向量组1，2，n线性无关，其部分向量组是否也线性无关.,4.单位向量组1，2，n线性无关.,下页,4.单位向量组1，2，n是否线性相关.,5.线性无关向量组的部分向量组也线性无关.,定理1 向量组a1，a2，am线性相关的充要条件是：向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示.,定理3 如果向量组中有一部分向量(称为部分组)线性相关,则整个向量组线性相关.,定理2 设向量组 a1，a2，am，b 线性相关，而a

9、1，a2，am线性无关，则b 可由a1，a2，am线性表示，且表示式是唯一的.,定理5 若向量组 ai=(ai1,ai2,ain)(i=1,2,m)线性无关，则向量组 b i=(ai1,ai2,ain,ain+1)(i=1,2,m)也线性无关.,下页,7.3 线性相关性判定定理,定理4 由n个n维向量组成的向量组，其线性无关的充分必要条件是矩阵A=(a1,a2,.,an)可逆.,证明：必要性.因为a1，a2，am线性相关，故存在不全为零的数l1，l2，lm，使 l1a1l2a2 lmamo.不妨设l10，于是,即a1为a2，a3，am的线性组合.,充分性.不妨设a1可由其余向量线性表示,即 a

10、1=l2a2l3a3 lmam，则存在不全为零的数1，l2，l3，lm，使(1)a1+l2a2l3a3 lmam=o，即a1，a2，am线性相关.,下页,定理1 向量组a1，a2，am线性相关的充要条件是：向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示.,先证明b可由向量组a1，a2，am线性表示.因为向量组a1，a2，am，b线性相关，因而存在一组不全为零的数l1，l2，lm及l，使 l1a1l2a2 lmam lb=o，这里必有l0，否则，上式成为 l1a1l2a2 lmam=o，且l1，l2，lm不全为零，这与线性无关矛盾.因此l0.,即b可由向量组a1，a2，am线性表示.,证明：,下页

11、,定理2 设向量组 a1，a2，am，b 线性相关，而a1，a2，am线性无关，则b 可由a1，a2，am线性表示，且表示式是唯一的.,再证表示法唯一.,设b可表示成以下两种形式，b=l1a1l2a2 lmam，及 b=m1a1m2a2 mmam，两式相减得(l1-m1)a1(l2-m2)a2(lm-mm)am=o，由a1，a2，am线性无关可知 l1-m1=l2-m2=lm-mm=0，从而 l1=m1，l2=m2，lm=mm，所以，表示法是唯一的.,证明：,下页,定理2 设向量组 a1，a2，am，b 线性相关，而a1，a2，am线性无关，则b 可由a1，a2，am线性表示，且表示式是唯一的

12、.,设向量组a1，a2，am中有r个向量的部分组 线性相关，不妨设a1，a2，ar线性相关，则存在一组 不全为零的数l1，l2，lr使 l1a1l2a2 lraro，因而存在一组不全为零的数 l1，l2，lr，0，0，0使 l1a1l2a2 lrar+0ar+1+0amo，即a1，a2，am线性相关.,证明：,下页,定理3 如果向量组中有一部分向量（称为部分组）线性相关，则整个向量组线性相关.,定理4 由n个n维向量组成的向量组，其线性无关的充分必要条件是矩阵A=(a1,a2,.,an)可逆.证明 略.,证明：（反证）,若向量组 b1,b2,bm线性相关，则存在一组不全为零的数k1,k2,km

13、,使得 k1 b1+k2 b2+km bm=o（1）,即,（2）,显然，方程(2)的前 n 行就是 k1a1+k2a2+kmam=o，,从而得，a1，a2，am线性相关，矛盾.证毕.,下页,定理5 若向量组 ai=(ai1,ai2,ain)T(i=1,2,m)线性无关，则向量组 b i=(ai1,ai2,ain,ain+1)T(i=1,2,m)也线性无关.,例9.讨论下列向量组的线性相关性(要求用“观察法”).,(1),下页,(2),解：,对于(1)组，显然有,由定理1知(1)组相关.,(2)组中每一个向量的前3个分量构成无关组，由定理5知(2)组无关.,等价向量组,定义3 设有两个向量组,(

14、I),(II),如果(I)中每一个向量都可由向量组(II)线性表示，则称(I)可由(II)线性表示；如果向量(I)与向量组(II)可以相互线性表示，则称向量组(I)与向量组(II)等价.,例10.(I)a=(1,0),a 2=(0,1),(II)b=(1,),b 2=(,-1),b 3=(,5)两组等价.,因为,b=aa,所以(I)和(II)可以相互线性表示，,b 2=aa,b 3=aa,即向量组(I)与向量组(II)等价.,下页,7.4 极大线性无关组,等价向量组的性质,（1）自反性：向量组与其自身等价；,（2）对称性：若向量组(I)等价于(II)，则向量组(II)等价于(I)；,（3）传递

15、性：若向量组(I)等价于(II)，向量组(II)等价于(III)，则向量组(I)等价于(III).,引例.向量组a=(1,1,1),a2=(0,2,5),a3=(1,3,6),等价于其部分向量组a a2.,事实上，a，a，a3中的每一个向量可由a，a线性表示,即,而 a，a中的每一个向量可由a，a，a3线性表示，即,下页,向量组的极大无关组,例11在向量组a1=(0,1)，a2=(1,0)，a3=(1,1)，a4=(0,2)中，向量组a1=(0,1)，a2=(1,0)线性无关，且有,同样a2，a4也是一个极大无关组.,所以a1，a2是向量组a1，a2，a3，a4的一个极大无关组.,a4=(0,

16、2)=2(0,1)=2a1+0a2，,a3=(1,1)=(0,1)+(1,0)=a1+a2，,定义4 如果向量组a1，a2,am的一个部分向量组aj1，aj2,ajr(rm)满足：(1)aj1，aj2,ajr 线性无关；(2)向量组a1，a2,am中的任一向量可由 aj1，aj2,ajr 线性表示，则称aj1，aj2,ajr为向量组a1，a2，,am的一个极大线性无关组.,下页,定义4 如果向量组a1，a2,am的一个部分向量组 aj1，aj2,ajr(rm)满足：(1)aj1，aj2,ajr线性无关；(2)向量组a1，a2,am中的任一向量可由aj1，aj2,ajr线性表示，则称aj1，aj

17、2,ajr为向量组a1，a2，,am的一个极大线性无关组.,下页,例12全体n维列向量构成的向量组记作Rn，则n维单位向量组1=(1,0,0)T，2=(0,1,0)T，n=(0,0,1)T是它的一个极大无关组。,定义4 如果向量组a1，a2,am的一个部分向量组 aj1，aj2,ajr(rm)满足：(1)aj1，aj2,ajr线性无关；(2)向量组a1，a2,am中的任一向量可由aj1，aj2,ajr线性表示，则称aj1，aj2,ajr为向量组a1，a2，,am的一个极大线性无关组.,下页,注：1)一个向量组的极大无关组不一定唯一；(见例11),2)一个向量组与它的极大无关组等价；（显然）,问

18、题:一个向量组不同的极大无关组所含向量个数是否相等,3)一个线性无关向量组的极大无关组就是向量组本身.,推论4 一个向量组的极大线性无关组之间彼此等价并与向量组本身等价，而且一个向量组的所有极大线性无关组所含向量的个数相等.,下页,向量组的秩,且r s,则 线性相关.,推论2 任意n+1个n维向量一定线性相关.,推论3 等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量.,下页,向量组的秩,定义5 向量组a1，a2，am的极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩.记作r(a1，a2，am).,规定，只含零向量的向量组的秩为0.,推论5 等价的向量组有相同的秩.,向量组a1=(0,1)，a2=(1,0)，a

19、3=(1,1)，a4=(0,2)的一个极大无关组为a1，a2，所以向量组a1，a2，a3，a4 的秩为2.,单位向量组1，2，n 是Rn的一个极大无关组，所以r(Rn)=n。,由于向量组的极大线性无关组与向量组等价，由等价的传递性，等价向量组的极大线性无关组等价，所以，,若r(a1，a2，am)m，则向量组a1，a2，am必线性相关.(线性相关性新的判定方法！),重要结论,定义6 矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩，列向量组的秩称为矩阵A的列秩.即,下页,7.5 向量组方面的一些重要方法,行向量组a1，a2，am的秩，称为矩阵A的行秩.,列向量组b1，b2，bn的秩，称为矩阵A的列秩.,定理

20、7 矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.,求向量组的秩的方法,下页,把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A；对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B；阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩,例13.求下列向量组,a=(1,2,3,4)，a2=(2,3,4,5)，a3=(3,4,5,6)的秩.,解1：以a,a,a为列向量作成矩阵A，用初等变换将A化为阶梯形矩阵后可求.,因为阶梯形矩阵的秩为2，所以向量组的秩为2,例13.求下列向量组,a=(1,2,3,4)，a2=(2,3,4,5)，a3=(3,4,5,6)的秩.,解2：以a,a,a为行向量作成矩阵A，用初等变换将A化为阶梯形矩阵后可

21、求.,因为阶梯形矩阵的秩为2，所以向量组的秩为2,求向量组的秩的方法,下页,把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A；对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B；阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩,问题：n维单位向量组的秩是多少？它们相关/无关？,定理8 矩阵A经初等行变换化为B，则B的列向量组与A对应的列向量组有相同的线性相关性.,证明从略,下面通过例子验证结论成立.,线性关系:,矩阵A,矩阵A1,矩阵A2,求向量组的极大线性无关组的方法,下页,把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A；对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B；A中的与B的每阶梯首列对应的向量组，即为极大无关组如果向

22、量组线性相关，将A化成行最简形，易得其他向量可由极大无关组表示的形式。,由上可得，求向量组的极大线性无关组的方法：,下页,矩阵A2,矩阵A3,矩阵B,A的行最简形,例14.求下列向量组的一个极大无关组，其中：,解：以给定向量为列向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵,矩阵B已是阶梯形矩阵,B的每阶梯首列所在的列是1，2，4列，所以A的第1，2，4列就是A的列向量组的极大线性无关组，即a,a,a是向量组的一个极大线性无关组.,下页,行最简形矩阵 一个矩阵是行最简形矩阵(或称行最简式)是指它为阶梯形矩阵,且它的每一行的第一个非零元素均为1,第一个非零元素所在的列其余元素均为0,例如,利用初

23、等行变换将A先化为阶梯形矩阵B，再化成行最简形矩阵C.,用极大线性无关组表示其它向量的方法,下页,即列向量组的一个极大无关组化为了单位向量组.,用极大线性无关组表示其它向量的方法为：,把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A；对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B；把阶梯形B进行初等行变换化为行最简形矩阵C；根据行最简形矩阵列向量的分量，用极大无关组表示其它向量,下页,例15.求下列向量组的一个极大无关组，并用极大无关表示其它向量:,解：以给定向量为列向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为行最简形:,根据行最简形矩阵C可知a,a,a是向量组的一个极大无关组，且 a3=2a1-a+0a,a5=a1+a+a.,下页,3560,假设第5列为，,该如何表示？,